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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(1458=2r^6\), इसलिए \(r^6=729=3^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। विकल्प 2 लेने पर \(2\times2^6=128\) आता है, जो 1458 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(1458=2r^6\), so \(r^6=729=3^6\). Since \(r\) is specified as positive, \(r=3\). For example, choosing 2 gives \(2\times2^6=128\), not 1458. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent is always \(n-1\).
पहला पद (216) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (216) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
विकल्प A में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर \(-\frac{1}{2}\) मिलता है: \(-8/16=4/-8=-2/4\)। अतः यह ऋणात्मक सार्व अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अनुपात समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार दो अनुपात अवश्य जाँचें। / In option A, each term is obtained by multiplying the preceding term by \(-\frac{1}{2}\): \(-8/16=4/-8=-2/4\). Hence it is a GP with a negative common ratio. In option B, the ratios are not constant. Exam tip: check at least two consecutive ratios.
पहले पाँच पद (6,30,150,750,3750) हैं और योग (4686) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (6,30,150,750,3750), and their sum is (4686). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
मध्य पद के लिए \(x^2=18\cdot200=3600\), इसलिए (x=60) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=18\cdot200=3600\), so (x=60). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
\(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
पहला पद (14) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=14\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (14) and the ratio is (3), so \(a_n=14\cdot3^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
गुणोत्तर श्रेणी में पाँचवाँ पद
\(a_5=ar^4\) होता है। अतः \(2304=9r^4\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=4\)। विकल्प 3 सही नहीं है, क्योंकि \(9\times3^4=729\), 2304 नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) लिखकर घात सावधानी से चुनें। / For a geometric progression, the fifth term is \(a_5=ar^4\). Thus, \(2304=9r^4\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is positive, \(r=4\). Option 3 is not correct because \(9\times3^4=729\), not 2304. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) and check the exponent carefully.
\(8\cdot2^{n-1}=4096\) से \(2^{n-1}=512=2^9\), इसलिए (n=10) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(8\cdot2^{n-1}=4096\), \(2^{n-1}=512=2^9\), so (n=10). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{3}\), so \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
क्रमागत पदों को \(x, xr, xr^2\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\)। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में मध्य पद के वर्ग को जाँचें। / The consecutive terms can be written as \(x, xr, xr^2\). Hence \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an arithmetic progression. Exam tip: square the middle term.
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=5) and (r=3), so \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
(S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)) और (2\(3^n-1\)=484) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)), and (2\(3^n-1\)=484) gives (n=5). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=3\cdot5^4=1875\) और \(a_6=9375\), इसलिए योग (11250) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=3\cdot5^4=1875\) and \(a_6=9375\), so the sum is (11250). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और सातवाँ पद \(\frac{3}{2}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the seventh term is \(\frac{3}{2}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\)। \(r=-2\) भी छठी घात देने पर 64 देता, लेकिन धनात्मक शर्त के कारण वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also has sixth power 64, it is excluded by the positive condition. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\)। इसलिए सही उत्तर 7665 है। 7680 जैसी संख्या तब आ सकती है जब सूत्र में घटाव या अंतिम गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग से लिखकर फिर योग का सूत्र लगाएँ। / For this GP, the first term is \(a=15\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\). Hence, 7665 is correct. A value such as 7680 can result from an error in subtraction or in the final calculation. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting in the GP sum formula.
\(750=6r^3\) से \(r^3=125\) और (r=5), इसलिए \(a_5=750\cdot5=3750\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(750=6r^3\), \(r^3=125\) and (r=5), so \(a_5=750\cdot5=3750\). In exams, find the ratio first.
\(12\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(12\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=250\) और \(a_5=1250\), इसलिए योग (1500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=250\) and \(a_5=1250\), so the sum is (1500). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{1215}{45}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=45\div3^2=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{1215}{45}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=45\div3^2=5\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (162,54,18,6,2) हैं और योग (242) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (162,54,18,6,2), and the sum is (242). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
गुणोत्तर क्रम में क्रमागत अनुपात समान होता है: \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(b^2=ac\) मिलता है। \(2b=a+c\) समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में बीच के पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal: \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\). Cross-multiplication gives \(b^2=ac\). The condition \(2b=a+c\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the outer terms.
A. प्रत्येक क्रमागत पदों के युग्म का अनुपात समान हो/The ratio of every pair of consecutive terms is the same
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) प्रत्येक क्रमागत पद-युग्म के लिए नियत रहता है। समान अंतर वाली शर्त अंकगणितीय श्रेणी की है। परीक्षा में अंतर नहीं, अनुपात जाँचें। / In a GP,
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) remains constant for every consecutive pair. A constant difference instead identifies an AP. Exam tip: compare ratios, not differences.
यहाँ प्रथम पद \(a=5\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\)। इसलिए विकल्प A सही है। 5120 प्राप्त करना \(2^{10}-1\) के स्थान पर केवल \(2^{10}\) लेने की गलती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=5\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=10\). The sum of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\). Therefore, option A is correct. Getting 5120 results from using \(2^{10}\) instead of \(2^{10}-1\). Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the formula.
\(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_6=486\) और \(a_7=1458\), इसलिए योग (1944) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_6=486\) and \(a_7=1458\), so the sum is (1944). In exams, find both terms separately and add.
A. सही, क्योंकि \(S_4=320\)/True, because \(S_4=320\)
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), होता है। अतः \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\)। इसलिए दिया गया कथन सही है। \(312\) या \(324\) जैसे मान गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(r^n\) में \(n=4\) अवश्य रखें। / For a geometric progression with \(r\ne1\), the sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\). Hence, the given statement is true. Values such as \(312\) or \(324\) result from an incorrect calculation. Exam tip: substitute \(n=4\) correctly in \(r^n\) before simplifying.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (405,135,45,15,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (405,135,45,15,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
तीसरे से नौवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_9=72\cdot2^6=4608\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the third to the ninth term, so \(a_9=72\cdot2^6=4608\). In exams, count the position gap.
