Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ (a=16) और (d=7) है, इसलिए \(a_{13}=16+12\times7=100\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / Here (a=16) and (d=7), so \(a_{13}=16+12\times7=100\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
\(a_{11}=9+10\times12=129\) है। परीक्षा में ग्यारहवें पद के लिए (10) बार अंतर जोड़ें। / \(a_{11}=9+10\times12=129\). In exams, add the difference (10) times for the eleventh term.
यहाँ (d=-9) है, इसलिए (a_9=120+8(-9)=48) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-9), so (a_9=120+8(-9)=48). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
(6n+5=107) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / From (6n+5=107), we get (n=17). In exams, equate the given term to the general term.
(106=21+17d) से (d=5) है। परीक्षा में (n)वें पद में (n-1) का ध्यान रखें। / From (106=21+17d), (d=5). In exams, pay attention to (n-1) in the (n)th term.
पहला पद (12) और अंतर (8) है, इसलिए \(a_n=8n+4\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (12) and the difference is (8), so \(a_n=8n+4\). In exams, check the first term by putting (n=1).
\(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\). In exams, use the formula for \(S_n\).
मध्य पद \(x=\frac{14+42}{2}=28\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(x=\frac{14+42}{2}=28\). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
\(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\). In exams, calculate inside the bracket first.
\(a_5=a+4d\), इसलिए (41=a+32) और (a=9) है। परीक्षा में पाँचवें पद से चार अंतर घटाएँ। / \(a_5=a+4d\), so (41=a+32) and (a=9). In exams, subtract four differences from the fifth term.
(n=1) पर (44) और (n=2) पर (38) देने वाला नियम \(a_n=50-6n\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में पहला पद मिलाएँ। / The rule \(a_n=50-6n\) gives (44) at (n=1) and (38) at (n=2). In exams, match the first term in a decreasing progression.
(71=15+7d) से (d=8) है। परीक्षा में \(a_8\) के लिए सात बार (d) जोड़ा जाता है। / From (71=15+7d), (d=8). In exams, (d) is added seven times for \(a_8\).
(5+(n-1)9=95) से (n=11) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए समीकरण बनाएँ। / From (5+(n-1)9=95), we get (n=11). In exams, form an equation to find the term number.
\(168=\frac{6}{2}[16+5d]\) से (d=8) मिलता है। परीक्षा में योग सूत्र में (n-1) सही रखें। / From \(168=\frac{6}{2}[16+5d]\), (d=8). In exams, keep (n-1) correct in the sum formula.
\(S_{20}=\frac{20}{2}[6+19\times4]=820\) है। परीक्षा में (20) पदों के लिए (19d) जोड़ें। / \(S_{20}=\frac{20}{2}[6+19\times4]=820\). In exams, add (19d) for (20) terms.
\(a_{10}-a_4=6d=42\), इसलिए (d=7) है। परीक्षा में दूर के पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर से बाँटें। / \(a_{10}-a_4=6d=42\), so (d=7). In exams, divide the difference of terms by the difference of positions.
\(a_7=a+6d\), इसलिए (52=a+42) और (a=10) है। परीक्षा में सातवें पद से छह अंतर घटाएँ। / \(a_7=a+6d\), so (52=a+42) and (a=10). In exams, subtract six differences from the seventh term.
पद-संख्या का अंतर (10) है और (d=8), इसलिए अंतर \(10\times8=80\) है। परीक्षा में दो पदों का अंतर सीधे ((m-n)d) से निकालें। / The position difference is (10) and (d=8), so the difference is \(10\times8=80\). In exams, use ((m-n)d) directly for the difference of two terms.
पहले आठ पद (7,17,27,37,47,57,67,77) हैं और योग (336) है। परीक्षा में नियम से पद निकालकर भी योग जाँच सकते हैं। / The first eight terms are (7,17,27,37,47,57,67,77), and their sum is (336). In exams, you can verify the sum by listing terms from the rule.
(23+(n-1)8=111) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में दिए पद को (a+(n-1)d) के बराबर रखें। / From (23+(n-1)8=111), we get (n=12). In exams, equate the given term to (a+(n-1)d).
(7d=49) से (d=7) और (a+d=16) से (a=9) है। परीक्षा में पहले (d) निकालें फिर (a) निकालें। / From (7d=49), (d=7), and from (a+d=16), (a=9). In exams, find (d) first and then (a).
(64+(n-1)(-8)=0) से (n=9) है। परीक्षा में शून्य पद के लिए समीकरण बनाकर हल करें। / From (64+(n-1)(-8)=0), (n=9). In exams, form and solve an equation for the zero term.
\(S_{15}=\frac{15}{2}[28+14\times8]=1050\) है। परीक्षा में (2a+(n-1)d) को सही जोड़ें। / \(S_{15}=\frac{15}{2}[28+14\times8]=1050\). In exams, add (2a+(n-1)d) correctly.
(6d=42) से (d=7) और (a+4d=33) से (a=5) है। परीक्षा में दो दिए पदों से पहले (d) निकालें। / From (6d=42), (d=7), and from (a+4d=33), (a=5). In exams, find (d) first using two given terms.
पाँचवाँ पद (x+36=58) है, इसलिए (x=22) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The fifth term is (x+36=58), so (x=22). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
(7+(n-1)5=72) से (n=14) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / From (7+(n-1)5=72), (n=14). In exams, equate the last term to the general term.
योग (9+17+25+33=84) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (9+17+25+33=84). In exams, direct addition is also fast for small (n).
(a_{14}=35+13(-4)=-17) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / (a_{14}=35+13(-4)=-17). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
\(S_{14}=\frac{14}{2}[12+13\times7]=721\) नहीं बल्कि (721) है। परीक्षा में कोष्ठक और गुणा दोनों ध्यान से करें। / \(S_{14}=\frac{14}{2}[12+13\times7]=721\). In exams, calculate the bracket and multiplication carefully.
छठे से बारहवें पद तक (6) अंतर हैं, इसलिए \(a_{12}=47+6\times9=101\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) differences from the sixth to the twelfth term, so \(a_{12}=47+6\times9=101\). In exams, count the difference in positions.
(84+(n-1)(-9)=12) से (n=9) है। परीक्षा में घटते पद के लिए ऋणात्मक अंतर लगाएँ। / From (84+(n-1)(-9)=12), (n=9). In exams, use the negative difference for a decreasing term.
\(216=\frac{8}{2}[12+7d]\) से (d=6) मिलता है। परीक्षा में \(S_n\) सूत्र में (2a) और ((n-1)d) सही रखें। / From \(216=\frac{8}{2}[12+7d]\), (d=6). In exams, keep (2a) and ((n-1)d) correct in the \(S_n\) formula.
\(a_9=77\) और \(a_{13}=105\), इसलिए योग (182) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_9=77\) and \(a_{13}=105\), so the sum is (182). In exams, find both terms separately.
(74-5n=19) से (n=11) है। परीक्षा में घटते रैखिक नियम में चिह्न सही रखें। / From (74-5n=19), (n=11). In exams, keep signs correct in a decreasing linear rule.
यह (8) के पहले (12) गुणजों का योग है, जो (624) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (12) multiples of (8), which is (624). In exams, identify sequences of multiples quickly.
\(a_{14}-a_6=8d=56\), इसलिए (d=7) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर ध्यान से लें। / \(a_{14}-a_6=8d=56\), so (d=7). In exams, note the difference in positions carefully.
\(a_{22}=5+21\times6=131\) है। परीक्षा में (22)वें पद के लिए (21d) जोड़ें। / \(a_{22}=5+21\times6=131\). In exams, add (21d) for the twenty-second term.
(S_8=\frac{8}{2}[60+7(-4)]=128) है। परीक्षा में ऋणात्मक (d) को कोष्ठक में रखें। / (S_8=\frac{8}{2}[60+7(-4)]=128). In exams, put negative (d) inside brackets.
(7d=49) से (d=7) और (a+3d=20) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (7d=49), (d=7), and from (a+3d=20), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
\(a_6=46\) और \(a_{10}=74\), इसलिए योग (120) है। परीक्षा में दोनों पदों में सही (n) रखें। / \(a_6=46\) and \(a_{10}=74\), so the sum is (120). In exams, substitute the correct (n) in both terms.
(27+(n-1)8=123) से (n=13) है। परीक्षा में (n-1) को अलग करके पद संख्या निकालें। / From (27+(n-1)8=123), (n=13). In exams, isolate (n-1) to find the term number.
(39=4+5d) से (d=7), इसलिए \(a_{10}=4+9\times7=67\) है। परीक्षा में पहले अंतर निकालें। / From (39=4+5d), (d=7), so \(a_{10}=4+9\times7=67\). In exams, find the difference first.
\(S_{25}=\frac{25}{2}[24+24\times6]=2100\) है। परीक्षा में (n=25) के लिए ((n-1)=24) लें। / \(S_{25}=\frac{25}{2}[24+24\times6]=2100\). In exams, take ((n-1)=24) for (n=25).
(24+(n-1)(-5)=-11) से (n=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक पदों के लिए भी वही सूत्र लगाएँ। / From (24+(n-1)(-5)=-11), (n=8). In exams, use the same formula even for negative terms.
\(a_5=48\) और \(a_8=75\), इसलिए योग (123) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=48\) and \(a_8=75\), so the sum is (123). In exams, find both terms separately and add them.
(S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]) में (n=11) रखने पर (407) और (n=12) रखने पर (480) मिलता है, इसलिए कोई विकल्प (539) नहीं देता। परीक्षा में विकल्प रखकर जाँच करें। / In (S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]), (n=11) gives (407) and (n=12) gives (480), so no option gives (539). In exams, check by substituting options.
