If the sum of the first 4 terms of a geometric progression is stated to be 780 with a = 12 and r = 4, what is the correct evaluation?यदि a = 12 और r = 4 वाली गुणोत्तर श्रेणी के पहले 4 पदों का योग 780 बताया गया है, तो सही मूल्यांकन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: False, because S₄ = 1020गलत, क्योंकि S₄ = 1020
The governing concept is verification of a finite geometric-series sum. The first term is a = 12, the ratio is r = 4, and n = 4. Applying S_n = a(r^n - 1)/(r - 1), we obtain S_4 = 12(4^4 - 1)/(4 - 1) = 12(256 - 1)/3 = 12 × 255/3 = 4 × 255 = 1020. The same result follows by listing the terms: 12, 48, 192, and 768; their total is 1020. Therefore the claim that the sum is 780 is false, and option D gives the correct reason. Options A, B, and C do not equal the actual sum and therefore cannot correctly evaluate the statement.इस प्रश्न की मुख्य अवधारणा गुणोत्तर श्रेणी के सीमित योग का सत्यापन है। यहाँ प्रथम पद a = 12, सार्व अनुपात r = 4 और पदों की संख्या n = 4 है। सूत्र S_n = a(r^n - 1)/(r - 1) लगाने पर S_4 = 12(4^4 - 1)/(4 - 1) = 12(256 - 1)/3 = 12 × 255/3 = 4 × 255 = 1020 मिलता है। पदों को लिखकर भी यही परिणाम आता है: 12, 48, 192 और 768; इनका योग 1020 है। इसलिए 780 वाला कथन गलत है और उसका सही कारण विकल्प D में दिया गया है। विकल्प A कथन को गलत रूप से सही मानता है, जबकि B और C में दिए गए 760 तथा 768 वास्तविक योग नहीं हैं।
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