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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(2560\) प्राप्त करने में 4 की घात या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\). Hence, option C is correct. \(2560\) results from an error in evaluating the power of 4 or in multiplication. Exam tip: the exponent in the nth term is always \(n-1\), not \(n\).
यहाँ \(a=2\) और \(r=3\) है, इसलिए \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=2\) and \(r=3\), so \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(a_2=2a_1\) और \(a_4=8a_1\), इसलिए \(10a_1=170\) और \(a_1=17\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_4=8a_1\), so \(10a_1=170\) and \(a_1=17\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
\(500=4r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=2500\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(500=4r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=2500\). First find the ratio and then form the next term.
\(x^2=36\cdot100=3600\), इसलिए धनात्मक (x=60)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=36\cdot100=3600\), so positive (x=60). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(a_1=\frac{22}{3}\) और \(a_4=198\), इसलिए योग \(\frac{616}{3}\) नहीं बल्कि \(\frac{616}{3}\) है। सही विकल्पों में \(\frac{616}{3}\) होना चाहिए। / \(a_1=\frac{22}{3}\) and \(a_4=198\), so the sum is \(\frac{616}{3}\). The correct option should include \(\frac{616}{3}\).
(r=-4) है, इसलिए (a_6=3(-4)5=-3072)। विषम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान ऋणात्मक होता है। / Here (r=-4), so (a_6=3(-4)5=-3072). An odd power of a negative ratio gives a negative value.
गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=27\left(\frac{2}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{2}{3}\right)^3=27\times\frac{8}{27}=8\)। विकल्प 6 तब मिलता है जब अनुपात को केवल दो बार गुणा करने जैसी गलती की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में अनुपात की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=27\left(\frac{2}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{2}{3}\right)^3=27\times\frac{8}{27}=8\). The value 6 can result from incorrectly multiplying by the common ratio only twice. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
ज्यामितीय श्रेणी में
वें पद का सूत्र
h पद के लिए
है:
। अतः
और
। इसलिए
। 660 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन वह पदों की सही घातों का उपयोग करने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप:
वें पद के लिए घात हमेशा
होती है,
नहीं। / For a geometric progression, the nth term is
. Hence,
and
. Therefore,
. The nearby option 660 does not result when the correct powers of the common ratio are used. Exam tip: for the nth term, the exponent of
is always
, not
.
पहले (5) पद \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\) हैं और योग \(\frac{279}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\), and their sum is \(\frac{279}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(\frac{96}{24}=4\) है, अतः \(\frac{24}{x}=4\)। इसलिए \(x=\frac{24}{4}=6\)। वैकल्पिक रूप से, तीन लगातार पदों के लिए मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है: \(24^2=96x\), जिससे \(x=6\) मिलता है। \(8\) लेने पर अनुपात \(24/8=3\) और \(96/24=4\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: जी.पी. के तीन लगातार पद \(a,b,c\) हों तो सीधे \(b^2=ac\) का प्रयोग करें। / In a geometric progression, the ratios of consecutive terms are equal. Here, the common ratio is \(\frac{96}{24}=4\), so \(\frac{24}{x}=4\). Hence, \(x=\frac{24}{4}=6\). Equivalently, for three consecutive GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms: \(24^2=96x\), giving \(x=6\). If \(x=8\), the ratios are \(24/8=3\) and \(96/24=4\), which are not equal. Exam tip: For consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=9\), और \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=9\), and \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। इसलिए \(a_4=10r^3=270\), अतः \(r^3=27\) और धनात्मक \(r=3\) मिलता है। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद \(10\times2^3=80\) होगा, 270 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general-term formula of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=10r^3=270\), so \(r^3=27\) and the positive value is \(r=3\). If 2 were used, the fourth term would be \(10\times2^3=80\), not 270. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
पहले चार पद (3,12,48,192) हैं और गुणनफल (589824) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (3,12,48,192), and their product is (589824). Multiply each term carefully in product questions.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए (r=3), अतः \(a_7=1215\cdot3=3645\)। पहले अनुपात निकालकर आगे बढ़ें। / \(a_6=a_2r^4\), so (r=3), hence \(a_7=1215\cdot3=3645\). First find the ratio and then move forward.
पद (11,22,44,88,176,352,704,1408) हैं, इसलिए (800) से छोटा सबसे बड़ा पद (704) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (11,22,44,88,176,352,704,1408), so the greatest term below (800) is (704). The next term crosses the limit.
\(a_6=a_3r^3=45\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{5}{3}\)। तीन पद आगे जाने पर \(r^3\) लगता है। / \(a_6=a_3r^3=45\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{5}{3}\). Moving three positions forward uses \(r^3\).
B. \(r=\frac{1}{2}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{2}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{2}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
\(a_4=270\) और \(a_6=2430\), इसलिए अंतर (2160) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=270\) and \(a_6=2430\), so the difference is (2160). First find both terms using the correct powers.
((5x)2=x\cdot125), इसलिए \(25x^2=125x\) और धनात्मक (x=5)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((5x)2=x\cdot125), so \(25x^2=125x\) and positive (x=5). Do not take zero as a positive solution.
दिया है \(8\cdot3^{n-1}=1944\)। दोनों पक्षों को 8 से भाग देने पर \(3^{n-1}=243\) मिलता है। क्योंकि \(243=3^5\), इसलिए \(n-1=5\), अतः \(n=6\)। विकल्प 5 लेने पर घात \(n-1=4\) होगी और पद 1944 नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: घातांकीय पदों में पहले गुणांक हटाइए, फिर समान आधार की घातों की तुलना कीजिए। / Given \(8\cdot3^{n-1}=1944\). Dividing both sides by 8 gives \(3^{n-1}=243\). Since \(243=3^5\), we get \(n-1=5\), hence \(n=6\). If 5 were chosen, the exponent would be \(n-1=4\), so the term would not be 1944. Exam tip: first remove the coefficient, then compare exponents with the same base.
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_4=a_2r^2\) होता है। अतः \(250=10r^2\), इसलिए \(r^2=25\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=5\)। अब \(a_1=a_2/r=10/5=2\) और \(a_5=a_4r=250\times5=1250\)। इसलिए \(a_1+a_5=2+1250=1252\)। \(r=-5\) भी \(r^2=25\) को संतुष्ट करता, पर प्रश्न में धनात्मक \(r\) दिया है। परीक्षा टिप: दिए गए पदों के सूचकांकों का अंतर देखकर \(r\) की घात तय करें। / In a GP, \(a_4=a_2r^2\). Thus, \(250=10r^2\), so \(r^2=25\). Since \(r\) is positive, \(r=5\). Now \(a_1=a_2/r=10/5=2\), and \(a_5=a_4r=250\times5=1250\). Therefore, \(a_1+a_5=2+1250=1252\). Although \(r=-5\) also gives \(r^2=25\), the question specifically requires positive \(r\). Exam tip: use the difference between term indices to determine the required power of \(r\).
\(64,-16,4,-1,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(64,-16,4,-1,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{4}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
ज्यामितीय श्रेणी में चार स्थानों का अंतर होने पर \,a_8=a_4r^{8-4}=a_4r-4\, होता है। अतः \,4374=54r-4\, और \,r-4=4374/54=81\,। इसलिए \,r=3\, है, क्योंकि प्रश्न में r धनात्मक दिया है। 9 निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर वह \,r-4\, का मान है, r का नहीं। परीक्षा टिप: पदों के सूचकांकों का अंतर लेकर r की घात निर्धारित करें। / In a geometric progression, a gap of four indices gives \,a_8=a_4r^{8-4}=a_4r-4\,. Thus \,4374=54r-4\, and \,r-4=4374/54=81\,. Hence \,r=3\, because r is stated to be positive. Although 9 may seem tempting, it is not r; it is related to the value of \,r-4\,. Exam tip: use the difference between the term indices to determine the exponent of r.
पद (10,-20,40,-80,160) हैं और योग (110) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (10,-20,40,-80,160), and their sum is (110). Add signs carefully with a negative ratio.
दिया है \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)। अतः \(a_2=125\left(\frac{1}{5}\right)^1=25\) और \(a_4=125\left(\frac{1}{5}\right)^3=1\)। इसलिए \(a_2+a_4=25+1=26\)। \(30\) जैसा विकल्प गलत है क्योंकि \(a_4\) का मान 5 नहीं, 1 है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात को सावधानी से हल करें। / Given \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\), \(a_2=125\left(\frac{1}{5}\right)^1=25\) and \(a_4=125\left(\frac{1}{5}\right)^3=1\). Hence, \(a_2+a_4=25+1=26\). The option 30 is incorrect because \(a_4\) is 1, not 5. Exam tip: for a particular term, substitute the value of \(n\) first and then evaluate the exponent carefully.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=16\), और \(a_7=288\cdot16=4608\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=16\), and \(a_7=288\cdot16=4608\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 12 और सार्व अनुपात 3 है। अतः \(a_4=12\times 3^3=324\) तथा \(a_6=12\times 3^5=2916\)। इसलिए \(a_6-a_4=2916-324=2592\)। 2484 का मान घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: GP में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करते समय घात \(n-1\) रखें। / The first term is 12 and the common ratio is 3. Thus, \(a_4=12\times 3^3=324\) and \(a_6=12\times 3^5=2916\). Therefore, \(a_6-a_4=2916-324=2592\). A value such as 2484 can result from an error in subtraction. Exam tip: while using \(a_n=ar^{n-1}\) for a GP, remember that the exponent is \(n-1\).
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=9\times3^3=243\) और \(a_5=9\times3^4=729\)। इसलिए \(a_4+a_5=243+729=972\)। \(1215\) जैसा विकल्प घात या पदों की गणना में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=9\times3^3=243\) and \(a_5=9\times3^4=729\). Therefore, \(a_4+a_5=243+729=972\). A value such as \(1215\) can result from using an incorrect power or term value. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
