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यहाँ \(a=7\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=7\) and \(r=2\), so \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, इसलिए \(y/x=z/y\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में पदों का क्रम अवश्य देखें। / Consecutive GP terms have equal ratios, so \(y/x=z/y\). Cross-multiplication gives \(y^2=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an AP. Exam tip: always preserve the stated order of terms.
यहाँ \(r=\frac{1}{5}\) है, इसलिए छठा पद \(625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{5}\), so the sixth term is \(625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5}\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
\(6\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा; \(-2\) भी छठी घात पर 64 देता है, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\); although \(-2\) also has sixth power 64, it is not positive. Exam tip: the exponent of \(r\) in the \(n\)th term is \(n-1\).
पहला पद (12) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=12\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (12) and the ratio is (4), so \(a_n=12\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
(S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092) नहीं, सही गणना (3+9+27+81+243+729=1092) है। परीक्षा में योग को सीधे जोड़कर भी जाँचें। / (S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092). In exams, you can also verify the sum by direct addition.
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot75=900\), इसलिए (x=30) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot75=900\), so (x=30). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
पहले पाँच पद (4,20,100,500,2500) हैं और योग (3124) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (4,20,100,500,2500), and the sum is (3124). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
A. प्रत्येक n के लिए \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) का मान एक ही स्थिरांक हो/\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) has the same constant value for every n
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार दो पदों का अनुपात स्थिर होता है, अर्थात \(a_{n+1}/a_n=r\)। विकल्प B स्थिर अंतर बताता है, जो समान्तर श्रेणी की पहचान है। परीक्षा में अंतर नहीं, अनुपात जाँचें। / In a GP, the ratio of consecutive terms remains fixed: \(a_{n+1}/a_n=r\). Option B describes a constant difference, which identifies an AP. Exam tip: check ratios, not differences, to identify a GP.
पहला पद (100) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए सही नियम \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (100) and the ratio is \(\frac{1}{2}\), so the correct rule is \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=9r^4=2304\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=4\) होगा। \(r=2\) लेने पर \(9\times2^4=144\) मिलता है, जो 2304 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(5-1=4\) लिखें। / The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_5=9r^4=2304\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=4\). If \(r=2\), then \(9\times2^4=144\), not 2304. Exam tip: for the fifth term, use the exponent \(5-1=4\).
\(6\cdot3^{n-1}=4374\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(6\cdot3^{n-1}=4374\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find (n).
\(a_8=192\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_8=192\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{3}{2}\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
A. सही क्योंकि \(S_4=340\)/True because \(S_4=340\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
\(S_7=\frac{2(4^7-1)}{4-1}=10922\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) उपयोग करें। / \(S_7=\frac{2(4^7-1)}{4-1}=10922\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
गुणोत्तर श्रेणी में \(y=xr\) और \(z=xr^2\) होता है। इसलिए \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\)। \(x+y=2z\) समांतर श्रेणी का संबंध है। परीक्षा टिप: बीच वाले पद का वर्ग सिरों के गुणनफल के बराबर रखें। / In a GP, \(y=xr\) and \(z=xr^2\). Hence \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\). The relation \(x+y=2z\) is associated with an AP, not a GP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the outer terms.
पद-संख्या का अंतर (5) है और (r=2), इसलिए अनुपात \(2^5=32\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (5) and (r=2), so the ratio is \(2^5=32\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=5) and (r=3), so (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
\(4\cdot3^{n-1}=972\) से \(3^{n-1}=243=3^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(4\cdot3^{n-1}=972\), \(3^{n-1}=243=3^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(1024\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2\) से \(2^{10-(n-1)}=2^1\), इसलिए \(n=10\) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From \(1024\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2\), \(2^{10-(n-1)}=2^1\), so \(n=10\). In exams, count decreasing powers carefully.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(352=11r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(11\times3^5\), 352 नहीं होता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) लिखना न भूलें। / In a GP, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(352=11r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). Taking \(r=3\) would give \(11\times3^5\), not 352. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), remember that the exponent is \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=9\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_6=\frac{9(3^6-1)}{3-1}=\frac{9(729-1)}{2}=3276\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) को अलग से पहचान लें। / Here, the first term is \(a=9\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=6\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_6=\frac{9(3^6-1)}{3-1}=\frac{9(729-1)}{2}=3276\). Hence, option A is correct. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting into the formula.
\(\frac{1024}{16}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{16}{4}=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{1024}{16}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{16}{4}=4\). In exams, find (r) first and then the first term.
छठा पद \(x\cdot3^5=243x=2430\) है, इसलिए (x=10) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The sixth term is \(x\cdot3^5=243x=2430\), so (x=10). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(2\cdot4^{n-1}=2048\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(2\cdot4^{n-1}=2048\), so \(4^{n-1}=1024=4^5\) and (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: \(3+15+75+375=468\)। अतः सही उत्तर 468 है। 475 अंतिम पद है, योग नहीं; इसलिए वह निकट लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: चार या कम दिए गए पद हों, तो योग की पुष्टि सीधे जोड़कर जल्दी की जा सकती है। / Here, \(S_4\) means the sum of the first four terms: \(3+15+75+375=468\). Therefore, 468 is correct. Note that 375 is the last term, not the sum; similarly, 475 is not obtained from the required addition. Exam tip: when only a few terms are given, direct addition is often the quickest way to verify the sum.
\(10\cdot4^{n-1}=10240\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(10\cdot4^{n-1}=10240\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=4(-3)^{5-1}=4(-3)^4=4\times81=324\)। इसलिए सही उत्तर \(324\) है। \(-324\) तब प्राप्त होता जब \(-3\) की घात विषम होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सार्व अनुपात में घात सम है या विषम, यह पहले जाँचें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=4(-3)^{5-1}=4(-3)^4=4\times81=324\). Hence, \(324\) is correct. \(-324\) would result only if the power of \(-3\) were odd. Exam tip: with a negative common ratio, first check whether the exponent is even or odd.
पहले चार पदों का योग (2+14+98+686=800) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (2+14+98+686=800). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
तीसरे से नौवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_9=72\cdot2^6=4608\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the third to the ninth term, so \(a_9=72\cdot2^6=4608\). In exams, count the position gap.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (405,135,45,15,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (405,135,45,15,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
A. सही, क्योंकि \(S_4=320\)/True, because \(S_4=320\)
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), होता है। अतः \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\)। इसलिए दिया गया कथन सही है। \(312\) या \(324\) जैसे मान गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(r^n\) में \(n=4\) अवश्य रखें। / For a geometric progression with \(r\ne1\), the sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\). Hence, the given statement is true. Values such as \(312\) or \(324\) result from an incorrect calculation. Exam tip: substitute \(n=4\) correctly in \(r^n\) before simplifying.
\(a_6=486\) और \(a_7=1458\), इसलिए योग (1944) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_6=486\) and \(a_7=1458\), so the sum is (1944). In exams, find both terms separately and add.
\(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
यहाँ प्रथम पद \(a=5\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\)। इसलिए विकल्प A सही है। 5120 प्राप्त करना \(2^{10}-1\) के स्थान पर केवल \(2^{10}\) लेने की गलती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=5\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=10\). The sum of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\). Therefore, option A is correct. Getting 5120 results from using \(2^{10}\) instead of \(2^{10}-1\). Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the formula.
A. प्रत्येक क्रमागत पदों के युग्म का अनुपात समान हो/The ratio of every pair of consecutive terms is the same
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) प्रत्येक क्रमागत पद-युग्म के लिए नियत रहता है। समान अंतर वाली शर्त अंकगणितीय श्रेणी की है। परीक्षा में अंतर नहीं, अनुपात जाँचें। / In a GP,
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) remains constant for every consecutive pair. A constant difference instead identifies an AP. Exam tip: compare ratios, not differences.
गुणोत्तर क्रम में क्रमागत अनुपात समान होता है: \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(b^2=ac\) मिलता है। \(2b=a+c\) समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में बीच के पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal: \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\). Cross-multiplication gives \(b^2=ac\). The condition \(2b=a+c\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the outer terms.
पद (162,54,18,6,2) हैं और योग (242) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (162,54,18,6,2), and the sum is (242). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(\frac{1215}{45}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=45\div3^2=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{1215}{45}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=45\div3^2=5\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
\(a_4=250\) और \(a_5=1250\), इसलिए योग (1500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=250\) and \(a_5=1250\), so the sum is (1500). In exams, find both terms separately and add.
\(12\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(12\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(750=6r^3\) से \(r^3=125\) और (r=5), इसलिए \(a_5=750\cdot5=3750\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(750=6r^3\), \(r^3=125\) and (r=5), so \(a_5=750\cdot5=3750\). In exams, find the ratio first.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\)। इसलिए सही उत्तर 7665 है। 7680 जैसी संख्या तब आ सकती है जब सूत्र में घटाव या अंतिम गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग से लिखकर फिर योग का सूत्र लगाएँ। / For this GP, the first term is \(a=15\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\). Hence, 7665 is correct. A value such as 7680 can result from an error in subtraction or in the final calculation. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting in the GP sum formula.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\)। \(r=-2\) भी छठी घात देने पर 64 देता, लेकिन धनात्मक शर्त के कारण वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also has sixth power 64, it is excluded by the positive condition. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और सातवाँ पद \(\frac{3}{2}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the seventh term is \(\frac{3}{2}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(a_5=3\cdot5^4=1875\) और \(a_6=9375\), इसलिए योग (11250) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=3\cdot5^4=1875\) and \(a_6=9375\), so the sum is (11250). In exams, calculate large powers separately.
(S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)) और (2\(3^n-1\)=484) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)), and (2\(3^n-1\)=484) gives (n=5). In exams, simplify the sum and identify the power.
