किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग \(S_n\) है तथा \(S_0=0\) है। निम्न में से कौन-सी शर्त यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है?
A. \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) सभी \(n\ge2\) के लिए नियत हो/\(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}\) is constant for all \(n\ge2\)
Explanation
Simple Explanation
\(t_n=S_n-S_{n-1}\) होता है। अतः \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), जो AP का सार्वांतर है। विकल्प B केवल समान पदों वाली विशेष AP बताता है। परीक्षा टिप: योगों का द्वितीय अंतर जाँचें। / Since \(t_n=S_n-S_{n-1}\), we get \(S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=t_n-t_{n-1}\), the common difference of an AP. Option B covers only a constant-term AP. Exam tip: test second differences of sums.
किसी अनुक्रम के पदों को \(a_n\) से दर्शाया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त प्रत्येक \(n\) के लिए सत्य होने पर अनुक्रम निश्चित रूप से एक अंकगणितीय प्रगति होगा?
AP में \(a_{n+1}-a_n=d\) सभी पदों के लिए स्थिर रहता है। अतः दो क्रमागत अंतरों का अंतर शून्य होता है, जिससे विकल्प A मिलता है। स्थिर अनुपात GP की पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / In an AP, \(a_{n+1}-a_n=d\) is constant. Hence the difference of consecutive first differences is zero, giving option A. A constant ratio identifies a GP instead. Exam tip: check first differences first.
