Level 54 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the twelfth term of the geometric progression \(3,6,12,24,\ldots\)?
B. (6144)
यहाँ \(a=3\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=3\) and \(r=2\) so \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
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If a geometric progression has (a=5) and (r=3) what is the value of \(a_8\)?
C. 10935
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(7290\) सही नहीं है क्योंकि यह \(5\times3^7\) का मान नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, इसलिए आठवें पद के लिए \(r^7\) लें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Hence, \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\). Therefore, option C is correct. \(7290\) is not correct because it is not the value of \(5\times3^7\). Exam tip: the exponent of the common ratio in the nth term is always \(n-1\); for the eighth term, use \(r^7\).
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What is the ninth term of the geometric progression \(256,128,64,32,\ldots\)?
A. (1)
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\) so \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\). In exams use the fractional ratio in decreasing progressions.
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If \(a_n=4\cdot3^{n-1}\) which term will be (2916)?
B. सातवाँ पद(7)th term
\(4\cdot3^{n-1}=2916\) से \(3^{n-1}=729=3^6\) इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पहले दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From \(4\cdot3^{n-1}=2916\), \(3^{n-1}=729=3^6\) so (n=7). In exams first equate the given term to \(a_n\).
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B. \(3\)
गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(486=6r^4\), इसलिए \(r^4=81\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। उदाहरण के लिए, \(r=2\) लेने पर पाँचवाँ पद \(6\times2^4=96\) आता है, जो 486 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(4\) होती है, क्योंकि घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(486=6r^4\), so \(r^4=81\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=3\). For example, if \(r=2\), the fifth term would be \(6\times2^4=96\), not 486. Exam tip: for the fifth term, the power of \(r\) is \(4\), because the exponent is always \(n-1\).
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What is the general term of the geometric progression \(10,30,90,270,\ldots\)?
A. \(a_n=10\cdot3^{n-1}\)
पहला पद (10) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=10\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (10) and the ratio is (3) so \(a_n=10\cdot3^{n-1}\). In exams keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
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What is the sum of the first (6) terms of the geometric progression \(2,6,18,54,\ldots\)?
C. (728)
पहले (6) पदों का योग (2\(3^6-1\)/(3-1)=728) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / The sum of the first (6) terms is (2\(3^6-1\)/(3-1)=728). In exams use (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
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If (8,x,72) are in geometric progression and (x>0), what is (x)?
C. (24)
मध्य पद के लिए \(x^2=8\cdot72=576\) इसलिए (x=24) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term \(x^2=8\cdot72=576\), so (x=24). In exams the square of the middle GP term equals the product of outer terms.
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B. क्रमागत पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते हैंThe signs of consecutive terms alternate
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। ऋणात्मक अनुपात से गुणा करने पर चिह्न बदलता है; जैसे 3, −6, 12, −24। परीक्षा में अनुपात के चिह्न को अवश्य देखें। / In a GP, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Multiplication by a negative ratio reverses the sign, as in 3, −6, 12, −24. Exam tip: always check the sign of the ratio.
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B. \(y^2=xz\)
गुणोत्तर श्रेणी में \(y=xr\) और \(z=yr=xr^2\) होते हैं। इसलिए \(y^2=(xr)^2=xz\)। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में बीच के पद का वर्ग लिखकर जाँच करें। / In a GP, \(y=xr\) and \(z=yr=xr^2\). Hence \(y^2=(xr)^2=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an AP, not necessarily to a GP. Exam tip: square the middle term to test three terms.
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What is the general term of the geometric progression \(81,27,9,3,\ldots\)?
B. \(a_n=81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)
पहला पद (81) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है इसलिए सही नियम \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (81) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams write the fractional ratio in a decreasing GP.
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For a geometric progression with (a=4) and \(a_6=972\), if (r) is positive what is (r)?
B. 3
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद a_n=ar^{n-1} होता है। अतः _6=4r-5=972, इसलिए r-5=243=35। चूँकि r धनात्मक है, इसलिए r=3। विकल्प 2 लेने पर छठा पद 128 होगा, 972 नहीं। परीक्षा टिप: छठे पद में घात r-5 होती है, r-6 नहीं। / The nth term of a GP is a_n=ar^{n-1}. Thus, _6=4r-5=972, so r-5=243=35. Since r is positive, r=3. If r=2, the sixth term would be 128, not 972. Exam tip: for the sixth term, the exponent of r is 5, not 6.
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In the geometric progression \(3,12,48,192,\ldots\), which term is (3072)?
A. छठा पद(6)th term
\(3\cdot4^{n-1}=3072\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(3\cdot4^{n-1}=3072\), \(4^{n-1}=1024=4^5\) so (n=6). In exams equate powers to find (n).
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If \(a=96\) and \(r=\frac{1}{2}\), what is the value of \(a_7\)?
B. \(\frac{3}{2}\)
\(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\). In exams apply powers of fractional ratios carefully.
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A. सही क्योंकि \(S_5=242\)True because \(S_5=242\)
(S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242) है इसलिए कथन सही है। परीक्षा में सूत्र लगाकर कथन की जाँच करें। / (S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242), so the statement is true. In exams verify statements by using the formula.
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(1,3,9,27,\ldots\)?
A. (1093)
\(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\). In exams the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
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In a geometric progression \(a_3=20\) and \(a_6=160\). If (r) is positive what is (r)?
A. (2)
\(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\), so (r=2). In exams the ratio of distant terms gives a power based on position gap.
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A. \(q^2=pr\)
GP में क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है: \(q/p=r/q\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(q^2=pr\) मिलता है। \(2q=p+r\) AP की शर्त है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal: \(q/p=r/q\). Cross-multiplying gives \(q^2=pr\). The condition \(2q=p+r\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term to test three terms.
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What is \(a_8\div a_5\) for the geometric progression \(5,15,45,135,\ldots\)?
C. (27)
पद-संख्या का अंतर (3) है और (r=3) इसलिए अनुपात \(3^3=27\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (3) and (r=3), so the ratio is \(3^3=27\). In exams use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
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If \(a_n=7\cdot2^{n-1}\), what is the sum of the first (6) terms?
C. (441)
यहाँ (a=7) और (r=2) है इसलिए (S_6=7\(2^6-1\)=441) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=7) and (r=2), so (S_6=7\(2^6-1\)=441). In exams identify (a) and (r) from the general term.
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Which term of the geometric progression \(2,10,50,\ldots\) is (1250)?
B. पाँचवाँ पद(5)th term
\(2\cdot5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\) इसलिए (n=5) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(2\cdot5^{n-1}=1250\), \(5^{n-1}=625=5^4\) so (n=5). In exams compare powers to find the term number.
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If \(a_2=12\) and \(a_5=324\), what is the positive value of (r)?
B. (3)
\(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (3) हो तो \(r^3\) बनेगा। / \(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\), so (r=3). In exams a gap of (3) positions gives \(r^3\).
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In the geometric progression \(729,243,81,27,\ldots\), which term is (1)?
A. सातवाँ पद(7)th term
\(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\) से \(3^{6-(n-1)}=1\) इसलिए \(n=7\) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From \(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\), \(3^{6-(n-1)}=1\), so \(n=7\). In exams count decreasing powers carefully.
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If (a=3) and \(a_7=192\), and (r) is positive, what is (r)?
A. 2
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(192=3r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^6\), 192 नहीं होता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / For a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Hence, \(192=3r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^6\) is not 192. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
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What is the sum of the first (7) terms of the geometric progression \(4,12,36,\ldots\)?
A. 4372
यहाँ प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\)। इसलिए सही उत्तर 4372 है। 4374 जैसा उत्तर सामान्यतः \(3^7-1\) या विभाजन में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / Here, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\). Hence, 4372 is correct. An answer such as 4374 can result from a small error while evaluating \(3^7-1\) or dividing. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before substituting in the formula.
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In a geometric progression \(a_3=48\) and \(a_6=384\). If (r) is positive what is \(a_1\)?
C. (12)
\(\frac{384}{48}=8=r^3\) से (r=2) और \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{384}{48}=8=r^3\), so (r=2) and \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\). In exams find (r) first and then the first term.
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If the fifth term of the geometric progression \(x,,2x,,4x,\ldots\) is (80), what is (x)?
B. (5)
पाँचवाँ पद \(x\cdot2^4=16x=80\) है इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot2^4=16x=80\), so (x=5). In exams put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
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How many terms are there up to (1024) in the geometric progression \(1,4,16,\ldots\)?
B. (6)
\(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए \(n=6\) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\), so \(n=6\). In exams equate the last term to the general term.
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If the first (4) terms of a geometric progression are (2,8,32,128), what is \(S_4\)?
C. 170
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: \(2+8+32+128=170\)। अतः सही उत्तर 170 है। 168 सही नहीं है, क्योंकि दिए गए चारों पदों को जोड़ने पर योग 170 आता है। परीक्षा में कम पद हों तो सीधे जोड़कर उत्तर जाँचना तेज और सुरक्षित रहता है। / Here, \(S_4\) is the sum of the first four terms: \(2+8+32+128=170\). Therefore, the correct answer is 170. Option 168 is incorrect because the sum of all four given terms is 170. Exam tip: when only a few terms are given, direct addition is often the quickest and safest method.
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Which term of the geometric progression \(6,24,96,\ldots\) is (6144)?
A. छठा पद(6)th term
\(6\cdot4^{n-1}=6144\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot4^{n-1}=6144\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams equate powers to find the term number.
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C. विद्यार्थी ने गुणोत्तर श्रेणी को समांतर श्रेणी समझ लिया; सही कुल उत्पादन 1300 इकाइयाँ है।The student treated a geometric progression as an arithmetic progression; the correct total production is 1300 units.
उत्पादन क्रमशः 160, 240, 360 और 540 है; इसलिए योग \(160+240+360+540=1300\) है। 1120 में 160 का स्थिर अंतर माना गया है, जो AP की गलती है। परीक्षा में पहले समान अनुपात जाँचें। / The outputs are 160, 240, 360 and 540, so \(160+240+360+540=1300\). The total 1120 assumes a fixed increase of 160, which is arithmetic progression reasoning. Exam tip: verify the common ratio first.
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What is the sum of the first (5) terms of the geometric progression \(3,15,75,375,\ldots\)?
B. 2343
यहाँ प्रथम पद \(a=3\), सार्व अनुपात \(r=5\) और पदों की संख्या \(n=5\) है। अतः \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\)। इसलिए सही उत्तर 2343 है। विकल्प 2340 जैसी संख्या जोड़ में होने वाली छोटी गणना-त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही योग का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=3\), the common ratio is \(r=5\), and \(n=5\). Therefore, \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\). Hence, 2343 is correct. A value such as 2340 can result from a minor arithmetic error while adding or applying the formula. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before using the GP sum formula.
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If \(a_4=80\) and (r=2), what is the value of \(a_9\)?
C. (2560)
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं इसलिए \(a_9=80\cdot2^5=2560\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=80\cdot2^5=2560\). In exams count the position gap.
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In the geometric progression \(512,256,128,\ldots\), which term is (4)?
B. आठवाँ पद(8)th term
\(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\) इसलिए \(n=8\) है। परीक्षा में आधा करते हुए पद गिनें। / From \(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\), so \(n=8\). In exams count terms while halving.
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If (a=6), \(S_4=240\), and (r=3), what is the statement?
A. कथन सही हैThe statement is true
ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है, जब \(r\ne1\)। यहाँ \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\) है। अतः दिया गया कथन सही है। 120, 180 और 300 इस श्रेणी के चार पदों के योग नहीं हैं। परीक्षा टिप: योग निकालते समय \(r^n\) में n के स्थान पर पदों की संख्या अवश्य रखें। / For a geometric progression, the sum of the first n terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(r\ne1\). Here, \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\). Therefore, the given statement is true. The values 120, 180, and 300 are not the sum of the first four terms of this GP. Exam tip: while finding a sum, use the number of terms as the exponent in \(r^n\).
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What is the value of \(a_5+a_6\) for the geometric progression \(8,24,72,\ldots\)?
C. (1080)
\(a_5=648\) और \(a_6=1944\) नहीं बल्कि \(a_5=648\) तथा \(a_6=1944\) का योग (2592) होता है। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_5=648\) and \(a_6=1944\), so their sum is (2592). None of the given options is correct.
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If \(a_n=100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), which term will be equal to \(\frac{25}{2}\)?
B. चौथा पद(4)th term
\(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\) इसलिए \(n=4\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\), so \(n=4\). In exams simplify fractions first.
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What is the sum of the first (10) terms of the geometric progression \(4,8,16,\ldots\)?
A. 4092
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4096\) केवल \(4\times 2^{10}\) है; इसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर GP के योग के सूत्र में \(r-1\) से भाग देना न भूलें। / For this GP, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\). Hence, option A is correct. \(4096\) is only \(4\times2^{10}\); it misses the \(-1\) part of the sum formula. Exam tip: when \(r\ne1\), do not forget the denominator \(r-1\) in the GP sum formula.
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A. \(y^2=xz\)
गुणोत्तर श्रेणी में \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(x+z=2y\) गुणोत्तर नहीं, समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में बीच वाले पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\). Cross-multiplying gives \(y^2=xz\), so option A is correct. \(x+z=2y\) is the condition for an AP, not a GP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the extremes.
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A. यह गुणोत्तर श्रेणी हैIt is a geometric progression
शर्त को \(a_{n-1}a_n\) से भाग देने पर \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) मिलता है। अतः क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। परीक्षा में शून्येतर पदों की शर्त अवश्य जाँचें। / Dividing the condition by \(a_{n-1}a_n\) gives \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Thus, consecutive terms have a constant ratio, so it is a GP. Exam tip: check the non-zero condition before dividing.
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If (a=81) and \(r=\frac{1}{3}\), what is the sum of the first (5) terms?
B. (121)
पद (81,27,9,3,1) हैं और योग (121) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (81,27,9,3,1) and the sum is (121). In exams direct addition is also easy for small decreasing terms.
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In a geometric progression \(a_2=18\) and \(a_5=486\). What is \(a_1\)?
C. (6)
\(\frac{486}{18}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=18\div3=6\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{486}{18}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=18\div3=6\). In exams find (r) first and then \(a_1\).
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If \(a_n=3\cdot4^{n-1}\), what is the value of \(a_4+a_5\)?
A. (960)
\(a_4=192\) और \(a_5=768\) इसलिए योग (960) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=192\) and \(a_5=768\), so the sum is (960). In exams find both terms separately and add.
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In the geometric progression \(11,22,44,\ldots\), if \(a_n=1408\), what is (n)?
B. (8)
\(11\cdot2^{n-1}=1408\) से \(2^{n-1}=128=2^7\) इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(11\cdot2^{n-1}=1408\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams factor first and compare powers.
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A. \(q^2=pr\) और \(r^2=qs\)
गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत अनुपात समान होते हैं। \(q^2=pr\) से \(q/p=r/q\) और \(r^2=qs\) से \(r/q=s/r\) मिलता है; अतः सभी अनुपात बराबर हैं। परीक्षा में गैर-शून्य पद होने पर ही भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal. From \(q^2=pr\), \(q/p=r/q\); from \(r^2=qs\), \(r/q=s/r\). Hence all ratios are equal. Exam tip: divide only after confirming that the terms are non-zero.
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What is the sum of the first (12) terms of the geometric progression \(9,18,36,\ldots\)?
A. 36855
यहाँ प्रथम पद \(a=9\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=12\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\)। विकल्प 36864, \(9\times4096\) है; उसमें \(-1\) करना छूट गया है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग के सूत्र में \(r^n-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=9\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=12\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\). The option 36864 equals \(9\times4096\); it results from missing the \(-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), remember the \(r^n-1\) part of the sum formula.
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If \(a_6=224\) and (a=7), and (r) is positive, what is (r)?
A. \(2\)
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद \(a_6=ar^5\) होता है। अतः \(224=7r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(7\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 224 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^5\). Thus, \(224=7r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(7\times3^5\) is obtained, not 224. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
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In the geometric progression \(45,15,5,\frac{5}{3},\ldots\), which term is \(\frac{5}{27}\)?
A. छठा पद(6)th term
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{5}{27}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{5}{27}\). In exams fractional terms can also be checked in order.
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If (a=2) and (r=4), what is the value of \(a_5+a_6\)?
B. (2560)
\(a_5=2\cdot4^4=512\) और \(a_6=2048\) इसलिए योग (2560) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=2\cdot4^4=512\) and \(a_6=2048\), so the sum is (2560). In exams calculate large powers separately.
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How many terms of the geometric progression \(2,6,18,\ldots\) have sum (242)?
B. (5)
(S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1) और \(3^n-1=242\) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1), and \(3^n-1=242\) gives (n=5). In exams simplify the sum and identify the power.
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