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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। यहाँ प्रथम पद \(a=7\) और सार्व अनुपात \(r=2\) है। इसलिए \(n\)वां पद \(a_n=ar^{n-1}\) होगा। अतः \(a_{10}=7\times2^9=7\times512=3584\)। विकल्प 1792 में \(2^8\) का प्रयोग होगा, जो 9वां पद देता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वें पद की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / This is a geometric sequence because each term is obtained by multiplying the previous term by 2. Here, the first term is \(a=7\) and the common ratio is \(r=2\). Therefore, \(a_n=ar^{n-1}\). So, \(a_{10}=7\times2^9=7\times512=3584\). The option 1792 uses \(2^8\), which gives the 9th term. Exam tip: In a geometric sequence, the exponent for the \(n\)th term is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 5 है। क्रमशः पद हैं: 3, 15, 75, 375, 1875। अतः 1875 पाँचवाँ पद है। छठा पद 1875 × 5 = 9375 होगा, इसलिए छठा पद विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पदों को क्रम से लिखें या सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term of this GP is 3 and the common ratio is 5. Its terms are 3, 15, 75, 375, 1875. Therefore, 1875 is the fifth term. The sixth term would be 1875 × 5 = 9375, so the sixth-term option is not correct. Exam tip: To find a term’s position, list the terms in order or use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(n=4\) रखने पर \(a_4=4\cdot5^{4-1}=4\cdot5^3=4\cdot125=500\)। इसलिए सही उत्तर 500 है। 400 तब मिलता यदि घात को गलती से 2 लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(n\) का मान रखने से पहले घात \(n-1\) को ध्यान से सरल करें। / Putting \(n=4\), \(a_4=4\cdot5^{4-1}=4\cdot5^3=4\cdot125=500\). Hence, the correct answer is 500. The value 400 would result from incorrectly using an exponent of 2. Exam tip: when substituting into \(a_n\), simplify the exponent \(n-1\) carefully first.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=6\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{12}{6}=2\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होगा। इसलिए \(a_7=6\times 2^{7-1}=6\times 64=384\)। विकल्प 192, \(6\times2^5\) के बराबर है, इसलिए वह छठा पद है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में घात हमेशा \(n-1\) होता है, \(n\) नहीं। / In this geometric progression, the first term is \(a=6\) and the common ratio is \(r=\frac{12}{6}=2\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Hence, \(a_7=6\times2^{7-1}=6\times64=384\). Option 192 equals \(6\times2^5\), so it is the sixth term. Exam tip: in a GP, the exponent in the nth-term formula is \(n-1\), not \(n\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 5 है। अतः nवाँ पद \(a_n=2\times5^{n-1}\) होगा। \(2\times5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n=5\)। अतः 1250 पाँचवाँ पद है। चौथा पद \(250\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: GP में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=ar^{n-1}\) लिखें। / The first term of this GP is 2 and the common ratio is 5. Therefore, its nth term is \(a_n=2\times5^{n-1}\). From \(2\times5^{n-1}=1250\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\), so \(n=5\). Hence, 1250 is the fifth term. The fourth term is \(250\), making it a close but incorrect option. Exam tip: To find a position in a GP, first write \(a_n=ar^{n-1}\).
दिया है \(a_n=3\cdot4^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\)। इसलिए सही उत्तर 192 है। 96 प्राप्त करना सामान्यतः \(4^3\) को 3 से गुणा करना भूलने पर होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घात \(n-1\) में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot4^{n-1}\), substitute \(n=4\): \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\). Hence, 192 is correct. The value 96 may result from an incorrect multiplication after evaluating the power. Exam tip: first substitute the term number into \(n-1\), then simplify step by step.
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\) है। अतः छठा पद \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\) होगा। क्रम के पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं, इसलिए सही विकल्प 3 है। विकल्प 6 पाँचवाँ पद है, छठा पद नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(a_n=a r^{n-1}\) में घात \(n-1\) रखें। / The common ratio of this GP is \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\). Therefore, the sixth term is \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\). The terms are \(96,48,24,12,6,3\), so 3 is correct. Option 6 is the fifth term, not the sixth. Exam tip: In \(a_n=a r^{n-1}\), use the exponent \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=8/2=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\)। 256 में घात एक कम लेने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में अनुपात की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=8/2=4\). The \(n\)th term is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\). Choosing 256 results from using one power too few. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=9/3=3\) है। सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) से \(a_5=3\times 3^{4}=243\)। 81 चौथा पद है, जबकि 729 छठा पद है। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=9/3=3\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=3\times 3^{4}=243\). Here, 81 is the fourth term, while 729 is the sixth term. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=1\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\) होगा। \(1024=4^5\), इसलिए \(n-1=5\), अर्थात \(n=6\)। इसलिए 1024 छठा पद है। 5वाँ पद \(4^4=256\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए घात को \(n-1\) से मिलाइए। / In this GP, the first term is \(a=1\) and the common ratio is \(r=4\). Therefore, the \(n\)th term is \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\). Since \(1024=4^5\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). Hence, 1024 is the sixth term. The fifth term is \(4^4=256\), not 1024. Exam tip: In a GP, compare the exponent with \(n-1\) to find the term position.
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{12}{3}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\)। 384 निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(3\times4^3\) है, अर्थात चौथा पद। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=\frac{12}{3}=4\). The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\). Option 384 is a close distractor, but it equals \(3\times4^3\), which is the fourth term. Exam tip: in the nth-term formula, the exponent is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=6/2=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\)। 243, \(3^5\) है, लेकिन इसमें प्रथम पद 2 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में घात \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=6/2=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\). Although 243 equals \(3^5\), it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: In a GP, the exponent is \(n-1\), not \(n\).
क्रमागत गुणोत्तर पदों के लिए \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है, इसलिए A सही है। \(x+z=2y\) समान्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में अनुपातों को बराबर रखकर जाँचें। / For consecutive GP terms, \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\). Cross-multiplying gives \(y^2=xz\), so A is correct. \(x+z=2y\) is the condition for an AP, not a GP. Exam tip: equate consecutive ratios first.
(S_n=\frac{5\(3^n-1\)}{3-1}) और (\frac{5\(3^n-1\)}{2}=1820) से \(3^n=729\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{5\(3^n-1\)}{3-1}), and (\frac{5\(3^n-1\)}{2}=1820) gives \(3^n=729\), so (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_4=4\cdot6^3=864\) और \(a_5=5184\), इसलिए योग (6048) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_4=4\cdot6^3=864\) and \(a_5=5184\), so the sum is (6048). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{40}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{40}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
ज्यामितीय प्रगति में आठवाँ पद \(a_8=ar^7\) होता है। अतः \(1280=10r^7\), इसलिए \(r^7=128=2^7\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(10\times3^7\), 1280 नहीं होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the eighth term is \(a_8=ar^7\). Thus, \(1280=10r^7\), so \(r^7=128=2^7\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(10\times3^7\) would not equal 1280. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प 12288, \(12\times1024\) है, जिसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^{10}=1024\) याद रखने से गणना तेज होती है। / Here, the first term is \(a=12\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using the GP sum formula \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_{10}=\frac{12(2^{10}-1)}{2-1}=12(1024-1)=12276\). Hence, option A is correct. The close distractor 12288 equals \(12\times1024\) and results from omitting the \(-1\) term. Exam tip: remembering \(2^{10}=1024\) makes this calculation quicker.
\(270=10r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=270\cdot3=810\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(270=10r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=270\cdot3=810\). In exams, find the ratio first.
\(15\cdot2^{n-1}=3840\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(15\cdot2^{n-1}=3840\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=750\) और \(a_5=3750\), इसलिए योग (4500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=750\) and \(a_5=3750\), so the sum is (4500). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{2500}{20}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=20\div5=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{2500}{20}=125=r^3\), (r=5) and \(a_1=20\div5=4\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं और योग (189) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are \(96,48,24,12,6,3\), and their sum is \(189\). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
C. पद लगातार घटते जाते हैं/The terms keep decreasing
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक प्रथम पद के लिए प्रत्येक अगला पद पिछले पद को 0 और 1 के बीच की संख्या से गुणा करके मिलता है। इसलिए अगला पद छोटा होता है और पद लगातार घटते हैं। परीक्षा टिप: 0<r<1 होने पर धनात्मक GP घटती है। / With a positive first term, each next term is obtained by multiplying the previous term by a number between 0 and 1. Hence every next term is smaller, so the GP decreases. Exam tip: for 0<r<1, a positive GP is decreasing.
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_{n-1}=a_n/r\) तथा \(a_{n+1}=a_nr\) होता है। दोनों का गुणन करने पर \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\) मिलता है। विकल्प D अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा टिप: बीच के पद का वर्ग लें। / In a GP, \(a_{n-1}=a_n/r\) and \(a_{n+1}=a_nr\). Multiplying gives \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\). Option D describes an arithmetic progression, where the common difference is constant. Exam tip: square the middle term.
यहाँ प्रथम पद \(a=10\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\)। विकल्प 5120 केवल \(10\times 2^9\) है; इसमें योग के सूत्र में आवश्यक \(-1\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / Here, the first term is \(a=10\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\). Option 5120 is only \(10\times2^9\); it misses the required \(-1\) in the sum formula. Exam tip: before applying the formula, identify \(a\), \(r\), and \(n\).
\(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_5=768\) और \(a_6=3072\), इसलिए योग (3840) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=768\) and \(a_6=3072\), so the sum is (3840). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_4=680\)/True because \(S_4=680\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (486,162,54,18,6,2) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (486,162,54,18,6,2). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
