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The sum of the first n terms of a sequence is \(S_n\), with \(S_0=0\). Which of the following conditions is necessary and sufficient to prove that the sequence is an arithmetic progression?किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग \(S_n\) है तथा \(S_0=0\) है। निम्न में से कौन-सी शर्त यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) is constant for all \(n\ge2\)\(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) सभी \(n\ge2\) के लिए नियत हो
Since \(t_n=S_n-S_{n-1}\), we get \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), the common difference of an AP. Option B covers only a constant-term AP. Exam tip: test second differences of sums.\(t_n=S_n-S_{n-1}\) होता है। अतः \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), जो AP का सार्वांतर है। विकल्प B केवल समान पदों वाली विशेष AP बताता है। परीक्षा टिप: योगों का द्वितीय अंतर जाँचें।
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