इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\), सार्वांतर \(d=4\) और \(n=15\) हैं। \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(2)+14(4)]=\frac{15}{2}\times60=450\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 450 है। 420 प्राप्त करना सामान्यतः अंतिम पद या \((n-1)\) के प्रयोग में गलती के कारण होता है। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / For this AP, the first term is \(a=2\), the common difference is \(d=4\), and \(n=15\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(2)+14(4)]=\frac{15}{2}\times60=450\). Hence, 450 is correct. A value such as 420 usually results from an error in finding the last term or using \((n-1)\). Exam tip: write down \(a\), \(d\), and \(n\) separately before substituting in the formula.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=30\), सार्वांतर \(d=27-30=-3\) तथा \(n=10\) है। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(30)+9(-3)]=5(60-27)=165\)। अतः सही उत्तर 165 है। 160 प्राप्त करने पर सार्वांतर या पदों की संख्या की जाँच करें। परीक्षा टिप: घटती AP में \(d\) का ऋणात्मक चिह्न अवश्य रखें। / For this AP, the first term is \(a=30\), the common difference is \(d=27-30=-3\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(30)+9(-3)]=5(60-27)=165\). Therefore, 165 is correct. If you get 160, recheck the common difference or the number of terms. Exam tip: always retain the negative sign of \(d\) in a decreasing AP.
AP में किसी ज्ञात पद से आगे का पद निकालने के लिए \(a_n=a_m+(n-m)d\) का उपयोग करते हैं। अतः \(a_{19}=a_5+(19-5)d=24+14\times8=24+112=136\)। इसलिए सही उत्तर 136 है। 144 प्राप्त करने पर पदों के स्थानों का अंतर गलत लिया गया होगा। परीक्षा टिप: \(a_n\) और \(a_m\) के बीच अंतर हमेशा \(n-m\) होता है। / To find a term from a known term of an AP, use \(a_n=a_m+(n-m)d\). Thus, \(a_{19}=a_5+(19-5)d=24+14\times8=24+112=136\). Hence, 136 is correct. Getting 144 would indicate that the difference between the term positions was taken incorrectly. Exam tip: the number of common differences between \(a_m\) and \(a_n\) is always \(n-m\).
दिया गया सूत्र है \(a_n=6n+5\)। \(n=32\) रखने पर \(a_{32}=6\times32+5=192+5=197\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 197 है। 191 तब मिलेगा जब गलती से \(n=31\) रखा जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय सूत्र में पद संख्या \(n\) को सीधे रखें। / The given formula is \(a_n=6n+5\). Putting \(n=32\), \(a_{32}=6\times32+5=192+5=197\). Hence, 197 is correct. The value 191 would result from incorrectly using \(n=31\). Exam tip: Substitute the required term number directly for \(n\) in the formula.
समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ दूसरा पद पहले पद से घटाने पर \((14-d)-14=-d\) मिलता है। इसी प्रकार \((14-2d)-(14-d)=-d\) है, इसलिए सामान्य अंतर \(-d\) है। \(d\) केवल वह राशि है जिससे पद घट रहे हैं; अंतर का चिन्ह ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: सामान्य अंतर निकालने के लिए हमेशा अगला पद − पिछला पद लिखें। / The common difference of an arithmetic progression is obtained by subtracting a term from the next term. Here, \((14-d)-14=-d\). Also, \((14-2d)-(14-d)=-d\), so the common difference is \(-d\). Although the terms decrease by \(d\), the difference must carry a negative sign. Exam tip: always calculate common difference as next term minus previous term.
