Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पद (3,15,75,375,1875,9375,46875) हैं, इसलिए (10000) से छोटा सबसे बड़ा पद (9375) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (3,15,75,375,1875,9375,46875), so the greatest term below (10000) is (9375). In boundary questions, check the next term too.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{7}{2}\times4^{4-1}=\frac{7}{2}\times64=224\)। \(448\) प्राप्त करने में सामान्यतः \(4\) की घात या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(a_1\) से \(a_4\) तक घात हमेशा \(4-1=3\) होगी। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{7}{2}\times4^{4-1}=\frac{7}{2}\times64=224\). The value \(448\) usually results from an error in evaluating the power of \(4\) or in multiplication. Exam tip: for the fourth term, the exponent of the common ratio is always \(4-1=3\).
\(12,24,48,96,\ldots\) में \(a_4=96\) और सार्व अनुपात (2) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(12,24,48,96,\ldots\), \(a_4=96\) and the common ratio is (2). Match both the position and the ratio.
\(x^2=5\cdot80=400\), इसलिए (x=20) और (r=4), अतः (y=320)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=5\cdot80=400\), so (x=20) and (r=4), hence (y=320). First use the middle term to find the ratio.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(8192=32r^4\) और (r=4), अतः \(a_1=8\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_6=a_2r^4\), so \(8192=32r^4\) and (r=4), hence \(a_1=8\). First find the ratio and then move backward.
दिया है \(a_n=96\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। अतः \(a_3=96\left(\frac{1}{2}\right)^2=24\) और \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\)। इसलिए \(a_3+a_6=24+3=27\)। विकल्प 30 घात \(n-1\) के स्थान पर गलत घात लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी भी पद के लिए पहले \(n-1\) की घात लिखें, फिर मान निकालें। / Given \(a_n=96\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_3=96\left(\frac{1}{2}\right)^2=24\) and \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\). Therefore, \(a_3+a_6=24+3=27\). The option 30 may result from using an incorrect exponent instead of \(n-1\). Exam tip: write the exponent \(n-1\) first before evaluating each term.
यहाँ प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{-20}{5}=-4\) है। अतः \(a_3=5(-4)^2=80\) तथा \(a_5=5(-4)^4=1280\)। इसलिए \(a_5+a_3=1280+80=1360\)। \(1120\) जैसी त्रुटि प्रायः ऋणात्मक अनुपात की घात या पद-क्रम गलत लेने से होती है। परीक्षा टिप: GP में \(a_n=ar^{n-1}\) लिखकर पहले घात जाँचें। / The first term is \(a=5\), and the common ratio is \(r=\frac{-20}{5}=-4\). Thus, \(a_3=5(-4)^2=80\) and \(a_5=5(-4)^4=1280\). Therefore, \(a_5+a_3=1280+80=1360\). An answer such as \(1120\) can result from using the wrong power or term position with the negative common ratio. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) and check the exponent before calculating.
(r=3) पर पद (4,12,36,108,324) हैं और योग (484) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=3), the terms are (4,12,36,108,324) and the sum is (484). For small options, forming the terms is quick.
\(32,16,8,4,2,\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और पाँचवाँ पद (2) है। विकल्पों में पहला और पाँचवाँ पद दोनों जांचें। / In \(32,16,8,4,2,\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fifth term is (2). Check both first and fifth terms in the options.
\(a_2=3a_1\) और \(a_4=27a_1\), इसलिए \(30a_1=90\) और \(a_1=3\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=3a_1\) and \(a_4=27a_1\), so \(30a_1=90\) and \(a_1=3\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
पद (9,18,36,72,144,288,576,1152) हैं, इसलिए (600) से छोटा सबसे बड़ा पद (576) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (9,18,36,72,144,288,576,1152), so the greatest term below (600) is (576). In boundary questions, check the next term too.
मध्य पद के लिए ((3x)2=(x+2)(6x+4)), इससे (x=4) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((3x)2=(x+2)(6x+4)), which gives (x=4). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
\(a_7=a_3r^4\), इसलिए \(576=36r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_7=a_3r^4\), so \(576=36r^4\) and (r=2), hence \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\). Divide by the ratio to move backward.
पद (384,192,96,48,24,12,6) हैं, इसलिए (6) सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are (384,192,96,48,24,12,6), so (6) is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
दिया है \(a_n=4\cdot3^{n-1}\)। अतः \(a_4=4\cdot3^{3}=108\) और \(a_6=4\cdot3^{5}=972\)। इसलिए \(a_4+a_6=108+972=1080\)। विकल्प 972 केवल \(a_6\) का मान है, योग नहीं। परीक्षा टिप: किसी पद \(a_n\) के लिए घात \(n-1\) रखना न भूलें। / Given \(a_n=4\cdot3^{n-1}\), \(a_4=4\cdot3^{3}=108\) and \(a_6=4\cdot3^{5}=972\). Therefore, \(a_4+a_6=108+972=1080\). The option 972 is only the value of \(a_6\), not the required sum. Exam tip: while finding \(a_n\), remember that the exponent is \(n-1\).
\(5,15,45,135,405,1215,\ldots\) में \(a_3=45\) और \(a_6=1215\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(5,15,45,135,405,1215,\ldots\), \(a_3=45\) and \(a_6=1215\). Check each option up to the required positions.
क्रमागत पदों के लिए समान अनुपात से \(q/p=r/q\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(q^2=pr\) मिलता है। \(p+r=2q\) समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में मध्य पद के वर्ग की जाँच करें। / For consecutive GP terms, the common-ratio condition gives \(q/p=r/q\). Cross-multiplying gives \(q^2=pr\). The relation \(p+r=2q\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the outer terms.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(1792=7r^4\) और \(r^4=256\), अतः (r=4)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(1792=7r^4\) and \(r^4=256\), hence (r=4). When positive ratio is asked, take the positive root.
गुणोत्तर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का वर्ग, पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=6\times150=900\)। इसलिए \(x=\pm30\), लेकिन श्रेणी धनात्मक दी गई है, इसलिए \(x=30\) होगा। \(36\) जैसे विकल्प के लिए समान अनुपात प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: लगातार तीन GP पदों \(a,b,c\) के लिए सीधे \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=6\times150=900\). Hence \(x=\pm30\), but the progression is stated to be positive, so \(x=30\). A value such as \(36\) does not give equal common ratios. Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
सार्व अनुपात (-2) है और (a_7=8(-2)6=512) है। ऋणात्मक अनुपात की सम घात धनात्मक होती है। / The common ratio is (-2), and (a_7=8(-2)6=512). An even power of a negative ratio is positive.
किसी अनुक्रम के सभी पद अशून्य हैं। निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त प्रत्येक उपयुक्त n के लिए सत्य होने पर अनुक्रम के गुणोत्तर श्रेणी होने की पुष्टि करती है?
\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\) को \(a_{n-1}a_n\) से भाग देने पर \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) मिलता है। अतः लगातार पदों का अनुपात समान है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प A समान अंतर वाली अंकगणितीय श्रेणी बताता है। परीक्षा टिप: GP में अनुपात जाँचें, अंतर नहीं। / Dividing \(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\) by \(a_{n-1}a_n\) gives \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Thus consecutive terms have the same ratio, so the sequence is a GP. Option A describes an AP with a constant difference. Exam tip: test the ratio, not the difference, for a GP.
विकल्प A में क्रमिक अनुपात \(6/(-3)=-2\), \((-12)/6=-2\) और \(24/(-12)=-2\) हैं, इसलिए यह GP है। विकल्प C में अनुपात बदलते हैं। परीक्षा में लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In option A, the successive ratios are \(6/(-3)=-2\), \((-12)/6=-2\), and \(24/(-12)=-2\), so it is a GP. In option C, the ratios change. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
(S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)) और (3\(3^n-1\)=2184) से (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)), and (3\(3^n-1\)=2184) gives (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=5\cdot4^4=1280\) और \(a_6=5120\), इसलिए योग (6400) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=5\cdot4^4=1280\) and \(a_6=5120\), so the sum is (6400). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{50}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{50}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(1792=7r^7\) से \(r^7=256=2^8\) नहीं बनता, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। परीक्षा में (n-1) और घात दोनों ध्यान से जाँचें। / \(1792=7r^7\) gives \(r^7=256\), which does not match any option exactly. In exams, check (n-1) and powers carefully.
यहाँ प्रथम पद \(a=20\), सार्व अनुपात \(r=2\) और \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\)। इसलिए सही उत्तर 5100 है। 5120 प्राप्त होना सामान्यतः \(2^8-1\) के स्थान पर \(2^8\) लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर हर \(r-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=20\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\). Therefore, 5100 is correct. The nearby answer 5120 can result from using \(2^8\) instead of \(2^8-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), always include the denominator \(r-1\).
\(216=8r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=216\cdot3=648\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(216=8r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=216\cdot3=648\). In exams, find the ratio first.
\(18\cdot2^{n-1}=2304\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(18\cdot2^{n-1}=2304\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=500\) और \(a_5=2500\), इसलिए योग (3000) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=500\) and \(a_5=2500\), so the sum is (3000). In exams, find both terms separately and add.
