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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं, इसलिए \(a_9=162\cdot3^5=39366\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=162\cdot3^5=39366\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (5+30+180+1080=1295) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (5+30+180+1080=1295). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
ज्यामितीय प्रगति में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(1152\) चिन्ह की गलती से मिल सकता है, क्योंकि \((-2)\) की विषम घात ऋणात्मक होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सामान्य अनुपात में घात सम है या विषम, यह पहले जाँचें। / In a geometric progression, the nth term is given by \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\). Hence, option A is correct. \(1152\) results from a sign error, since an odd power of \((-2)\) is negative. Exam tip: When the common ratio is negative, first check whether the exponent is even or odd.
\(2\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(2\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=4096=4^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ पहले चार पद 7, 21, 63 और 189 हैं। अतः \(S_4=7+21+63+189=280\)। इसे गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से भी जाँचा जा सकता है, जहाँ \(a=7\) और \(r=3\)। विकल्प 294 अंतिम पद 189 को गलत जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों वाली श्रेणी में सीधे जोड़कर उत्तर को सूत्र से सत्यापित करें। / The first four terms are 7, 21, 63, and 189. Therefore, \(S_4=7+21+63+189=280\). This can also be checked using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(a=7\) and \(r=3\). The option 294 may result from an incorrect addition involving the last term. Exam tip: for a small number of terms, add directly and verify with the GP sum formula if needed.
\(4\cdot4^{n-1}=4096\) से \(4^n=4096=4^6\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(4\cdot4^{n-1}=4096\) gives \(4^n=4096=4^6\), so (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot5^4=625x=3125\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot5^4=625x=3125\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{6250}{50}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{6250}{50}=125=r^3\), so (r=5) and \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\). In exams, find (r) first and then the first term.
यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(6560\) जैसा निकट विकल्प सामान्यतः अंतिम गणना में गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) को अलग से लिखें। / Here, the first term is \(a=6\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\). Hence, option A is correct. A nearby value such as \(6560\) can result from an arithmetic error in the final calculation. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before applying the formula.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(384=6r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=-2\) भी \(r^6=64\) को संतुष्ट करता, पर वह दी गई शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(384=6r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also satisfies \(r^6=64\), it violates the given condition. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(3\cdot5^{n-1}=9375\) से \(5^{n-1}=3125=5^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(3\cdot5^{n-1}=9375\), \(5^{n-1}=3125=5^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=9) और (r=2) है, इसलिए (S_8=9\(2^8-1\)=2295) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=9) and (r=2), so (S_8=9\(2^8-1\)=2295). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। विकल्प B में \(10/5=2\) और \(20/10=2\), लेकिन \(35/20=7/4\) है। अतः यह GP नहीं है। परीक्षा में हर लगातार अनुपात जाँचें। / In a GP, the ratio of every term to its preceding term must remain constant. In option B, \(10/5=2\) and \(20/10=2\), but \(35/20=7/4\). Hence it is not a GP. Exam tip: check all consecutive ratios.
\(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\). In exams, the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_5=363\)/True because \(S_5=363\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
\(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(5\cdot4^{n-1}=5120\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(5\cdot4^{n-1}=5120\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=3r^5=96\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^5\), 96 के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: छठे पद में घात \(6-1=5\) लगती है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_6=3r^5=96\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^5\) is not equal to 96. Exam tip: for the sixth term, the exponent of \(r\) is \(6-1=5\).
पहला पद (243) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (243) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
गुणोत्तर अनुक्रम में \(a_{n-1}=a_n/r\) और \(a_{n+1}=a_nr\) होते हैं। दोनों का गुणन करने पर \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\) मिलता है। विकल्प B और D समान अंतर वाले समांतर श्रेणी के गुण हैं। परीक्षा टिप: GP में बीच के पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, \(a_{n-1}=a_n/r\) and \(a_{n+1}=a_nr\). Multiplying gives \(a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2\). Options B and D describe the equal-difference property of an AP. Exam tip: square the middle term to test a GP quickly.
यहाँ प्रथम पद \(a=8\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 4080 में योग को अनावश्यक रूप से दोगुना कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=8\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\). Therefore, option C is correct. Option 4080 incorrectly doubles the sum. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the GP sum formula.
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot108=1296\), इसलिए (x=36) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot108=1296\), so (x=36). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
\(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
पहला पद (6) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (6) and the ratio is (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद aₙ = arⁿ⁻¹ होता है। अतः पाँचवाँ पद 4r⁴ = 324 होगा। इसलिए r⁴ = 81 = 3⁴। चूँकि r धनात्मक दिया है, इसलिए r = 3। r = −3 भी r⁴ = 81 को संतुष्ट करता, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में r की घात 4 होती है, 5 नहीं। / The nth term of a geometric progression is aₙ = arⁿ⁻¹. Hence, for the fifth term, 4r⁴ = 324. So, r⁴ = 81 = 3⁴. Since r is stated to be positive, r = 3. Although r = −3 also gives r⁴ = 81, it is not positive. Exam tip: in the fifth term, the power of r is 4, not 5.
\(7\cdot2^{n-1}=1792\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(7\cdot2^{n-1}=1792\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है, इसलिए \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\), so \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
