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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(\frac{648}{24}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=24\div3=8\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{648}{24}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=24\div3=8\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (128,64,32,16,8) हैं और योग (248) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (128,64,32,16,8), and the sum is (248). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
क्रमागत गुणोत्तर पदों के लिए \(b/a=c/b\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(b^2=ac\) मिलता है। \(a+c=2b\) अंकगणितीय श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / For consecutive GP terms, \(b/a=c/b\). Cross-multiplying gives \(b^2=ac\), so A is necessary. The relation \(a+c=2b\) is the condition for an AP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the extremes.
यदि समान अनुपात \(r\) हो, तो \(b=ar\) और \(c=ar^2\) होंगे। अतः \(b^2=(ar)^2=a\cdot ar^2=ac\)। \(2b=a+c\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग लें। / If the common ratio is \(r\), then \(b=ar\) and \(c=ar^2\). Hence \(b^2=(ar)^2=a\cdot ar^2=ac\). The relation \(2b=a+c\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term.
यहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\)। इसलिए विकल्प A सही है। 3584 जैसे निकट विकल्प में घात या घटाव की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^n\) का मान पहले निकालें। / Here, the first term is \(a=7\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\). Therefore, option A is correct. A close value such as 3584 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: when \(r=2\), calculate \(2^n\) carefully before substituting.
\(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_5=1024\) और \(a_6=4096\), इसलिए योग (5120) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=1024\) and \(a_6=4096\), so the sum is (5120). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_5=1210\)/True because \(S_5=1210\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (810,270,90,30,10) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (810,270,90,30,10). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
चौथे से दसवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the fourth to the tenth term, so \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (3+18+108+648=777) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (3+18+108+648=777). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\)। इसलिए सही उत्तर \(384\) है। \(-384\) तब आता यदि \(-2\) की विषम घात होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अनुपात में घात सम है या विषम, यह अवश्य जाँचें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\). Therefore, \(384\) is correct. \(-384\) would result if the power of \(-2\) were odd. Exam tip: With a negative common ratio, always check whether the exponent is even or odd.
\(9\cdot4^{n-1}=9216\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(9\cdot4^{n-1}=9216\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: 5 + 25 + 125 + 625 = 780। अतः सही उत्तर 780 है। 775 केवल पहले तीन पदों का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: जब पदों की संख्या कम हो, तो सीधे जोड़कर योग निकालना सबसे तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: 5 + 25 + 125 + 625 = 780. Therefore, the correct answer is 780. The value 775 is only the sum of the first three terms, so it is a close but incorrect option. Exam tip: When there are only a few terms, direct addition is usually the quickest and safest method.
\(3\cdot4^{n-1}=12288\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(3\cdot4^{n-1}=12288\), so \(4^{n-1}=4096=4^6\) and (n=7). In exams, equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot4^4=256x=1280\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot4^4=256x=1280\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{5120}{80}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{5120}{80}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\). In exams, find (r) first and then the first term.
यहाँ प्रथम पद \(a=11\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_6=\frac{11(3^6-1)}{3-1}=\frac{11(729-1)}{2}=4004\)। इसलिए सही उत्तर 4004 है। 3993 जैसे विकल्प में प्रायः घात या घटाव की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अवश्य पहचानें। / Here, the first term is \(a=11\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=6\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_6=\frac{11(3^6-1)}{3-1}=\frac{11(729-1)}{2}=4004\). Therefore, 4004 is correct. An option such as 3993 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting into the formula.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद
\(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(416=13r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(13\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 416 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद लिखते समय घात \(n-1\) रखें। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(416=13r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(13\times3^5\) is not 416. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और पद (640,320,160,80,40,20,10,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the terms are (640,320,160,80,40,20,10,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), इसलिए (r=4) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), so (r=4). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(7\cdot3^{n-1}=5103\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(7\cdot3^{n-1}=5103\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=6) और (r=4) है, इसलिए (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=6) and (r=4), so (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
B. प्रत्येक n के लिए, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) हो/For every n, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B में \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) होने पर \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\) मिलता है, इसलिए अनुपात नियत है। विकल्प A समानांतर प्रगति की शर्त है। परीक्षा में लगातार तीन पदों का गुणन संबंध जाँचें। / In B, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) gives \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\), so the common ratio is fixed. Option A indicates an AP, not a GP. Exam tip: test this product relation for consecutive triples.
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) उपयोग करें। / \(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
A. सही क्योंकि \(S_4=780\)/True because \(S_4=780\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020) नहीं; सीधे योग (12+48+192+768=1020) है, इसलिए कथन गलत है। / (S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020), so the statement is false. In exams, verify statement-type questions carefully.
\(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(8\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(8\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
