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एक सभागार की पहली पंक्ति में 20 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में पिछली पंक्ति से 4 सीटें अधिक हैं। पहली 15 पंक्तियों में सीटों की कुल संख्या कितनी होगी?
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ \(a=20\), \(d=4\), \(n=15\)। \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+14(4)]=\frac{15}{2}(96)=720\)। केवल 15वीं पंक्ति की सीटें निकालना कुल सीटों का उत्तर नहीं है। परीक्षा में \(n-1\) अवश्य लें। / This is an AP with \(a=20\), \(d=4\), and \(n=15\). \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+14(4)]=\frac{15}{2}(96)=720\). Finding only the 15th-row seats would not give the total. In exams, remember to use \(n-1\) in the sum formula.
प्रतिदिन जुड़ने वाले सदस्यों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है: \(15, 20, 25, \ldots\), जहाँ \(a=15\), \(d=5\) और \(n=7\) हैं। इसलिए \(S_7=\frac{7}{2}[2(15)+(7-1)5]=\frac{7}{2}(60)=210\)। अतः 7 दिनों में कुल 210 सदस्य जुड़ेंगे। 195 केवल पहले 6 दिनों का योग है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में कुल संख्या पूछी हो तो \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(n\)वाँ पद नहीं। / The daily number of new members forms an AP: \(15, 20, 25, \ldots\), where \(a=15\), \(d=5\), and \(n=7\). Thus, \(S_7=\frac{7}{2}[2(15)+(7-1)5]=\frac{7}{2}(60)=210\). Therefore, 210 members join in 7 days. The value 195 is the sum for only the first 6 days. Exam tip: When a word problem asks for a total in an AP, use the sum formula \(S_n\), not just the \(n\)th-term formula.
प्लेटों की संख्याएँ 10, 12, 14, … एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ a=10, d=2 और n=12 है। इसलिए \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+(12-1)(2)] = 6(42)=252\)। अतः 12 मेजों पर कुल 252 प्लेटें रखी जाएँगी। 264 तब मिलता है जब पदों की संख्या या अंतिम पद का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले a, d और n पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The plate counts 10, 12, 14, … form an arithmetic progression with a=10, d=2, and n=12. Hence, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+(12-1)(2)] = 6(42)=252\). Therefore, 252 plates are placed on 12 tables. The value 264 can result from using the number of terms or the last term incorrectly. Exam tip: In AP word problems, first identify a, d, and n, then apply the formula for \(S_n\).
कमरों की संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: 18, 20, 22, \ldots यहाँ प्रथम पद \(a=18\), सार्वांतर \(d=2\) और मंजिलों की संख्या \(n=9\) है। इसलिए \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)(2)]=\frac{9}{2}(52)=234\)। अतः 9 मंजिलों में कुल 234 कमरे होंगे। 238 अंतिम मंजिल तक के कमरों की संख्या जोड़ने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The numbers of rooms form an arithmetic progression: 18, 20, 22, \ldots Here, the first term is \(a=18\), the common difference is \(d=2\), and the number of floors is \(n=9\). Thus, \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)(2)]=\frac{9}{2}(52)=234\). Therefore, there are 234 rooms in 9 floors. The value 238 is not obtained by adding the rooms on all nine floors. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
प्रतिदिन बनाए गए चित्रों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(5, 7, 9, \ldots\), जहाँ \(a=5\), \(d=2\) और \(n=12\) हैं। इसलिए \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(5)+(12-1)2]=6(32)=192\)। अतः सही उत्तर 192 है। 190 तब मिलता यदि अंतिम पद या पदों की संख्या को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily number of drawings forms an arithmetic progression: \(5, 7, 9, \ldots\), where \(a=5\), \(d=2\), and \(n=12\). Thus, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(5)+(12-1)2]=6(32)=192\). Therefore, 192 is the correct answer. A value such as 190 can result from counting the last term or the number of days incorrectly. Exam tip: in AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
बोरों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्वांतर \(d=6\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(12)+(8-1)6]=4(66)=264\)। इसलिए 8 रैक पर कुल 264 बोरे होंगे। 288 केवल अंतिम पदों को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: कुल योग वाले प्रश्न में \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(a_n\) न निकालें। / The numbers of sacks form an AP with first term \(a=12\), common difference \(d=6\), and \(n=8\) terms. Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(12)+(8-1)6]=4(66)=264\). Therefore, the total on 8 racks is 264 sacks. Option 288 can result from adding terms incorrectly. Exam tip: for a total, use the sum formula \(S_n\), not only the nth-term formula.
विद्यार्थियों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(8, 12, 16, \ldots\), जहाँ \(a=8\), \(d=4\) और \(n=7\) हैं। \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_7=\frac{7}{2}[2(8)+6(4)]=\frac{7}{2}(40)=140\)। अतः सही उत्तर 140 है। 144 केवल अंतिम पदों को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर योग का सूत्र लगाएँ। / The numbers of students form an arithmetic progression: \(8, 12, 16, \ldots\), where \(a=8\), \(d=4\), and \(n=7\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_7=\frac{7}{2}[2(8)+6(4)]=\frac{7}{2}(40)=140\). Therefore, the correct answer is 140. The option 144 may result from adding the terms incorrectly. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP sum formula.
हर सप्ताह अपलोड किए गए वीडियो 6, 9, 12, \(\ldots\) की समान्तर श्रेणी बनाते हैं, जहाँ \(a=6\), \(d=3\) और \(n=9\) हैं। इसलिए \(S_9=\frac{9}{2}[2(6)+(9-1)3]=\frac{9}{2}(36)=162\)। अतः 9 सप्ताहों में कुल 162 वीडियो अपलोड हुए। विकल्प 168 तब आता यदि पदों या अंतर का गलत मान लिया जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्नों में कुल योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल नौवाँ पद \(a_n\) न निकालें। / The weekly numbers of uploaded videos form the AP 6, 9, 12, \(\ldots\), where \(a=6\), \(d=3\), and \(n=9\). Thus, \(S_9=\frac{9}{2}[2(6)+(9-1)3]=\frac{9}{2}(36)=162\). Therefore, 162 videos are uploaded in 9 weeks. The value 168 can result from using an incorrect term or common difference. Exam tip: for a total in AP word problems, use the sum formula \(S_n\), not just the nth-term formula \(a_n\).
यह समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=120\), सार्वांतर \(d=30\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(120)+(6-1)30]=3(390)=1170\)। इसलिए 6 दिनों में कुल 1170 यूज़र जुड़ेंगे। 1200 प्राप्त करना जोड़ या गुणा में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=120\), common difference \(d=30\), and number of terms \(n=6\). Thus, \(S_6=\frac{6}{2}[2(120)+(6-1)30]=3(390)=1170\). Therefore, a total of 1170 users join in 6 days. The option 1200 can result from an addition or multiplication error. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then apply the formula for \(S_n\).
मासिक बचतें AP बनाती हैं, जहाँ पहला पद \(a=30\), सार्वांतर \(d=10\) और पदों की संख्या \(n=12\) है। अतः \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(30)+11(10)]=6(170)=1020\)। इसलिए कुल बचत ₹1020 है। ₹990 में 12वें महीने की बढ़ोतरी का सही प्रभाव शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) लगाएँ। / The monthly savings form an AP with first term \(a=30\), common difference \(d=10\), and \(n=12\) terms. Thus, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(30)+11(10)]=6(170)=1020\). Therefore, her total saving is ₹1020. ₹990 does not correctly account for the increase through the 12th month. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
हर महीने जुड़ने वाले कर्मचारियों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है: \(4, 7, 10, 13, 16, 19\)। यहाँ \(a=4\), \(d=3\) और \(n=6\) हैं। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(4)+(6-1)3]=3(23)=69\)। इसलिए कुल 69 कर्मचारी जुड़ेंगे। विकल्प 72 तब मिलता यदि पदों या अंतर का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The numbers of employees joining each month form an AP: \(4, 7, 10, 13, 16, 19\). Here, \(a=4\), \(d=3\), and \(n=6\). Therefore, \(S_6=\frac{6}{2}[2(4)+(6-1)3]=3(23)=69\). Hence, 69 employees join in total. Option 72 can result from using the number of terms or the common difference incorrectly. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
प्लेटों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: 6, 9, 12, \ldots। यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। इसलिए \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)(3)]=4(12+21)=132\)। अतः सही उत्तर (132) है। (128) जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब सार्वांतर या पदों की संख्या गलत ली जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग से लिखें। / The plate counts form an arithmetic progression: 6, 9, 12, \ldots. Here, the first term is \(a=6\), the common difference is \(d=3\), and the number of terms is \(n=8\). Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(6)+(8-1)(3)]=4(12+21)=132\). Therefore, (132) is correct. A value such as (128) can result from using an incorrect common difference or number of terms. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
प्रतिदिन आने वाले मरीजों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(18, 20, 22, \ldots\)। यहाँ \(a=18\), \(d=2\) और \(n=9\) हैं। अतः \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)2]=\frac{9}{2}(52)=234\)। इसलिए सही उत्तर 234 है। 230 जैसा उत्तर पदों की संख्या या योग के सूत्र में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / The daily number of patients forms an arithmetic progression: \(18, 20, 22, \ldots\). Here, \(a=18\), \(d=2\), and \(n=9\). Therefore, \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)2]=\frac{9}{2}(52)=234\). Hence, 234 is correct. An answer such as 230 may result from using the wrong number of terms or making an error in the sum formula. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP formula.
प्रतिदिन रखी गई किताबों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: 40, 48, 56, 64, 72, 80। यहाँ प्रथम पद \(a=40\), अंतर \(d=8\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(40)+(6-1)8]=3(120)=360\)। इसलिए सही उत्तर 360 है। 380 तब आता है जब योग का सूत्र या पदों की संख्या गलत ली जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / The daily numbers of books form an AP: 40, 48, 56, 64, 72, 80. Here, \(a=40\), \(d=8\), and \(n=6\). Therefore, \(S_6=\frac{6}{2}[2(40)+(6-1)8]=3(120)=360\). Hence, 360 is correct. A value such as 380 results from using the sum formula or the number of terms incorrectly. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP sum formula.
पंक्तियों में गाड़ियों की क्षमता समान्तर श्रेणी है: \(12, 16, 20, 24, 28, 32\)। यहाँ \(a=12\), \(d=4\) और \(n=6\) हैं। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(12)+(6-1)4]=3(44)=132\)। इसलिए कुल क्षमता 132 गाड़ियाँ है। 136 केवल किसी गलत जोड़ का परिणाम हो सकता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The row capacities form the AP \(12, 16, 20, 24, 28, 32\). Here, \(a=12\), \(d=4\), and \(n=6\). Therefore, \(S_6=\frac{6}{2}[2(12)+(6-1)4]=3(44)=132\). Hence, the total capacity is 132 cars. Option 136 can result from an incorrect addition. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then apply the formula for \(S_n\).
साप्ताहिक बिक्री एक समानांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=25\), अंतर \(d=5\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(25)+(10-1)5]=5(95)=475\) किलोग्राम। इसलिए सही विकल्प B है। 500 किलोग्राम लेने पर बढ़ोतरी के प्रभाव को सही ढंग से नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें। / The weekly sales form an arithmetic progression with first term \(a=25\), common difference \(d=5\), and \(n=10\) terms. Thus, \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(25)+(10-1)5]=5(95)=475\) kg. Therefore, option B is correct. Taking 500 kg does not account for the weekly increase correctly. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\).
प्रतिदिन जुड़ने वाले यूज़रों की संख्या एक AP है: \(100, 150, 200, 250, 300\)। यहाँ \(a=100\), \(d=50\) और \(n=5\) हैं। अतः \(S_5=\frac{5}{2}[2(100)+(5-1)50]=1000\)। इसलिए 5 दिनों में कुल 1000 यूज़र जुड़ेंगे। 1050 लेने पर पदों का सही योग नहीं बनता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले जाँचें कि पूछा गया है कुल संख्या \(S_n\), न कि केवल \(n\)वाँ पद। / The numbers of users joining each day form an AP: \(100, 150, 200, 250, 300\). Here, \(a=100\), \(d=50\), and \(n=5\). Thus, \(S_5=\frac{5}{2}[2(100)+(5-1)50]=1000\). Therefore, 1000 users join in total in 5 days. Choosing 1050 does not give the correct sum of the five terms. Exam tip: Check whether the question asks for the total \(S_n\) or only the \(n\)th term.
सीटों की संख्या एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 16, सार्वांतर 2 और पदों की संख्या 20 है। अतः \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(16)+(20-1)\times2]=10(32+38)=700\)। इसलिए 20 पंक्तियों में कुल 700 सीटें होंगी। 720 पाने पर सामान्यतः अंतिम पद या पदों की संख्या गलत ली जाती है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / The seat counts form an arithmetic progression with first term 16, common difference 2, and 20 terms. Thus, \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(16)+(20-1)\times2]=10(32+38)=700\). Therefore, there are 700 seats in 20 rows. An answer such as 720 usually results from using an incorrect last term or number of terms. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
एक सीढ़ीनुमा सजावट में पहली पंक्ति में 5 टाइलें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में 2 टाइलें अधिक हैं। कुल 10 पंक्तियाँ हैं। रवि कहता है कि कुल टाइलें 50 होंगी, क्योंकि वह 5 को 10 से गुणा करता है। सही कुल संख्या क्या है?
टाइलों की संख्याएँ 5, 7, 9, ... एक AP बनाती हैं। अंतिम पद 23 है, इसलिए योग \(S_{10}=\frac{10}{2}(5+23)=140\)। रवि ने वृद्धि को नहीं जोड़ा। परीक्षा में पहले अंतिम पद जाँचें। / The tile counts 5, 7, 9, ... form an AP. Its last term is 23, so \(S_{10}=\frac{10}{2}(5+23)=140\). Ravi ignores the increase in later rows. Exam tip: find the last term before adding an AP.
मासिक बचत एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ \(a=50\), \(d=10\) और \(n=8\) हैं। इसलिए \(S_8=\frac{8}{2}[2(50)+(8-1)(10)]=4(170)=680\)। अतः कुल बचत \(680\) रुपये है। \(640\) रुपये लेने पर आठवें महीने की बचत \(110\) रुपये मान ली जाती है, जबकि वह \(120\) रुपये है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The monthly savings form an AP with \(a=50\), \(d=10\), and \(n=8\). Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(50)+(8-1)(10)]=4(170)=680\). Therefore, the total saving is \(680\) rupees. The value \(640\) results from incorrectly taking the eighth month's saving as \(110\) instead of \(120\). Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then apply the formula for \(S_n\).
प्रतिदिन आने वाले मरीजों की संख्या एक समानांतर श्रेणी है: 10, 12, 14, \ldots। यहाँ प्रथम पद \(a=10\), अंतर \(d=2\) और दिनों की संख्या \(n=12\) है। अतः \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+11(2)]=6(42)=252\)। इसलिए सही उत्तर 252 है। 264 अंतिम दिन के मरीजों की संख्या \(a_{12}\) है, कुल मरीजों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: कुल के लिए \(S_n\) और किसी एक दिन के लिए \(a_n\) का अंतर ध्यान रखें। / The daily patient counts form an arithmetic progression: 10, 12, 14, \ldots. Here, \(a=10\), \(d=2\), and \(n=12\). Therefore, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+11(2)]=6(42)=252\). Hence, the correct answer is 252. The value 264 is the number of patients on the 12th day, \(a_{12}\), not the total over 12 days. Exam tip: distinguish between \(a_n\) for one term and \(S_n\) for the sum of terms.
प्रतिदिन बनाए गए चित्रों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=3\), अंतर \(d=1\) और पदों की संख्या \(n=15\) है। 15वें दिन चित्रों की संख्या \(a_{15}=3+(15-1)\times1=17\) होगी। अतः कुल चित्र \(S_{15}=\frac{15}{2}(3+17)=150\) हैं। 155 लेने पर योग में एक अतिरिक्त चित्र जुड़ जाता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) लगाएँ। / The daily number of drawings forms an arithmetic progression with first term \(a=3\), common difference \(d=1\), and \(n=15\) days. On the 15th day, the artist makes \(a_{15}=3+(15-1)\times1=17\) drawings. Therefore, \(S_{15}=\frac{15}{2}(3+17)=150\) drawings in total. Choosing 155 would add one extra drawing to the sum. Exam tip: in AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) first, then use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
प्लेटों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=8\), सार्वांतर \(d=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(8)+(10-1)\times2]=5(34)=170\)। इसलिए 10 टेबलों पर कुल 170 प्लेटें रखी जाएंगी। 180 प्राप्त करना सामान्यतः अंतिम पद या पदों की संख्या गलत लेने से होता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The plate counts form an arithmetic progression with first term \(a=8\), common difference \(d=2\), and \(n=10\) terms. Thus, \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(8)+(10-1)\times2]=5(34)=170\). Therefore, 170 plates are placed on 10 tables. Getting 180 usually results from using an incorrect last term or number of terms. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
खिड़कियों की संख्याएँ एक AP बनाती हैं: 4, 8, 12, ..., जहाँ प्रथम पद a = 4, अंतर d = 4 और n = 8 है। आठवीं मंजिल पर खिड़कियाँ 4 + 7 × 4 = 32 होंगी। अतः कुल खिड़कियाँ S₈ = 8/2 × (4 + 32) = 144 हैं। 136 केवल तब आता यदि अंतिम पद 30 मान लिया जाए, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: AP के योग में पहले nवाँ पद निकालकर Sₙ = n/2(a + l) लगाना सुविधाजनक रहता है। / The numbers of windows form an AP: 4, 8, 12, ..., where the first term is a = 4, common difference d = 4, and n = 8. The eighth floor has 4 + 7 × 4 = 32 windows. Therefore, S₈ = 8/2 × (4 + 32) = 144 windows. The value 136 would result from incorrectly taking the last term as 30. Exam tip: For AP sum questions, first find the nth term and then use Sₙ = n/2(a + l).
दैनिक अभ्यास समय एक समानांतर श्रेणी बनाता है: 30, 40, 50, 60, 70। इसलिए कुल समय \(30+40+50+60+70=250\) मिनट है। विकल्प 225 मिनट तब मिलता यदि औसत समय 45 मिनट मान लिया जाए, लेकिन 5 पदों का सही औसत तीसरा पद, अर्थात 50 मिनट है। परीक्षा टिप: AP के विषम संख्या वाले पदों का योग = पदों की संख्या × मध्य पद। / The daily practice times form an AP: 30, 40, 50, 60, 70. Hence, the total is \(30+40+50+60+70=250\) minutes. The value 225 would result from incorrectly taking the average as 45 minutes; for five terms, the correct average is the middle term, 50 minutes. Exam tip: For an odd number of AP terms, sum = number of terms × middle term.
कतारों की क्षमताएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: \(20,24,28,\ldots\), जहाँ \(a=20\), \(d=4\) और \(n=7\) हैं। अतः \(S_7=\frac{7}{2}[2(20)+(7-1)4]=\frac{7}{2}(64)=224\)। इसलिए कुल क्षमता 224 गाड़ियाँ है। 232 जैसी संख्या अंतिम पद को गलत लेने से आ सकती है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर योग का सूत्र लगाएँ। / The row capacities form an AP: \(20,24,28,\ldots\), where \(a=20\), \(d=4\), and \(n=7\). Thus, \(S_7=\frac{7}{2}[2(20)+(7-1)4]=\frac{7}{2}(64)=224\). Therefore, the total capacity is 224 cars. A value such as 232 can result from using an incorrect last term. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
प्रतिदिन सीखे गए शब्द एक समान्तर श्रेणी बनाते हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_9=\frac{9}{2}[2(7)+(9-1)\times3]=\frac{9}{2}(38)=171\)। इसलिए 9 दिनों में कुल 171 शब्द सीखे जाएंगे। 180 केवल तब मिलता यदि पदों या सार्वांतर की गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: कुल योग पूछे जाने पर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल नौवाँ पद नहीं। / The numbers of words learned each day form an AP with first term \(a=7\), common difference \(d=3\), and \(n=9\) terms. Therefore, \(S_9=\frac{9}{2}[2(7)+(9-1)\times3]=\frac{9}{2}(38)=171\). Hence, the child learns 171 words in 9 days. A value such as 180 results from an incorrect count of terms or common difference. Exam tip: when the total is asked, use the sum formula \(S_n\), not just the nth-term formula.
ईंटों की संख्या एक घटती समान्तर श्रेणी है: \(30, 28, 26, \ldots\)। यहाँ \(a=30\), \(d=-2\) और \(n=10\) हैं। दसवीं पंक्ति में ईंटें \(a_{10}=30+9(-2)=12\) होंगी। अतः \(S_{10}=\frac{10}{2}(30+12)=210\)। इसलिए सही उत्तर 210 है। 220 तब आता यदि अंतिम पद 14 मान लिया जाए, जो केवल 9वीं पंक्ति का पद है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद ज्ञात करके \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) का उपयोग करें। / The numbers of bricks form a decreasing AP: \(30, 28, 26, \ldots\). Here, \(a=30\), \(d=-2\), and \(n=10\). The 10th row has \(a_{10}=30+9(-2)=12\) bricks. Therefore, \(S_{10}=\frac{10}{2}(30+12)=210\). Hence, 210 is correct. The value 220 would result from incorrectly taking 14 as the last term; 14 is the 9th term. Exam tip: find the first and last terms, then use \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\).
समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग होता है: \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)। यहाँ \(824=\frac{16}{2}[2(14)+15d]=8(28+15d)\)। अतः \(28+15d=103\), इसलिए \(15d=75\) और \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर योग 704 आता है, 824 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(a\), \(n\) और \(S_n\) को सीधे योग के सूत्र में रखकर \(d\) ज्ञात करें। / The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here, \(824=\frac{16}{2}[2(14)+15d]=8(28+15d)\). Thus, \(28+15d=103\), so \(15d=75\) and \(d=5\). If 4 were used, the sum would be 704, not 824. Exam tip: substitute the given \(a\), \(n\), and \(S_n\) directly into the sum formula to find \(d\).
समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग, जब अंतिम पद ज्ञात हो,
\(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) होता है। यहाँ \(336=\frac{12}{2}(a+51)=6(a+51)\)। अतः \(a+51=56\), इसलिए \(a=5\)। विकल्प 6 लेने पर योग \(6(6+51)=342\) होगा, जो दिया गया योग नहीं है। परीक्षा टिप: प्रथम पद और अंतिम पद ज्ञात हों तो \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) का सीधे प्रयोग करें। / When the last term is known, the sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\). Here, \(336=\frac{12}{2}(a+51)=6(a+51)\). Thus, \(a+51=56\), so \(a=5\). If the first term were 6, the sum would be \(6(6+51)=342\), not 336. Exam tip: use \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) directly when the first and last terms are involved.
