Class 10 ap formulas MCQ Questions

Question 1/10 Expert Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Class 10 Level 69

एक समान्तर श्रेणी में $S_{18}=999$ और (d=5) है। प्रथम पद क्या होगा?

In an arithmetic progression $S_{18}=999$ and (d=5). What is the first term?

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Correct Answer

B. 13

Explanation

Simple Explanation

समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ होता है। अतः $999=\frac{18}{2}[2a+17\times5]=9(2a+85)$। इसलिए $2a+85=111$, जिससे $2a=26$ और $a=13$ मिलता है। विकल्प 15 लेने पर योग 999 नहीं आएगा। परीक्षा टिप: $S_n$ वाले प्रश्न में $(n-1)d$ लिखते समय $n-1$ का ध्यान रखें। / The sum of the first $n$ terms of an AP is $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$. Thus, $999=\frac{18}{2}[2a+17\times5]=9(2a+85)$. Hence $2a+85=111$, so $2a=26$ and $a=13$. If 15 is used as the first term, the sum will not be 999. Exam tip: in an $S_n$ question, carefully use $(n-1)d$, not $nd$.

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Question 2/10 Expert Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Class 10 Level 68

एक समान्तर श्रेणी में $t_3+t_9=70$ और $t_5+t_{15}=110$ है। पहले (20) पदों का योग कितना होगा?

In an arithmetic progression $t_3+t_9=70$ and $t_5+t_{15}=110$. What is the sum of the first (20) terms?

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Correct Answer

B. 575

Explanation

Simple Explanation

मान लें प्रथम पद $a$ और सार्वांतर $d$ है। तब $t_3+t_9=(a+2d)+(a+8d)=70$, अतः $a+5d=35$। इसी प्रकार $t_5+t_{15}=(a+4d)+(a+14d)=110$, अतः $a+9d=55$। घटाने पर $4d=20$, इसलिए $d=5$ और $a=10$। अतः $S_{20}=\frac{20}{2}[2(10)+19(5)]=575$। विकल्प 1150 में $\frac{n}{2}$ के स्थान पर $n$ लेने की सामान्य गलती होती है। परीक्षा टिप: पहले पदों के दिए गए संबंधों को $a$ और $d$ के समीकरणों में बदलें। / Let the first term be $a$ and the common difference be $d$. From $t_3+t_9=(a+2d)+(a+8d)=70$, we get $a+5d=35$. Similarly, $t_5+t_{15}=(a+4d)+(a+14d)=110$ gives $a+9d=55$. Subtracting gives $4d=20$, so $d=5$ and $a=10$. Therefore, $S_{20}=\frac{20}{2}[2(10)+19(5)]=575$. The value 1150 can result from incorrectly using $n$ instead of $\frac{n}{2}$ in the sum formula. Exam tip: convert the given term relations into equations in $a$ and $d$ first.

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Question 3/10 Medium Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Class 10 Level 69

यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में $S_{12}=390$ और (d=5), तो पहला पद (a) क्या होगा?

If an AP has $S_{12}=390$ and (d=5), what is the first term (a)?

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Correct Answer

B. 5

Explanation

Simple Explanation

समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग का सूत्र $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ है। अतः $390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)$। इसलिए $2a+55=65$, जिससे $2a=10$ और $a=5$ प्राप्त होता है। विकल्प 4 लेने पर योग 378 आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में $(n-1)d$ लिखते समय $n-1$ अवश्य लें, n नहीं। / The sum of the first n terms of an AP is $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$. Thus, $390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)$. Hence $2a+55=65$, so $2a=10$ and $a=5$. If 4 were used as the first term, the sum would be 378, so it is not correct. Exam tip: In the sum formula, use $(n-1)d$, not $nd$.

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Question 4/10 Medium Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Class 10 Level 69

यदि $S_{25}=1225$ और $S_{24}=1128$, तो (25)वाँ पद क्या है?

If $S_{25}=1225$ and $S_{24}=1128$, what is the (25)th term?

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Correct Answer

C. 97

Explanation

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किसी समान्तर श्रेणी में nवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र $a_n=S_n-S_{n-1}$ प्रयोग किया जाता है। अतः $a_{25}=S_{25}-S_{24}=1225-1128=97$। इसलिए सही उत्तर 97 है। 96, $S_{25}$ और $S_{24}$ का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा बाद में जुड़ा हुआ पद देता है। / In an AP, the nth term can be found using $a_n=S_n-S_{n-1}$. Therefore, $a_{25}=S_{25}-S_{24}=1225-1128=97$. Hence, the correct answer is 97. For example, 96 is incorrect because it is not the difference between $S_{25}$ and $S_{24}$. Exam tip: The difference between two consecutive partial sums always gives the newly added term.

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Question 5/10 Easy Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the sum of the first $n$ terms of an AP Class 10 Level 67

यदि किसी समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग $S_n=3n^2+2n$ है, तो इस श्रेणी का प्रथम पद क्या है?

If the sum of the first n terms of an arithmetic progression is $S_n=3n^2+2n$, what is the first term of the progression?

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Correct Answer

C. 5

Explanation

Simple Explanation

किसी श्रेणी का प्रथम पद उसके पहले एक पद का योग होता है, अर्थात् $a=S_1$। दिए गए सूत्र में $n=1$ रखने पर $S_1=3(1)^2+2(1)=5$ मिलता है। अतः प्रथम पद 5 है। $3$, $n^2$ का गुणांक है; वह प्रथम पद नहीं है। परीक्षा टिप: जब $S_n$ दिया हो, प्रथम पद ज्ञात करने के लिए सीधे $S_1$ निकालें। / The first term of a sequence equals the sum of its first one term, so $a=S_1$. Substituting $n=1$ in the given expression gives $S_1=3(1)^2+2(1)=5$. Therefore, the first term is 5. The number $3$ is the coefficient of $n^2$, not the first term. Exam tip: when $S_n$ is given, find the first term directly by calculating $S_1$.

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Question 6/10 Expert Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the $n$th term of an AP Class 10 Level 65

यदि किसी समान्तर श्रेणी में $a_{31}=a_9+198$ है, तो सार्व अंतर क्या है?

If in an AP $a_{31}=a_9+198$, what is the common difference?

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Correct Answer

C. 9

Explanation

Simple Explanation

समान्तर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके स्थानों के अंतर और सार्व अंतर का गुणनफल होता है। अतः $a_{31}-a_9=(31-9)d=22d$। दिया है कि $a_{31}-a_9=198$, इसलिए $22d=198$ और $d=9$। इसलिए सही विकल्प 9 है। 8 लेने पर अंतर $22\times8=176$ आता, जो 198 नहीं है। परीक्षा टिप: $a_m-a_n=(m-n)d$ सूत्र से ऐसे प्रश्न सीधे हल करें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, $a_{31}-a_9=(31-9)d=22d$. Given $a_{31}-a_9=198$, we get $22d=198$, so $d=9$. Hence, 9 is the correct option. If $d=8$, the difference would be $22\times8=176$, not 198. Exam tip: Use $a_m-a_n=(m-n)d$ for direct questions of this type.

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Question 7/10 Hard Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Finding the $n$th term of an AP Class 10 Level 66

यदि किसी समान्तर श्रेणी में $a_{22}=a_7+120$ है तो सार्व अंतर क्या है?

If in an AP $a_{22}=a_7+120$, what is the common difference?

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C. 8

Explanation

Simple Explanation

समान्तर श्रेणी में $a_n=a+(n-1)d$ होता है। अतः $a_{22}-a_7=(22-7)d=15d$। दिए गए संबंध से $15d=120$, इसलिए $d=8$। विकल्प 9 लेने पर अंतर $15\times 9=135$ आता, जो 120 नहीं है। परीक्षा टिप: दो पदों का अंतर निकालते समय उनके क्रमांकों का अंतर लेकर उसे $d$ से गुणा करें। / For an AP, $a_n=a+(n-1)d$. Therefore, $a_{22}-a_7=(22-7)d=15d$. From the given relation, $15d=120$, so $d=8$. If the common difference were 9, the difference would be $15\times 9=135$, not 120. Exam tip: when two terms are given, subtract their indices and multiply the result by $d$.

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Question 8/10 Medium Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Introduction to APs and common difference. Class 10 Level 63

एक अंकगणितीय श्रेणी में (d=9) है और दूसरा पद (20) है। पहला पद क्या होगा?

In an arithmetic progression, (d=9) and the second term is (20). What is the first term?

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Correct Answer

B. $11$

Explanation

Simple Explanation

अंकगणितीय श्रेणी में दूसरा पद $a_2=a_1+d$ होता है। अतः $a_1=a_2-d=20-9=11$। इसलिए पहला पद $11$ है। $20$ दूसरा पद है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: पहला पद ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से सार्वांतर घटाएँ। / In an AP, the second term is $a_2=a_1+d$. Therefore, $a_1=a_2-d=20-9=11$. Hence, the first term is $11$. The value $20$ is the second term, not the first term. Exam tip: To find the first term from the second term, subtract the common difference.

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Question 9/10 Medium Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Introduction to APs and common difference. Class 10 Level 63

यदि (a=5) और दूसरा पद (17) है तो (d) क्या है?

If (a=5) and the second term is (17), what is (d)?

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Correct Answer

C. 12

Explanation

Simple Explanation

समांतर श्रेणी का दूसरा पद $a_2=a+d$ होता है। यहाँ $17=5+d$, अतः $d=17-5=12$। इसलिए सही उत्तर 12 है। 17 दूसरा पद है, सार्व अंतर नहीं। परीक्षा टिप: $d$ ज्ञात करने के लिए अगले पद में से पिछले पद को घटाइए। / The second term of an AP is $a_2=a+d$. Here, $17=5+d$, so $d=17-5=12$. Therefore, 12 is correct. Note that 17 is the second term, not the common difference. Exam tip: find $d$ by subtracting a term from the following term.

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Question 10/10 Medium Mathematics Arithmetic Progressions (AP) Introduction to APs and common difference. Class 10 Level 61

एक अंकगणितीय श्रेणी में (d=4) है और दूसरा पद (11) है। पहला पद क्या होगा?

In an arithmetic progression, (d=4) and the second term is (11). What is the first term?

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Correct Answer

A. 7

Explanation

Simple Explanation

अंकगणितीय श्रेणी में दूसरा पद 2 पहले पद से सार्वांतर जोड़ने पर मिलता है: $a_2=a_1+d$। अतः $11=a_1+4$, इसलिए $a_1=7$। विकल्प 11 दूसरा पद है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: पहला पद ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से $d$ घटाएँ। / In an arithmetic progression, the second term is obtained by adding the common difference to the first term: $a_2=a_1+d$. Thus, $11=a_1+4$, so $a_1=7$. Option 11 is the second term, not the first term. Exam tip: subtract $d$ from the second term to find the first term.

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एक समान्तर श्रेणी में \(S_{18}=999\) और (d=5) है। प्रथम पद क्या होगा?

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एक समान्तर श्रेणी में \(t_3+t_9=70\) और \(t_5+t_{15}=110\) है। पहले (20) पदों का योग कितना होगा?

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यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में \(S_{12}=390\) और (d=5), तो पहला पद (a) क्या होगा?

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यदि \(S_{25}=1225\) और \(S_{24}=1128\), तो (25)वाँ पद क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=3n^2+2n\) है, तो इस श्रेणी का प्रथम पद क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी में \(a_{31}=a_9+198\) है, तो सार्व अंतर क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी में \(a_{22}=a_7+120\) है तो सार्व अंतर क्या है?

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एक अंकगणितीय श्रेणी में (d=9) है और दूसरा पद (20) है। पहला पद क्या होगा?

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यदि (a=5) और दूसरा पद (17) है तो (d) क्या है?

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एक अंकगणितीय श्रेणी में (d=4) है और दूसरा पद (11) है। पहला पद क्या होगा?

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एक समान्तर श्रेणी में \(t_3+t_9=70\) और \(t_5+t_{15}=110\) है। पहले (20) पदों का योग कितना होगा?

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यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में \(S_{12}=390\) और (d=5), तो पहला पद (a) क्या होगा?

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यदि \(S_{25}=1225\) और \(S_{24}=1128\), तो (25)वाँ पद क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=3n^2+2n\) है, तो इस श्रेणी का प्रथम पद क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी में \(a_{31}=a_9+198\) है, तो सार्व अंतर क्या है?

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यदि किसी समान्तर श्रेणी में \(a_{22}=a_7+120\) है तो सार्व अंतर क्या है?

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एक अंकगणितीय श्रेणी में (d=9) है और दूसरा पद (20) है। पहला पद क्या होगा?

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यदि (a=5) और दूसरा पद (17) है तो (d) क्या है?

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