यहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प 12288, \(12\times1024\) है, जिसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^{10}=1024\) याद रखने से गणना तेज होती है। / Here, the first term is \(a=12\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using the GP sum formula \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\). Hence, option A is correct. The close distractor 12288 equals \(12\times1024\) and results from omitting the \(-1\) term. Exam tip: remembering \(2^{10}=1024\) makes this calculation quicker.
यहाँ प्रथम पद \(a=8\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 4080 में योग को अनावश्यक रूप से दोगुना कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=8\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\). Therefore, option C is correct. Option 4080 incorrectly doubles the sum. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the GP sum formula.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\)। इसलिए सही उत्तर 7665 है। 7680 जैसी संख्या तब आ सकती है जब सूत्र में घटाव या अंतिम गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग से लिखकर फिर योग का सूत्र लगाएँ। / For this GP, the first term is \(a=15\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\). Hence, 7665 is correct. A value such as 7680 can result from an error in subtraction or in the final calculation. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting in the GP sum formula.
यहाँ प्रथम पद \(a=9\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=12\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\)। विकल्प 36864, \(9\times4096\) है; उसमें \(-1\) करना छूट गया है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग के सूत्र में \(r^n-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=9\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=12\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\). The option 36864 equals \(9\times4096\); it results from missing the \(-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), remember the \(r^n-1\) part of the sum formula.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4096\) केवल \(4\times 2^{10}\) है; इसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर GP के योग के सूत्र में \(r-1\) से भाग देना न भूलें। / For this GP, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\). Hence, option A is correct. \(4096\) is only \(4\times2^{10}\); it misses the \(-1\) part of the sum formula. Exam tip: when \(r\ne1\), do not forget the denominator \(r-1\) in the GP sum formula.
यहाँ प्रथम पद \(a=3\), सार्व अनुपात \(r=5\) और पदों की संख्या \(n=5\) है। अतः \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\)। इसलिए सही उत्तर 2343 है। विकल्प 2340 जैसी संख्या जोड़ में होने वाली छोटी गणना-त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही योग का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=3\), the common ratio is \(r=5\), and \(n=5\). Therefore, \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\). Hence, 2343 is correct. A value such as 2340 can result from a minor arithmetic error while adding or applying the formula. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before using the GP sum formula.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं, अतः उनका योग \(2+4+8+16+32=62\) है। इसलिए सही उत्तर 62 है। 32 केवल पाँचवाँ पद है, योग नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ध्यान से गिनें; यहाँ 16 के बाद 32 पाँचवाँ पद होगा। / The first term of this GP is 2 and the common ratio is 2. Its first five terms are 2, 4, 8, 16, and 32, so their sum is \(2+4+8+16+32=62\). Therefore, 62 is correct. The value 32 is only the fifth term, not the sum. Exam tip: Count the terms carefully; 32 comes after 16 as the fifth term.
पहले 4 पद 10, 20, 40 और 80 हैं। अतः उनका योग 10+20+40+80=150 है। यह गुणोत्तर श्रेढ़ी है, जिसमें पहला पद 10 और सार्व अनुपात 2 है; सूत्र से भी \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\) मिलता है। 160 तब मिलता यदि किसी पद को गलत जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़कर उत्तर जाँचें। / The first four terms are 10, 20, 40, and 80. Therefore, their sum is 10+20+40+80=150. This is a GP with first term 10 and common ratio 2; using the formula also gives \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\). A result such as 160 comes from an incorrect addition. Exam tip: for a few terms, verify the answer by direct addition.
