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यहाँ (a=16) और (d=7) है, इसलिए \(a_{13}=16+12\times7=100\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / Here (a=16) and (d=7), so \(a_{13}=16+12\times7=100\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
समांतर श्रेणी में प्रत्येक लगातार पदों का अंतर समान होता है, इसलिए \(q-p\), \(r-q\) और \(s-r\) बराबर होने चाहिए। केवल \(p+s=q+r\) पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में तीनों अंतर घटाकर जाँचें। / In an AP, the difference between every pair of consecutive terms is constant, so \(q-p\), \(r-q\), and \(s-r\) must be equal. \(p+s=q+r\) alone is not sufficient. Exam tip: compare all three differences.
यहाँ (d=-9) है, इसलिए (a_9=120+8(-9)=48) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-9), so (a_9=120+8(-9)=48). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
107वाँ मान पाने के लिए सामान्य पद में a_n = 107 रखें: 6n + 5 = 107। अतः 6n = 102 और n = 17 मिलता है। इसलिए 107, सत्रहवाँ पद है। सोलहवें पद का मान 6(16) + 5 = 101 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए a_n को उस दिए गए मान के बराबर रखें। / To find the position of 107, put a_n = 107 in the general term: 6n + 5 = 107. Thus, 6n = 102 and n = 17. Therefore, 107 is the 17th term. The 16th term is 6(16) + 5 = 101, so it is not correct. Exam tip: To find the term number for a given value, equate a_n to that value.
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=21\), \(a_{18}=106\) है, इसलिए \(106=21+17d\)। अतः \(17d=85\) और \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर अठारहवाँ पद \(21+17\times4=89\) आता, जो 106 नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद के लिए पदों के बीच अंतर \(n-1\) बार होता है, n बार नहीं। / The nth-term formula of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=21\) and \(a_{18}=106\), so \(106=21+17d\). Thus, \(17d=85\), giving \(d=5\). If the common difference were 4, the eighteenth term would be \(21+17\times4=89\), not 106. Exam tip: from the first term to the nth term, the common difference is added \(n-1\) times, not n times.
पहला पद (12) और अंतर (8) है, इसलिए \(a_n=8n+4\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (12) and the difference is (8), so \(a_n=8n+4\). In exams, check the first term by putting (n=1).
\(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\). In exams, use the formula for \(S_n\).
मध्य पद \(x=\frac{14+42}{2}=28\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(x=\frac{14+42}{2}=28\). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
\(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\). In exams, calculate inside the bracket first.
AP में क्रमागत अंतरों के बराबर होने से \(q-p=r-q\) होता है। दोनों पक्ष जोड़ने पर \(2q=p+r\) मिलता है। \(q^2=pr\) गुणोत्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में बीच का पद जाँचें। / In an AP, consecutive differences are equal: \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), so the middle term is the average of the other two. \(q^2=pr\) is the condition for a GP. Exam tip: check the middle term.
(n=1) पर (44) और (n=2) पर (38) देने वाला नियम \(a_n=50-6n\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में पहला पद मिलाएँ। / The rule \(a_n=50-6n\) gives (44) at (n=1) and (38) at (n=2). In exams, match the first term in a decreasing progression.
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_8=15+(8-1)d=15+7d\)। दिया है \(a_8=71\), इसलिए \(71=15+7d\), अर्थात \(7d=56\) और \(d=8\)। \(7\) लेने की गलती न करें; \(a_8\) तक पहुँचने के लिए प्रथम पद के बाद सात समान अंतर जुड़ते हैं। परीक्षा टिप: हमेशा \(a_n\) के साथ \((n-1)\) लिखकर ही मान रखें। / Use the AP formula \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_8=15+(8-1)d=15+7d\). Since \(a_8=71\), \(71=15+7d\), so \(7d=56\) and \(d=8\). Do not choose \(7\): there are seven common differences from the first term to the eighth term. Exam tip: write \((n-1)\) explicitly before substituting values in the AP formula.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=5\) और सार्वांतर \(d=9\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(5+(n-1)\times9=95\) से \((n-1)\times9=90\), इसलिए \(n=11\)। इसलिए 95 ग्यारहवाँ पद है। ध्यान दें कि दसवाँ पद 86 होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या पूछे जाने पर \(a_n\) को दिए गए पद के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / Here, the first term is \(a=5\) and the common difference is \(d=9\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(5+(n-1)\times9=95\) gives \((n-1)\times9=90\), hence \(n=11\). Therefore, 95 is the eleventh term. The tenth term is 86, so it is not correct. Exam tip: when asked for a term number, equate \(a_n\) to the given term and solve for \(n\).
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_9=19+(9-1)(-5)=19-40=-21\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(-19\) तब मिलता यदि \(n-1\) के स्थान पर 7 लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अंतर \(d\) होने पर गुणन के बाद चिह्न अवश्य जाँचें। / For an arithmetic progression, the nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_9=19+(9-1)(-5)=19-40=-21\). Therefore, option B is correct. The value \(-19\) would result from incorrectly using 7 in place of \(n-1\). Exam tip: when the common difference is negative, check the sign after multiplication carefully.
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं: \(q-p=r-q\)। दोनों पक्षों को व्यवस्थित करने पर \(2q=p+r\) मिलता है, अर्थात मध्य पद दोनों बाहरी पदों का औसत है। परीक्षा में मध्य पद को दोगुना करके जाँचें। / In an AP, consecutive differences are equal: \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), so the middle term is the average of the outer terms. Exam tip: double the middle term to test three terms quickly.
यहाँ प्रथम पद \(a=3\), सार्वांतर \(d=7-3=4\) और पदों की संख्या \(n=20\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(3)+19(4)]=10(82)=820\)। इसलिए सही उत्तर 820 है। 810 प्राप्त करना सामान्यतः अंतिम पद या \((n-1)d\) के स्थान पर गलत मान लेने से होता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n\) पदों के लिए हमेशा \((n-1)d\) लिखें। / Here, the first term is \(a=3\), the common difference is \(d=7-3=4\), and \(n=20\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(3)+19(4)]=10(82)=820\). Therefore, 820 is correct. A value such as 810 can result from using an incorrect last term or replacing \((n-1)d\) incorrectly. Exam tip: for the sum of \(n\) terms, use \((n-1)d\) in the formula.
\(a_{10}-a_4=6d=42\), इसलिए (d=7) है। परीक्षा में दूर के पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर से बाँटें। / \(a_{10}-a_4=6d=42\), so (d=7). In exams, divide the difference of terms by the difference of positions.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=a_1+6d\)। दिए गए मान रखने पर \(52=a_1+6\times7=a_1+42\), इसलिए \(a_1=10\) होगा। 12 लेने पर सातवाँ पद \(12+42=54\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए अंतर की संख्या हमेशा \(n-1\) होती है। / In an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Hence, \(a_7=a_1+6d\). Substituting the given values, \(52=a_1+6\times7=a_1+42\), so \(a_1=10\). If 12 were used, the seventh term would be \(12+42=54\), not 52. Exam tip: the number of common differences before the \(n\)th term is always \(n-1\).
पद-संख्या का अंतर (10) है और (d=8), इसलिए अंतर \(10\times8=80\) है। परीक्षा में दो पदों का अंतर सीधे ((m-n)d) से निकालें। / The position difference is (10) and (d=8), so the difference is \(10\times8=80\). In exams, use ((m-n)d) directly for the difference of two terms.
पहले आठ पद (7,17,27,37,47,57,67,77) हैं और योग (336) है। परीक्षा में नियम से पद निकालकर भी योग जाँच सकते हैं। / The first eight terms are (7,17,27,37,47,57,67,77), and their sum is (336). In exams, you can verify the sum by listing terms from the rule.
यहाँ प्रथम पद \(a=23\) और सार्वांतर \(d=31-23=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d\) होता है। अतः \(23+(n-1)\times 8=111\) से \((n-1)=11\), इसलिए \(n=12\)। अतः 111 बारहवाँ पद है। ग्यारहवाँ पद \(23+10\times8=103\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर दिए गए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=23\) and the common difference is \(d=31-23=8\). The \(n\)th term is \(a+(n-1)d\). Thus, \(23+(n-1)\times 8=111\) gives \((n-1)=11\), so \(n=12\). Therefore, 111 is the 12th term. The 11th term is \(23+10\times8=103\), so it is not correct. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) first, then equate the given value to \(a_n\).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_2=a+d=16\) और \(a_9=a+8d=65\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(7d=49\), इसलिए \(d=7\)। अब \(a+d=16\) में \(d=7\) रखने पर \(a=9\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 केवल सामान्य अंतर \(d\) निकालने के बाद गलत प्रतिस्थापन से आ सकता है। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों के समीकरण बनाकर उन्हें घटाएँ, इससे \(d\) जल्दी निकलता है। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_2=a+d=16\) and \(a_9=a+8d=65\). Subtracting the two equations gives \(7d=49\), so \(d=7\). Substituting this into \(a+d=16\) gives \(a=9\). Therefore, the correct answer is 9. Option 8 can result from an incorrect substitution after finding the common difference. Exam tip: form equations for the given terms and subtract them first to find \(d\) quickly.
यहाँ प्रथम पद \(a=64\) और सार्वांतर \(d=56-64=-8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। शून्य पद के लिए \(64+(n-1)(-8)=0\) रखने पर \(n-1=8\), अतः \(n=9\) मिलता है। इसलिए नौवाँ पद शून्य है। आठवाँ पद \(8\) होता है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) का सूत्र लिखकर दिया गया मान रखें। / Here, the first term is \(a=64\) and the common difference is \(d=56-64=-8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). For the zero term, \(64+(n-1)(-8)=0\), so \(n-1=8\) and hence \(n=9\). Therefore, the ninth term is zero. The eighth term is \(8\), not zero. Exam tip: To find the position of a specified term, write the \(a_n\) formula first and substitute the given value.
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_{12}=a+11d\)। दिए गए मान रखने पर \(88=11+11d\), इसलिए \(11d=77\) और \(d=7\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(d=8\) लेने पर बारहवाँ पद \(99\) आता, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(d\) का गुणांक हमेशा \(n-1\) होता है। / The formula for an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Hence, \(a_{12}=a+11d\). Substituting the given values, \(88=11+11d\), so \(11d=77\) and \(d=7\). Therefore, option C is correct. If \(d=8\), the twelfth term would be \(99\), not the given value. Exam tip: the coefficient of \(d\) in the \(n\)th term is always \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=14\), सार्वांतर \(d=22-14=8\) और \(n=15\) है। \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(14)+14(8)]=\frac{15}{2}(140)=1050\)। इसलिए सही उत्तर 1050 है। 1040 प्राप्त करना सामान्यतः गुणा या जोड़ की गलती से होता है। परीक्षा टिप: पहले \(n-1\) का मान निकालकर ही सूत्र में रखें। / Here, the first term is \(a=14\), the common difference is \(d=22-14=8\), and \(n=15\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(14)+14(8)]=\frac{15}{2}(140)=1050\). Hence, 1050 is correct. A value such as 1040 usually results from an addition or multiplication error. Exam tip: calculate \(n-1\) first before substituting in the formula.
(6d=42) से (d=7) और (a+4d=33) से (a=5) है। परीक्षा में दो दिए पदों से पहले (d) निकालें। / From (6d=42), (d=7), and from (a+4d=33), (a=5). In exams, find (d) first using two given terms.
पाँचवाँ पद (x+36=58) है, इसलिए (x=22) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The fifth term is (x+36=58), so (x=22). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=7\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(72=7+(n-1)\times5\) से \(65=5(n-1)\), इसलिए \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 72 श्रेणी का 14वाँ पद है। 13वाँ पद 67 है, इसलिए 13 सही नहीं है। परीक्षा टिप: अंतिम पद दिया हो तो उसे \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / Here, the first term is \(a=7\) and the common difference is \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(72=7+(n-1)\times5\), giving \(65=5(n-1)\), hence \(n-1=13\) and \(n=14\). Therefore, 72 is the 14th term of the AP. The 13th term is 67, so 13 is not correct. Exam tip: When the last term is given, equate it to \(a_n\) and solve for \(n\).
यहाँ \(S_4\), पहले चार पदों का योग है: \(9+17+25+33=84\)। अतः सही उत्तर 84 है। 80 केवल पहला और अंतिम पद जोड़ने पर मिलता है, इसलिए वह योग नहीं है। परीक्षा टिप: कम पद दिए हों तो सीधे जोड़ना तेज और सुरक्षित तरीका है। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: \(9+17+25+33=84\). Therefore, the correct answer is 84. The value 80 is obtained by adding only the first and last terms, so it is not the required sum. Exam tip: when only a few terms are given, direct addition is quick and reliable.
यहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=25-18=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(18+(n-1)\times7=123\) से \((n-1)\times7=105\), इसलिए \(n-1=15\) और \(n=16\)। इसलिए 123 सोलहवाँ पद है। पंद्रहवाँ पद \(18+14\times7=116\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या निकालते समय \(n-1\) में 1 जोड़ना न भूलें। / Here, the first term is \(a=18\) and the common difference is \(d=25-18=7\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(18+(n-1)\times7=123\), giving \((n-1)\times7=105\). Hence \(n-1=15\) and \(n=16\). Therefore, 123 is the 16th term. The 15th term is \(18+14\times7=116\), so it is not correct. Exam tip: after finding \(n-1\), remember to add 1 to get the term number.
समानांतर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर समान होता है: \(q-p=r-q\)। दोनों पक्षों को जोड़ने पर \(2q=p+r\) मिलता है, अर्थात मध्य पद दोनों बाहरी पदों का औसत है। \(q^2=pr\) गुणोत्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में ‘मध्य पद = औसत’ पहचानें। / In an AP, consecutive differences are equal: \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), so the middle term is the average of the outer terms. \(q^2=pr\) is the corresponding condition for a GP. Exam tip: check the average-middle-term property quickly.
\(S_{14}=\frac{14}{2}[12+13\times7]=721\) नहीं बल्कि (721) है। परीक्षा में कोष्ठक और गुणा दोनों ध्यान से करें। / \(S_{14}=\frac{14}{2}[12+13\times7]=721\). In exams, calculate the bracket and multiplication carefully.
छठे से बारहवें पद तक (6) अंतर हैं, इसलिए \(a_{12}=47+6\times9=101\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) differences from the sixth to the twelfth term, so \(a_{12}=47+6\times9=101\). In exams, count the difference in positions.
यहाँ प्रथम पद \(a=84\) और सार्वांतर \(d=75-84=-9\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(12=84+(n-1)(-9)\) से \(n-1=8\), इसलिए \(n=9\)। इसलिए 12 नौवाँ पद है। दसवाँ पद 3 होगा, इसलिए वह निकटतम विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक रखना न भूलें। / Here, the first term is \(a=84\) and the common difference is \(d=75-84=-9\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(12=84+(n-1)(-9)\). Thus, \(n-1=8\), so \(n=9\). Therefore, 12 is the ninth term. The tenth term is 3, so the closest distractor is not correct. Exam tip: always use a negative common difference for a decreasing AP.
\(216=\frac{8}{2}[12+7d]\) से (d=6) मिलता है। परीक्षा में \(S_n\) सूत्र में (2a) और ((n-1)d) सही रखें। / From \(216=\frac{8}{2}[12+7d]\), (d=6). In exams, keep (2a) and ((n-1)d) correct in the \(S_n\) formula.
यहाँ प्रथम पद \(a=21\) और सार्वांतर \(d=28-21=7\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_9=21+8\times7=77\) तथा \(a_{13}=21+12\times7=105\) मिलता है। अतः \(a_9+a_{13}=77+105=182\)। विकल्प 168 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या गिनने में \(n-1\) के स्थान पर गलत अंतर लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी AP में \(n\)वाँ पद निकालते समय \((n-1)d\) अवश्य लगाएँ। / Here, the first term is \(a=21\) and the common difference is \(d=28-21=7\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_9=21+8\times7=77\) and \(a_{13}=21+12\times7=105\). Therefore, \(a_9+a_{13}=77+105=182\). Option 168 may result from using an incorrect difference instead of \((n-1)d\). Exam tip: while finding the \(n\)th term of an AP, always use \((n-1)d\).
दिया है कि a_n=74-5n और a_n=19। अतः 74-5n=19, इसलिए 5n=55 और n=11। इसलिए 19 ग्यारहवाँ पद है। बारहवाँ पद लेने पर मान 74-5(12)=14 होगा, 19 नहीं। परीक्षा टिप: किसी पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को a_n के बराबर रखकर n हल करें। / Given a_n=74-5n and a_n=19. So, 74-5n=19, which gives 5n=55 and n=11. Hence, 19 is the 11th term. For example, the 12th term is 74-5(12)=14, not 19. Exam tip: To find a term number, equate the given term value to a_n and solve for n.
यह (8) के पहले (12) गुणजों का योग है, जो (624) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (12) multiples of (8), which is (624). In exams, identify sequences of multiples quickly.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\)। दिए गए मानों से \(94-38=56=8d\), इसलिए \(d=7\) है। \(6\) लेने पर पदों का अंतर \(8\) होने के बावजूद अंतर केवल \(48\) आता, जो दिए गए \(56\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके मानों के अंतर को उनकी पद-संख्याओं के अंतर से भाग दें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\). Using the given values, \(94-38=56=8d\), so \(d=7\). If \(d=6\), the difference across 8 positions would be only \(48\), not the required \(56\). Exam tip: when two terms are given, divide the difference of their values by the difference of their term numbers.
समांतर श्रेणी में पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर के बराबर सार्वांतरों का गुणज होता है। यहाँ 13वाँ और 7वाँ पद 6 स्थान दूर हैं तथा अंतर 49−25=24 है, इसलिए d=24/6=4। परीक्षा में पदों के क्रमांक का अंतर लेना न भूलें। / In an AP, the difference between two terms equals the common difference times the gap in their term numbers. Here the terms are 6 positions apart and 49−25=24, so d=24/6=4. Exam tip: always subtract the term indices as well as the term values.
क्रमागत पदों के अंतर समान होते हैं, इसलिए \(q-p=r-q\)। दोनों पक्षों को व्यवस्थित करने पर \(2q=p+r\) मिलता है। विकल्प B में मध्य पद का दुगुना नहीं लिया गया है। परीक्षा में पहले मध्य पद को जाँचें। / Consecutive AP terms have equal differences, so \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), meaning the middle term is the average of the outer terms. Option B does not express this. Exam tip: test the middle term first.
(7d=49) से (d=7) और (a+3d=20) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (7d=49), (d=7), and from (a+3d=20), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
\(a_6=46\) और \(a_{10}=74\), इसलिए योग (120) है। परीक्षा में दोनों पदों में सही (n) रखें। / \(a_6=46\) and \(a_{10}=74\), so the sum is (120). In exams, substitute the correct (n) in both terms.
यहाँ प्रथम पद \(a=27\) और सार्वांतर \(d=35-27=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(123=27+(n-1)8\), इसलिए \((n-1)8=96\), \(n-1=12\) और \(n=13\)। विकल्प 12 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(n-1\) का मान है, पद संख्या \(n\) नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय अंत में \(n-1\) में 1 अवश्य जोड़ें। / Here, the first term is \(a=27\) and the common difference is \(d=35-27=8\). The nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(123=27+(n-1)8\), so \((n-1)8=96\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Option 12 is incorrect because it is the value of \(n-1\), not the term number \(n\). Exam tip: when finding the term number, remember to add 1 after calculating \(n-1\).
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर \(2x-x=x\), \(3x-2x=x\) है; अतः अंतर स्थिर है और यह समान्तर श्रेणी है। विकल्प D में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: दो लगातार अंतरों की तुलना करें। / In option A, consecutive differences are \(2x-x=x\) and \(3x-2x=x\), so the common difference is fixed. Option D has changing differences. Exam tip: compare two successive differences to identify an AP.
यहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्वांतर \(d=18-12=6\) और पदों की संख्या \(n=25\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(12)+24\times6]=\frac{25}{2}(168)=2100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(24\) को प्रथम पद मान लेना गलत होगा; वह \((n-1)\) का मान है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n-1\) अवश्य जाँचें। / Here, the first term is \(a=12\), the common difference is \(d=18-12=6\), and the number of terms is \(n=25\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(12)+24\times6]=\frac{25}{2}(168)=2100\). Therefore, option C is correct. Taking \(24\) as the first term would be incorrect; it is the value of \((n-1)\). Exam tip: always check \(n-1\) carefully in the sum formula.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_8=a+7d\)। दिए गए मान रखने पर \(66=17+7d\), इसलिए \(7d=49\) और \(d=7\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(d=8\) लेने पर आठवाँ पद \(17+7\times8=73\) आता, जो 66 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद लिखते समय \(n-1\) का प्रयोग करें, \(n\) का नहीं। / In an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_8=a+7d\). Substituting the given values gives \(66=17+7d\), so \(7d=49\) and \(d=7\). Hence, option C is correct. If \(d=8\), the eighth term would be \(17+7\times8=73\), not 66. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), in the formula for the \(n\)th term.
यहाँ प्रथम पद \(a=24\) और सार्वांतर \(d=19-24=-5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(24+(n-1)(-5)=-11\) से \(24-5n+5=-11\), यानी \(29-5n=-11\)। इसलिए \(n=8\) प्राप्त होता है। अतः \((-11)\) आठवाँ पद है। सातवाँ पद \((-6)\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक अवश्य रखें। / Here, the first term is \(a=24\) and the common difference is \(d=19-24=-5\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(24+(n-1)(-5)=-11\). Thus, \(29-5n=-11\), which gives \(n=8\). Therefore, \((-11)\) is the eighth term. The seventh term is \((-6)\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: In a decreasing AP, make sure to use a negative common difference.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद
\(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_5=12+(5-1)\times9=48\) और \(a_8=12+(8-1)\times9=75\)। इसलिए \(a_5+a_8=48+75=123\) है। 117 जैसा विकल्प पदों में अंतर \(d\) को गलत गिनने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n-1\) लिखकर पद निकालें, फिर जोड़ करें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_5=12+(5-1)\times9=48\) and \(a_8=12+(8-1)\times9=75\). Therefore, \(a_5+a_8=48+75=123\). A value such as 117 may result from counting the common difference incorrectly. Exam tip: write \(n-1\) first while finding each term, then add the terms.
(S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]) में (n=11) रखने पर (407) और (n=12) रखने पर (480) मिलता है, इसलिए कोई विकल्प (539) नहीं देता। परीक्षा में विकल्प रखकर जाँच करें। / In (S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]), (n=11) gives (407) and (n=12) gives (480), so no option gives (539). In exams, check by substituting options.
