किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग \(S_n\) है तथा \(S_0=0\) है। निम्न में से कौन-सी शर्त यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है?
A. \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) सभी \(n\ge2\) के लिए नियत हो/\(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) is constant for all \(n\ge2\)
Explanation
Simple Explanation
\(t_n=S_n-S_{n-1}\) होता है। अतः \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), जो AP का सार्वांतर है। विकल्प B केवल समान पदों वाली विशेष AP बताता है। परीक्षा टिप: योगों का द्वितीय अंतर जाँचें। / Since \(t_n=S_n-S_{n-1}\), we get \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), the common difference of an AP. Option B covers only a constant-term AP. Exam tip: test second differences of sums.
यहाँ प्रथम पद \(a=4\), सार्वांतर \(d=9-4=5\) और \(n=16\) है। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{16}=\frac{16}{2}[2(4)+15(5)]=8(83)=664\)। इसलिए सही उत्तर 664 है। 672 प्राप्त होना सामान्यतः गुणा या जोड़ में त्रुटि के कारण होता है। परीक्षा टिप: पहले \((n-1)d\) निकालें, फिर सूत्र में मान रखें। / Here, the first term is \(a=4\), the common difference is \(d=9-4=5\), and \(n=16\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{16}=\frac{16}{2}[2(4)+15(5)]=8(83)=664\). Therefore, 664 is the correct answer. A value such as 672 usually results from an addition or multiplication error. Exam tip: calculate \((n-1)d\) first, then substitute carefully in the formula.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\), सार्वांतर \(d=4\) और \(n=15\) हैं। \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(2)+14(4)]=\frac{15}{2}\times60=450\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 450 है। 420 प्राप्त करना सामान्यतः अंतिम पद या \((n-1)\) के प्रयोग में गलती के कारण होता है। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / For this AP, the first term is \(a=2\), the common difference is \(d=4\), and \(n=15\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(2)+14(4)]=\frac{15}{2}\times60=450\). Hence, 450 is correct. A value such as 420 usually results from an error in finding the last term or using \((n-1)\). Exam tip: write down \(a\), \(d\), and \(n\) separately before substituting in the formula.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=10\), सार्वांतर \(d=10\) और \(n=12\) हैं। सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+11(10)]=6(130)=780\)। अतः सही उत्तर 780 है। 760 प्राप्त होना प्रायः अंतिम पद या पदों की संख्या गलत लेने से होता है। परीक्षा टिप: पहले \(n-1\) अवश्य लिखें, क्योंकि सार्वांतर केवल दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है। / For this AP, the first term is \(a=10\), the common difference is \(d=10\), and \(n=12\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+11(10)]=6(130)=780\). Therefore, 780 is correct. A value such as 760 usually results from taking the number of terms or the last term incorrectly. Exam tip: always use \(n-1\) in the sum formula before substituting values.
