Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समान्तर श्रेणी में \(T_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a+8d=46\) और \(a+20d=106\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(12d=60\), इसलिए \(d=5\) तथा \(a=6\) मिलता है। अब \(S_{21}=\frac{21}{2}[2a+20d]=\frac{21}{2}[12+100]=1176\)। विकल्प 1113 केवल \(21\times 53\) लेने से आ सकता है, जबकि पहले और 21वें पद का औसत \(56\) है, 53 नहीं। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके समीकरण बनाकर \(a\) और \(d\) ज्ञात करें। / For an AP, \(T_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a+8d=46\) and \(a+20d=106\). Subtracting gives \(12d=60\), so \(d=5\) and \(a=6\). Therefore, \(S_{21}=\frac{21}{2}[2a+20d]=\frac{21}{2}[12+100]=1176\). Option 1113 can result from using \(21\times53\), but the average of the first and 21st terms is \(56\), not 53. Exam tip: when two terms are given, form equations first to find \(a\) and \(d\).
समान्तर श्रेणी के प्रथम \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। यहाँ \(a=13\), \(d=7\), \(n=22\) रखने पर \(S_{22}=\frac{22}{2}[2(13)+21(7)]=11(26+147)=11\times173=1903\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 1903 है। विकल्प 1892 में कोष्ठक के भीतर का मान 172 लेने जैसी गणना-त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: \((n-1)d\) में \(n-1=21\) लेना न भूलें। / The sum of the first \(n\) terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here, \(a=13\), \(d=7\), and \(n=22\). Thus, \(S_{22}=\frac{22}{2}[2(13)+21(7)]=11(26+147)=11\times173=1903\). Therefore, 1903 is correct. The option 1892 can result from an error in evaluating the expression inside the bracket. Exam tip: use \(n-1=21\), not 22, while finding the last term contribution.
विषम संख्या में पदों वाली AP में मध्य पद को \(m\) मानें। पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=n m\) होता है। क्योंकि \(n\neq0\) और \(S_n=0\), इसलिए \(m=0\)। सार्वांतर शून्य होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: विषम पदों में योग को मध्य पद से जोड़ें। / For an AP with an odd number of terms, let the middle term be \(m\). The sum of the first \(n\) terms is \(S_n=n m\). Since \(n\neq0\) and \(S_n=0\), \(m=0\). The common difference need not be zero. Exam tip: for odd terms, relate the sum directly to the middle term.
समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) है। अतः \(390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)\)। इसलिए \(2a+55=65\), जिससे \(2a=10\) और \(a=5\) प्राप्त होता है। विकल्प 4 लेने पर योग 378 आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \((n-1)d\) लिखते समय \(n-1\) अवश्य लें, n नहीं। / The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Thus, \(390=\frac{12}{2}[2a+11\times5]=6(2a+55)\). Hence \(2a+55=65\), so \(2a=10\) and \(a=5\). If 4 were used as the first term, the sum would be 378, so it is not correct. Exam tip: In the sum formula, use \((n-1)d\), not \(nd\).
समांतर श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) होता है, जहाँ \(a\) पहला पद और \(l\) अंतिम पद है। अतः \(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=12\times156=1872\)। इसलिए सही उत्तर 1872 है। 1852 जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: जब पहला और अंतिम पद दिए हों, तो सीधे \(\frac{n}{2}(a+l)\) का प्रयोग करें। / The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\), where \(a\) is the first term and \(l\) is the last term. Thus, \(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=12\times156=1872\). Therefore, 1872 is the correct answer. An option such as 1852 results from an arithmetic error in addition or multiplication. Exam tip: When the first and last terms are given, use \(\frac{n}{2}(a+l)\) directly.
रिया 12 दिनों तक प्रतिदिन बचत करती है। पहले दिन वह ₹50 बचाती है और हर अगले दिन ₹10 अधिक बचाती है। वह दावा करती है कि उसकी कुल बचत ₹2520 है। निम्नलिखित में से कौन-सा विश्लेषण सही है?
A. उसने \(n/2 के स्थान पर \(n\) से गुणा किया; सही योग ₹1260 है। / She multiplied by \(n\) instead of \(n / 2\); the correct sum is ₹1260.
Explanation
Simple Explanation
12वें दिन की बचत \(50+11\times10=160\) है। इसलिए योग \(\frac{12}{2}(50+160)=1260\) होगा। रिया ने \(n/2\) के बजाय \(n\) से गुणा किया। परीक्षा में पहले अंतिम पद निकालें। / The 12th-day saving is \(50+11\times10=160\). Hence, the sum is \(\frac{12}{2}(50+160)=1260\). Riya used \(n\) instead of \(n/2\). Exam tip: find the last term before applying the sum formula.
दिया है \(a=14\), \(l=84\) और \(n=15\)। अतः \(S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=\frac{15}{2}\times98=15\times49=735\)। इसलिए सही उत्तर 735 है। 745 प्राप्त करने के लिए योग या गुणा में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पहले \(a+l\) जोड़ें और यदि योग सम है, तो 2 से सरल करके गणना करें। / Here \(a=14\), \(l=84\), and \(n=15\). Therefore, \(S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=\frac{15}{2}\times98=15\times49=735\). Hence, 735 is correct. Getting 745 would result from an error in addition or multiplication. Exam tip: add \(a+l\) first and simplify by 2 when the sum is even.
एपी के प्रथम \(n\) पदों के योग का सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) है। दिए गए मान रखने पर \(S_7=\frac{7}{2}(25+5)=\frac{7}{2}\times30=105\) मिलता है। अतः सही उत्तर 105 है। 110 सही नहीं है, क्योंकि \(30\) का \(\frac{7}{2}\) गुना 105 होता है, 110 नहीं। परीक्षा टिप: भिन्न से गुणा करने से पहले कोष्ठक के भीतर का योग निकालकर संभव हो तो उसे 2 से सरल करें। / The sum of the first \(n\) terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\). Substituting the given values, \(S_7=\frac{7}{2}(25+5)=\frac{7}{2}\times30=105\). Therefore, the correct answer is 105. Option 110 is incorrect because \(\frac{7}{2}\) times 30 equals 105, not 110. Exam tip: first add the values inside the brackets, then simplify with 2 before multiplying whenever possible.
एक सभागार में पहली पंक्ति में 20 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में 2 सीटें अधिक हैं। यदि कुल 15 पंक्तियाँ हैं, तो कुल सीटों की सही संख्या क्या होगी?
सीटों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ \(a=20\), \(d=2\) और \(n=15\) हैं। अतः \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+(15-1)(2)]=\frac{15}{2}(68)=510\)। इसलिए कुल सीटें 510 हैं। 480 प्राप्त करना प्रायः पदों की संख्या या वृद्धि वाले पदों को गलत गिनने से होता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतर के साथ हमेशा \(n-1\) लें। / The number of seats forms an AP with \(a=20\), \(d=2\), and \(n=15\). Thus, \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+(15-1)(2)]=\frac{15}{2}(68)=510\). Therefore, the total number of seats is 510. Getting 480 usually results from counting the number of terms or increments incorrectly. Exam tip: always use \(n-1\) with the common difference in the sum formula.
एक सभागार में पहली पंक्ति में 8 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में पिछली पंक्ति से 3 सीटें अधिक हैं। यदि ऐसी 12 पंक्तियाँ हैं, तो कुल सीटों की संख्या कितनी है?
सीटों की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती हैं, जहाँ \(a=8\), \(d=3\) और \(n=12\) हैं। अतः \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(8)+(12-1)3]=6(16+33)=6\times49=294\)। इसलिए सही उत्तर 294 है। 276 जैसा उत्तर लेने पर अंतिम पद तक के \(11\) अंतर सही प्रकार से शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: AP के योग के सूत्र में अंतर की संख्या \(n-1\) होती है। / The numbers of seats form an AP, where \(a=8\), \(d=3\), and \(n=12\). Therefore, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(8)+(12-1)3]=6(16+33)=6\times49=294\). Hence, the correct answer is 294. An answer such as 276 does not correctly account for all \(11\) increases up to the last row. Exam tip: in the AP sum formula, the number of common differences is \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=17\), सार्वांतर \(d=22-17=5\) तथा पदों की संख्या \(n=10\) है। योग का सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) लगाने पर \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(17)+9(5)]=5(79)=395\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 390 जैसा उत्तर प्रायः 10वें पद या सार्वांतर की गणना में त्रुटि से मिलता है। परीक्षा टिप: AP के योग में \(n-1\) का उपयोग करना न भूलें। / Here, the first term is \(a=17\), the common difference is \(d=22-17=5\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(17)+9(5)]=5(79)=395\). Therefore, option C is correct. An answer such as 390 usually results from an error in finding the 10th term or the common difference. Exam tip: Remember to use \(n-1\) in the AP sum formula.
यहाँ प्रथम पद \(a=50\), सार्वांतर \(d=-5\) तथा \(n=9\) है। नौवाँ पद \(a_9=a+(n-1)d=50+8(-5)=10\) होगा। इसलिए \(S_9=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{9}{2}(50+10)=270\)। अतः सही उत्तर 270 है। 280 जैसा उत्तर अंतिम पद या पदों की संख्या गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा में पहले \(n\)वाँ पद निकालकर योग की जाँच करें। / Here, the first term is \(a=50\), the common difference is \(d=-5\), and \(n=9\). The ninth term is \(a_9=a+(n-1)d=50+8(-5)=10\). Hence, \(S_9=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{9}{2}(50+10)=270\). Therefore, 270 is the correct answer. A value such as 280 can result from using an incorrect last term or number of terms. In exams, find the \(n\)th term first to verify the sum.
A. अंतिम पंक्ति में 46 कुर्सियाँ हैं और कुल 270 कुर्सियाँ हैं/The last row has 46 chairs and there are 270 chairs in total.
Explanation
Simple Explanation
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=14\), सार्वांतर \(d=4\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अंतिम पंक्ति में कुर्सियाँ \(a+(n-1)d=14+8\times4=46\) होंगी। अतः कुल कुर्सियाँ \(S_9=\frac{9}{2}(14+46)=270\) हैं। विकल्प D में 50 पाने के लिए 9 अंतर गिने गए हैं, जबकि 9 पंक्तियों के बीच केवल 8 अंतर होते हैं। परीक्षा टिप: अंतिम पद के सूत्र में हमेशा \(n-1\) का प्रयोग करें। / This forms an AP with first term \(a=14\), common difference \(d=4\), and \(n=9\) terms. The last row has \(a+(n-1)d=14+8\times4=46\) chairs. Therefore, the total is \(S_9=\frac{9}{2}(14+46)=270\). Option D incorrectly counts 9 common differences; 9 rows have only 8 gaps between them. Exam tip: use \(n-1\) in the formula for the last term.
यहाँ प्रथम पद \(a=40\), सार्वांतर \(d=-5\) तथा \(n=7\) है। सातवाँ पद \(a_7=40+(7-1)(-5)=10\) होगा। इसलिए \(S_7=\frac{7}{2}(40+10)=175\)। अतः सही उत्तर 175 है। 180 जैसी संख्या पदों को जोड़ने में त्रुटि से मिल सकती है। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(n-1\) का उपयोग करके अंतिम पद जाँच लें। / Here, \(a=40\), \(d=-5\), and \(n=7\). The seventh term is \(a_7=40+(7-1)(-5)=10\). Hence, \(S_7=\frac{7}{2}(40+10)=175\). Therefore, 175 is correct. A result such as 180 may arise from an error while adding the terms. Exam tip: check the last term using \(n-1\) before applying the sum formula.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=1\), सार्वांतर \(d=2\) और \(n=25\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{25}=\frac{25}{2}[2+24\times2]=\frac{25}{2}\times50=625\)। विकल्प 600 लेने पर अंतिम पद या पदों की संख्या की गणना में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: विषम संख्याओं की श्रेणी \(1,3,5,\ldots\) के पहले \(n\) पदों का योग सीधे \(n^2\) होता है। / Here, the first term is \(a=1\), the common difference is \(d=2\), and \(n=25\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{25}=\frac{25}{2}[2+24\times2]=\frac{25}{2}\times50=625\). Choosing 600 would result from an error in finding the last term or the number of terms. Exam tip: the sum of the first \(n\) odd numbers \(1,3,5,\ldots\) is directly \(n^2\).
