Class 10 Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Medium Level 67

किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग \(S_n\) है तथा \(S_0=0\) है। निम्न में से कौन-सी शर्त यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है?

The sum of the first n terms of a sequence is \(S_n\), with \(S_0=0\). Which of the following conditions is necessary and sufficient to prove that the sequence is an arithmetic progression?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) सभी \(n\ge2\) के लिए नियत हो\(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) is constant for all \(n\ge2\)

Explanation

Simple Explanation

\(t_n=S_n-S_{n-1}\) होता है। अतः \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), जो AP का सार्वांतर है। विकल्प B केवल समान पदों वाली विशेष AP बताता है। परीक्षा टिप: योगों का द्वितीय अंतर जाँचें। / Since \(t_n=S_n-S_{n-1}\), we get \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), the common difference of an AP. Option B covers only a constant-term AP. Exam tip: test second differences of sums.

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किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग \(S_n\) है तथा \(S_0=0\) है। निम्न में से कौन-सी शर्त यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है? / The sum of the first n terms of a sequence is \(S_n\), with \(S_0=0\). Which of the following conditions is necessary and sufficient to prove that the sequence is an arithmetic progression?

Correct Answer: A. \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) सभी \(n\ge2\) के लिए नियत हो / \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) is constant for all \(n\ge2\). Explanation: \(t_n=S_n-S_{n-1}\) होता है। अतः \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), जो AP का सार्वांतर है। विकल्प B केवल समान पदों वाली विशेष AP बताता है। परीक्षा टिप: योगों का द्वितीय अंतर जाँचें। / Since \(t_n=S_n-S_{n-1}\), we get \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), the common difference of an AP. Option B covers only a constant-term AP. Exam tip: test second differences of sums.