Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=160\) और सार्वांतर \(d=30\) है। \(n\)वें दिन बिक्री \(a_n=160+(n-1)30\) होगी। \(160+(n-1)30=610\) से \((n-1)30=450\), अतः \(n-1=15\) और \(n=16\)। इसलिए 16वें दिन 610 अखबार बिकेंगे। 15वें दिन बिक्री 580 होगी, इसलिए वह निकट विकल्प होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी निश्चित दिन का पद निकालने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में लक्ष्य मान रखें। / This is an AP with first term \(a=160\) and common difference \(d=30\). Sales on the \(n\)th day are \(a_n=160+(n-1)30\). Setting this equal to 610 gives \(160+(n-1)30=610\), so \((n-1)30=450\), \(n-1=15\), and \(n=16\). Therefore, 610 newspapers will be sold on the 16th day. On the 15th day, the sales would be 580, so that close option is incorrect. Exam tip: for a target value in an AP, equate it to \(a_n=a+(n-1)d\).
हर मिनट भरी जाने वाली मात्रा एक AP बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=52\) और सार्वांतर \(d=16\) है। \(n\)वें मिनट की मात्रा \(a_n=52+(n-1)16\) होगी। \(52+(n-1)16=308\) रखने पर \((n-1)16=256\), अतः \(n-1=16\) और \(n=17\)। इसलिए 17वें मिनट में 308 लीटर पानी भरेगा। 16वें मिनट में मात्रा \(292\) लीटर होगी, इसलिए वह निकट विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कुल भरे पानी के बजाय एक मिनट में भरी मात्रा को AP का \(n\)वाँ पद मानें। / The amount filled each minute forms an AP with first term \(a=52\) and common difference \(d=16\). Thus, the amount filled in the \(n\)th minute is \(a_n=52+(n-1)16\). Setting this equal to \(308\), \(52+(n-1)16=308\), so \((n-1)16=256\), \(n-1=16\), and \(n=17\). Therefore, 308 litres are filled in the 17th minute. In the 16th minute, the amount is \(292\) litres, so that close option is incorrect. Exam tip: distinguish between the amount filled in a particular minute and the total amount filled up to that minute.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ पहला पद \(a=70\) और सार्वांतर \(d=28\) है। \(n\)वें महीने में पढ़े गए पेज \(a_n=70+(n-1)28\) होंगे। \(70+(n-1)28=434\) रखने पर \((n-1)28=364\), अतः \(n-1=13\) और \(n=14\) मिलता है। इसलिए विद्यार्थी 14वें महीने में 434 पेज पढ़ेगा। 13वाँ महीना निकट विकल्प है, पर उसमें पेजों की संख्या \(406\) होगी। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / This forms an arithmetic progression with first term \(a=70\) and common difference \(d=28\). The number of pages read in the \(n\)th month is \(a_n=70+(n-1)28\). Setting \(70+(n-1)28=434\) gives \((n-1)28=364\), so \(n-1=13\) and \(n=14\). Therefore, the student will read 434 pages in the 14th month. The nearby option 13 is incorrect because the 13th-month reading is \(406\) pages. Exam tip: equate the target value to \(a_n\) and solve for \(n\).
नीचे से पंक्तियों में पत्थरों की संख्या एक घटती हुई AP है, जहाँ \(a=210\) और \(d=-10\) है। \(n\)वीं पंक्ति के लिए \(a_n=210+(n-1)(-10)\) होगा। \(210-10(n-1)=70\) से \(n-1=14\), अतः \(n=15\)। इसलिए 15वीं पंक्ति में 70 पत्थर होंगे। 14वीं पंक्ति में 80 पत्थर होंगे, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऊपर की ओर घटने वाली AP में सार्वांतर \(d\) ऋणात्मक लें। / The numbers of stones form a decreasing AP from the bottom, with \(a=210\) and \(d=-10\). For the \(n\)th row, \(a_n=210+(n-1)(-10)\). Using \(210-10(n-1)=70\) gives \(n-1=14\), so \(n=15\). Hence, the 15th row has 70 stones. The 14th row would have 80 stones, so it is not correct. Exam tip: use a negative common difference for an AP that decreases upward.
पौधों की संख्या एक समान्तर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=21\) और सार्वांतर \(d=11\) है। \(n\)वीं कतार में पौधे \(a_n=21+(n-1)\times 11\) होंगे। \(21+(n-1)\times 11=252\) रखने पर \(11(n-1)=231\), अतः \(n-1=21\) और \(n=22\)। इसलिए 22वीं कतार में 252 पौधे होंगे। 21वीं कतार में केवल 241 पौधे होंगे। परीक्षा टिप: पंक्ति या पद पूछे जाने पर दिए गए लक्ष्य को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / The numbers of plants form an arithmetic progression with first term \(a=21\) and common difference \(d=11\). The number of plants in the \(n\)th row is \(a_n=21+(n-1)\times 11\). Setting this equal to 252 gives \(21+(n-1)\times 11=252\), so \(11(n-1)=231\), \(n-1=21\), and \(n=22\). Hence, the 22nd row has 252 plants. The 21st row would have only 241 plants. Exam tip: when a target term is given, equate it to \(a_n\) and solve for \(n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=140\) और सार्वांतर \(d=25\) है। \(n\)वें दिन बिक्री \(a_n=140+(n-1)25\) होगी। अतः \(140+(n-1)25=515\) से \((n-1)25=375\), इसलिए \(n-1=15\) और \(n=16\)। विकल्प 15 तब मिलता है जब \(n-1\) को ही दिन संख्या मान लिया जाए। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में दिन संख्या के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का उपयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=140\) and common difference \(d=25\). Sales on the \(n\)th day are \(a_n=140+(n-1)25\). Setting this equal to 515 gives \(140+(n-1)25=515\), so \((n-1)25=375\), \(n-1=15\), and \(n=16\). Option 15 results from incorrectly treating \(n-1\) as the day number. Exam tip: for day-based AP questions, use \(a_n=a+(n-1)d\).
हर मिनट भरी जाने वाली मात्रा एक समांतर श्रेणी है, जहाँ \(a=44\) और \(d=13\) हैं। इसलिए \(n\)वें मिनट की मात्रा \(a_n=44+(n-1)13\) होगी। \(44+(n-1)13=239\) हल करने पर \((n-1)13=195\), अतः \(n-1=15\) और \(n=16\) मिलता है। इसलिए 16वें मिनट में 239 लीटर पानी भरेगा। 15वें मिनट में मात्रा \(226\) लीटर होगी, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “किस मिनट में” पूछने पर संचयी योग \(S_n\) नहीं, बल्कि पद \(a_n\) का प्रयोग करें। / The amount filled each minute forms an AP with \(a=44\) and \(d=13\). Thus, the amount filled in the \(n\)th minute is \(a_n=44+(n-1)13\). Solving \(44+(n-1)13=239\) gives \((n-1)13=195\), so \(n-1=15\) and \(n=16\). Therefore, 239 litres are filled in the 16th minute. In the 15th minute, the amount is \(226\) litres, making it a close but incorrect option. Exam tip: for “in which minute,” use \(a_n\), not the cumulative sum \(S_n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=55\) और सार्वांतर \(d=25\) है। \(n\)वें महीने पढ़े गए पेज \(a_n=55+(n-1)25\) होंगे। \(55+(n-1)25=355\) रखने पर \(25(n-1)=300\), अतः \(n-1=12\) और \(n=13\)। इसलिए विद्यार्थी 13वें महीने 355 पेज पढ़ेगा। 12वें महीने वह केवल \(330\) पेज पढ़ेगा। परीक्षा टिप: किसी निश्चित महीने की मात्रा के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This forms an arithmetic progression with first term \(a=55\) and common difference \(d=25\). Pages read in the \(n\)th month are \(a_n=55+(n-1)25\). Setting this equal to 355 gives \(55+(n-1)25=355\), so \(25(n-1)=300\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Hence, the student reads 355 pages in the 13th month. In the 12th month, the student would read only \(330\) pages. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) when the quantity for a particular term is given.
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=9\) है। \(n\)वीं कतार में पौधों की संख्या \(a_n=18+(n-1)\times 9\) होगी। \(18+(n-1)\times 9=207\) रखने पर \((n-1)\times 9=189\), अतः \(n-1=21\) और \(n=22\)। इसलिए 22वीं कतार में 207 पौधे होंगे। 23वीं कतार में 216 पौधे होंगे, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी समस्याओं में दी गई लक्ष्य संख्या को सीधे \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / This forms an arithmetic progression with first term \(a=18\) and common difference \(d=9\). The number of plants in the \(n\)th row is \(a_n=18+(n-1)\times 9\). Putting \(a_n=207\), \(18+(n-1)\times 9=207\). Thus, \((n-1)\times 9=189\), so \(n-1=21\) and \(n=22\). Hence, the 22nd row has 207 plants. The 23rd row would have 216 plants, so it is not correct. Exam tip: equate the target quantity directly to \(a_n\) and solve for \(n\).
सीटों की संख्या एक समान्तर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=40\) और सार्वांतर \(d=7\) है। \(n\)वीं पंक्ति में सीटें \(a_n=40+(n-1)\times 7\) होंगी। \(40+(n-1)\times 7=187\) से \(7(n-1)=147\), अतः \(n-1=21\) और \(n=22\)। इसलिए 22वीं पंक्ति में 187 सीटें होंगी। 24वीं पंक्ति में सीटें \(40+23\times7=201\) होंगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पंक्ति संख्या के प्रश्न में \(a_n=a+(n-1)d\) में दी गई संख्या को \(a_n\) के बराबर रखें। / The number of seats forms an arithmetic progression with first term \(a=40\) and common difference \(d=7\). The number of seats in the \(n\)th row is \(a_n=40+(n-1)\times 7\). Setting this equal to 187 gives \(40+(n-1)\times 7=187\), so \(7(n-1)=147\), \(n-1=21\), and \(n=22\). Thus, the 22nd row has 187 seats. The 24th row would have \(40+23\times7=201\) seats, so it is not correct. Exam tip: in row-number AP questions, equate the given value to \(a_n=a+(n-1)d\).
प्रति मिनट भरे गए पानी की मात्राएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=36\) और अंतर \(d=12\) है। \(n\)वें मिनट में भरा पानी \(a_n=36+(n-1)\times12\) होगा। \(36+(n-1)\times12=192\) रखने पर \((n-1)\times12=156\), अतः \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 14वें मिनट में 192 लीटर पानी भरेगा। 13वें मिनट में मात्रा केवल 180 लीटर होगी। परीक्षा टिप: ‘किस मिनट में’ पूछे जाने पर AP के \(n\)वें पद का सूत्र लगाएँ, योग का नहीं। / The amount filled each minute forms an AP with first term \(a=36\) and common difference \(d=12\). The amount filled in the \(n\)th minute is \(a_n=36+(n-1)\times12\). Setting this equal to 192 gives \(36+(n-1)\times12=192\), so \((n-1)\times12=156\), \(n-1=13\), and \(n=14\). Hence, 192 litres are filled in the 14th minute. In the 13th minute, the amount would be only 180 litres. Exam tip: when the question asks for the amount in a particular minute, use the \(n\)th-term formula, not the sum formula.
खिड़कियों की संख्या एक घटती हुई समांतर श्रेणी है, जहाँ \(a=150\) और \(d=-7\) है। अतः \(a_n=150+(n-1)(-7)\)। \(150-7(n-1)=52\) रखने पर \(7(n-1)=98\), इसलिए \(n=15\) मिलता है। 14वें तल पर 59 और 16वें तल पर 45 खिड़कियां होंगी, इसलिए सही उत्तर 15वां तल है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर \(d\) को ऋणात्मक लिखें। / The number of windows forms a decreasing AP with \(a=150\) and \(d=-7\). Thus, \(a_n=150+(n-1)(-7)\). Substituting \(a_n=52\) gives \(150-7(n-1)=52\), so \(7(n-1)=98\) and \(n=15\). The 14th floor would have 59 windows and the 16th floor would have 45, so the correct answer is the 15th floor. Exam tip: write the common difference as negative for a decreasing AP.
साप्ताहिक बिक्री एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=95\) और सार्वांतर \(d=18\) है। \(n\)वें सप्ताह की बिक्री \(a_n=95+(n-1)18\) होगी। \(95+(n-1)18=311\) से \(18(n-1)=216\), अतः \(n-1=12\) और \(n=13\)। इसलिए 13वें सप्ताह में 311 किलोग्राम अनाज बिकेगा। 12वें सप्ताह में बिक्री \(293\) किलोग्राम होगी, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: लक्ष्य राशि को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / The weekly sales form an AP with first term \(a=95\) and common difference \(d=18\). The sale in the \(n\)th week is \(a_n=95+(n-1)18\). Setting this equal to 311 gives \(95+(n-1)18=311\), so \(18(n-1)=216\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Therefore, 311 kg will be sold in the 13th week. In the 12th week, the sale would be \(293\) kg, so it is a close but incorrect option. Exam tip: equate the target quantity to \(a_n\) and solve for \(n\).
पानी की मात्रा एक घटता हुआ समांतर श्रेणीक्रम है, जहाँ \(a=210\) और \(d=-12\)। \(n\)वें दिन पानी \(a_n=210+(n-1)(-12)\) होगा। \(210-12(n-1)=66\) से \(n-1=12\), अतः \(n=13\)। इसलिए 13वें दिन 66 लीटर पानी बचेगा। 12वें दिन मात्रा 78 लीटर होगी, इसलिए विकल्प 12 सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: घटती AP में सार्वांतर \(d\) को ऋणात्मक लें। / The amount of water forms a decreasing AP with \(a=210\) and \(d=-12\). On the \(n\)th day, \(a_n=210+(n-1)(-12)\). Solving \(210-12(n-1)=66\) gives \(n-1=12\), so \(n=13\). Therefore, 66 litres remain on the 13th day. On the 12th day, the amount is 78 litres, so option 12 is not correct. Exam tip: use a negative common difference \(d\) for a decreasing AP.
फूलों की संख्या एक समानांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ पहला पद \(a=42\) और सार्वांतर \(d=11\) है। \(n\)वीं परत में फूलों की संख्या \(a_n=42+(n-1)\times 11\) होगी। \(42+(n-1)\times 11=207\) से \((n-1)\times 11=165\), अतः \(n-1=15\) और \(n=16\)। इसलिए 16वीं परत में 207 फूल होंगे। 15वीं परत में केवल \(196\) फूल होंगे। परीक्षा टिप: परत/स्थान पूछे जाने पर दिए गए लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / The numbers of flowers form an AP with first term \(a=42\) and common difference \(d=11\). The number of flowers in the \(n\)th layer is \(a_n=42+(n-1)\times 11\). Putting \(a_n=207\), \(42+(n-1)\times 11=207\), so \((n-1)\times 11=165\), giving \(n-1=15\) and \(n=16\). Hence, the 16th layer has 207 flowers. The 15th layer would have only \(196\) flowers. Exam tip: when a position or layer is asked, equate the target value to \(a_n\) and solve for \(n\).
एक सभागार की पहली पंक्ति में 25 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में 3 सीटें अधिक हैं। 20 पंक्तियों की कुल सीटें ज्ञात करते समय मीरा ने लिखा: \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(25)+20(3)]\)। उसके समाधान में सही सुधार क्या है?
B. \(20(3)\) के स्थान पर \(19(3)\) लिखना चाहिए, क्योंकि 20 पंक्तियों में 19 अंतर होते हैं; कुल सीटें 1070 हैं।/\(20(3)\) should be replaced by \(19(3)\), because there are 19 gaps in 20 rows; the total is 1070 seats.
Explanation
Simple Explanation
एपी के पहले 20 पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) है। यहाँ \(n-1=19\), अतः \(S_{20}=10[50+57]=1070\)। 20 पंक्तियाँ हैं, पर उनके बीच केवल 19 अंतर हैं। परीक्षा में \((n-1)d\) अवश्य जाँचें। / For the first 20 AP terms, \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here \(n-1=19\), so \(S_{20}=10[50+57]=1070\). Twenty rows create only 19 increases. Exam tip: check the \((n-1)d\) term carefully.
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 110 और सार्वांतर 15 है। अतः nवें दिन बिक्री होगी: \(a_n=110+(n-1)\times15\)। \(a_n=320\) रखने पर \(110+15(n-1)=320\), इसलिए \(15(n-1)=210\), \(n-1=14\) और \(n=15\)। इसलिए 15वें दिन 320 अखबार बिकेंगे। 13वां दिन निकट विकल्प है, पर उस दिन बिक्री \(110+12\times15=290\) होगी। परीक्षा टिप: दिन-आधारित प्रश्नों में \(n-1\) को न भूलें। / This is an arithmetic progression with first term 110 and common difference 15. The sales on the nth day are \(a_n=110+(n-1)\times15\). Putting \(a_n=320\), we get \(110+15(n-1)=320\), so \(15(n-1)=210\), \(n-1=14\), and \(n=15\). Therefore, 320 newspapers will be sold on the 15th day. The nearby option 13 is incorrect because sales on that day would be \(110+12\times15=290\). Exam tip: In day-number AP questions, remember to use \(n-1\).
प्रति मिनट भरी जाने वाली मात्रा एक समांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद 30 और सार्वांतर 11 है। अतः nवें मिनट की मात्रा = 30 + (n-1)×11। 206 के लिए, 30 + (n-1)×11 = 206, इसलिए (n-1)×11 = 176 और n = 17। इसलिए 17वें मिनट में 206 लीटर पानी भरेगा। 16वें मिनट में मात्रा 195 लीटर होगी, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए AP का सूत्र a_n = a+(n-1)d लगाएँ। / The amount filled each minute forms an arithmetic progression with first term 30 and common difference 11. Thus, the amount in the nth minute is 30 + (n-1)×11. For 206 litres, 30 + (n-1)×11 = 206, so (n-1)×11 = 176 and n = 17. Therefore, 206 litres are filled in the 17th minute. In the 16th minute, the amount is 195 litres, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a_n = a+(n-1)d when a particular term of an AP is given.
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 40 और सार्वांतर 20 है। nवें महीने पढ़े गए पृष्ठों की संख्या
\(a_n=40+(n-1)\times20\) होगी। 300 के लिए \(40+(n-1)\times20=300\), अतः \((n-1)\times20=260\), इसलिए \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए विद्यार्थी 14वें महीने 300 पेज पढ़ेगा। 13वें महीने वह केवल 280 पेज पढ़ेगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कुल पृष्ठों का योग नहीं, nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term 40 and common difference 20. The number of pages read in the nth month is \(a_n=40+(n-1)\times20\). For 300 pages, \(40+(n-1)\times20=300\). Thus, \((n-1)\times20=260\), so \(n-1=13\) and \(n=14\). Therefore, the student will read 300 pages in the 14th month. In the 13th month, the student would read only 280 pages. Exam tip: use the nth-term formula here, not the formula for the sum of terms.
नीचे से पंक्तियों में टाइलों की संख्या एक घटती हुई AP है, जहाँ प्रथम पद \(a=132\) और सार्वांतर \(d=-6\) है। \(n\)वीं पंक्ति में टाइलें \(a_n=132+(n-1)(-6)\) होंगी। \(132-6(n-1)=54\) से \(6(n-1)=78\), अतः \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 14वीं पंक्ति में 54 टाइलें होंगी। 13वीं पंक्ति में 60 टाइलें होतीं, इसलिए वह निकट विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर को ऋणात्मक लेना न भूलें। / The number of tiles forms a decreasing AP from the bottom row, with first term \(a=132\) and common difference \(d=-6\). Thus, the number of tiles in the \(n\)th row is \(a_n=132+(n-1)(-6)\). Using \(132-6(n-1)=54\), we get \(6(n-1)=78\), so \(n-1=13\) and \(n=14\). Therefore, the 14th row has 54 tiles. The 13th row has 60 tiles, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a negative common difference for a decreasing AP.
पौधों की संख्या एक समानांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद 25 और सार्वांतर 8 है। अतः nवीं कतार में पौधों की संख्या \(a_n=25+(n-1)\times8\) होगी। \(25+(n-1)\times8=153\) रखने पर \(8(n-1)=128\), इसलिए \(n=17\)। 18वीं कतार में \(161\) पौधे होंगे, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी समस्याओं में दी गई लक्ष्य संख्या को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / The numbers of plants form an arithmetic progression with first term 25 and common difference 8. Therefore, the number of plants in the nth row is \(a_n=25+(n-1)\times8\). Putting \(a_n=153\), we get \(25+(n-1)\times8=153\), so \(8(n-1)=128\) and hence \(n=17\). The 18th row would contain \(161\) plants, so it is not correct. Exam tip: equate the given target value to \(a_n\) and solve for \(n\).
यहाँ प्रथम पद 90 और सार्वांतर 10 है। अतः nवें दिन बेचे गए अखबारों की संख्या
\(a_n=90+(n-1)\times10\) होगी।
\(90+(n-1)\times10=230\) रखने पर
\(n-1=14\), इसलिए
\(n=15\) मिलता है। 14वाँ दिन निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर उस दिन केवल 220 अखबार बिकेंगे। परीक्षा टिप: लक्ष्य संख्या को हमेशा AP के nवें पद के सूत्र के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / Here, the first term is 90 and the common difference is 10. Therefore, the number of newspapers sold on the nth day is
\(a_n=90+(n-1)\times10\). Putting
\(90+(n-1)\times10=230\) gives
\(n-1=14\), so
\(n=15\). Day 14 is a close distractor, but only 220 newspapers would be sold that day. Exam tip: equate the target value to the nth-term formula of the AP and solve for n.
प्रति मिनट भरी जाने वाली मात्रा एक समांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ पहला पद 20 और सार्वांतर 9 है। अतः nवें मिनट में मात्रा \(a_n=20+(n-1)\times 9\) होगी। \(20+(n-1)\times 9=137\) से \((n-1)\times 9=117\), इसलिए \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 14वें मिनट में 137 लीटर पानी भरेगा। 13वें मिनट में मात्रा केवल 128 लीटर होगी। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में लक्ष्य मात्रा को AP के nवें पद \(a_n\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The amount filled per minute forms an arithmetic progression with first term 20 and common difference 9. Therefore, the amount filled in the nth minute is \(a_n=20+(n-1)\times 9\). Using \(20+(n-1)\times 9=137\), we get \((n-1)\times 9=117\), so \(n-1=13\) and \(n=14\). Hence, 137 litres are filled in the 14th minute. In the 13th minute, the amount would be only 128 litres. Exam tip: equate the target amount to the nth term \(a_n\) of the AP and solve for n.
पढ़े गए पृष्ठों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=25\) और सार्वांतर \(d=15\) है। \(n\)वें महीने में पृष्ठों की संख्या \(a_n=a+(n-1)d\) होगी। अतः \(25+(n-1)\times15=235\)। इससे \((n-1)\times15=210\), इसलिए \(n-1=14\) और \(n=15\)। इसलिए विद्यार्थी 15वें महीने में 235 पृष्ठ पढ़ेगा। 14वें महीने में वह केवल 220 पृष्ठ पढ़ेगा। परीक्षा टिप: किसी निश्चित महीने के पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The numbers of pages form an arithmetic progression with first term \(a=25\) and common difference \(d=15\). The number of pages read in the \(n\)th month is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(25+(n-1)\times15=235\). This gives \((n-1)\times15=210\), hence \(n-1=14\) and \(n=15\). Therefore, the student reads 235 pages in the 15th month. In the 14th month, the student would read only 220 pages. Exam tip: for a specified term of an AP, use \(a_n=a+(n-1)d\).
नीचे से पंक्तियों में टाइलों की संख्या एक घटता हुआ AP है, जहाँ प्रथम पद 110 और सार्वांतर -5 है। अतः nवीं पंक्ति में टाइलें = \(110+(n-1)(-5)\)। इसे 55 के बराबर रखने पर \(110-5(n-1)=55\), इसलिए \(n-1=11\) और \(n=12\)। इसलिए 12वीं पंक्ति में 55 टाइलें होंगी। 11वीं पंक्ति में 60 टाइलें होंगी, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऊपर की ओर घटती संख्या के लिए सार्वांतर ऋणात्मक लें। / The numbers of tiles, counted from the bottom, form a decreasing AP with first term 110 and common difference -5. Thus, the number of tiles in the nth row is \(110+(n-1)(-5)\). Setting this equal to 55 gives \(110-5(n-1)=55\), so \(n-1=11\) and \(n=12\). Therefore, the 12th row has 55 tiles. The 11th row has 60 tiles, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a negative common difference when the terms decrease upwards.
यहाँ पौधों की संख्या एक समांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद 16 और सार्वांतर 6 है। अतः nवीं कतार में पौधे होंगे: \(a_n=16+(n-1)\times6\)। \(16+(n-1)\times6=112\) रखने पर \(n-1=16\), इसलिए \(n=17\) मिलता है। अतः 17वीं कतार में 112 पौधे होंगे। 16वीं कतार में केवल 106 पौधे होंगे। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले प्रथम पद और सार्वांतर पहचानकर लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखें। / The numbers of plants form an arithmetic progression with first term 16 and common difference 6. Thus, the number of plants in the nth row is \(a_n=16+(n-1)\times6\). On putting \(16+(n-1)\times6=112\), we get \(n-1=16\), so \(n=17\). Therefore, the 17th row has 112 plants. The 16th row would have only 106 plants. Exam tip: in AP word problems, identify the first term and common difference, then equate the target value to \(a_n\).
B. पहले तीन दिनों में लगाए गए पौधों की संख्या 12, 18 और 24 है/The numbers of saplings planted on the first three days are 12, 18, and 24
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B में क्रमागत पदों का अंतर समान है: \(18-12=6\) और \(24-18=6\)। इसलिए यह AP है। A और C में वृद्धि गुणात्मक है, जबकि D के अंतर 3 और 5 हैं। परीक्षा में पहले समान अंतर जाँचें। / In option B, consecutive differences are equal: \(18-12=6\) and \(24-18=6\), so it is an AP. A and C involve multiplicative growth, while D has differences 3 and 5. In exams, check equal differences first.
प्रति मिनट भरे जाने वाले पानी की मात्राएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=25\) और सार्वांतर \(d=8\) है। \(n\)वें मिनट में पानी की मात्रा \(a_n=25+(n-1)\times 8\) होगी। \(25+(n-1)\times8=121\) से \(n-1=12\), अतः \(n=13\)। इसलिए 13वें मिनट में 121 लीटर पानी भरेगा। 12वें मिनट में मात्रा केवल 113 लीटर होगी। परीक्षा टिप: किसी निश्चित पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The amount filled each minute forms an AP with first term \(a=25\) and common difference \(d=8\). In the \(n\)th minute, the amount is \(a_n=25+(n-1)\times 8\). Solving \(25+(n-1)\times8=121\) gives \(n-1=12\), so \(n=13\). Hence, 121 litres are filled in the 13th minute. In the 12th minute, the amount would be only 113 litres. Exam tip: for a specified term of an AP, use \(a_n=a+(n-1)d\).
टाइलों की संख्या एक घटती हुई समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=80\) और सार्वांतर \(d=-5\) है। \(n\)वीं पंक्ति में टाइलों की संख्या \(a_n=80+(n-1)(-5)\) होगी। \(80-5(n-1)=25\) से \(n-1=11\), अतः \(n=12\)। इसलिए 12वीं पंक्ति में 25 टाइलें होंगी। 11वीं पंक्ति में 30 टाइलें होंगी, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऊपर जाते हुए टाइलें घट रही हों तो सार्वांतर को ऋणात्मक लें। / The numbers of tiles form a decreasing AP with first term \(a=80\) and common difference \(d=-5\). The number of tiles in the \(n\)th row is \(a_n=80+(n-1)(-5)\). From \(80-5(n-1)=25\), we get \(n-1=11\), so \(n=12\). Hence, the 12th row has 25 tiles. The 11th row has 30 tiles, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a negative common difference when quantities decrease.
साप्ताहिक बिक्री एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 60 और सार्वांतर 10 है। अतः nवें सप्ताह की बिक्री \(a_n=60+(n-1)\times10\) होगी। \(a_n=150\) रखने पर \(60+10(n-1)=150\), इसलिए \(n-1=9\) और \(n=10\)। अतः किसान 10वें सप्ताह में 150 किलोग्राम सब्जी बेचेगा। 9वें सप्ताह में बिक्री केवल 140 किलोग्राम होगी। परीक्षा टिप: किसी निश्चित पद का स्थान ज्ञात करने के लिए लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखें। / The weekly sales form an arithmetic progression with first term 60 and common difference 10. Therefore, sales in the nth week are \(a_n=60+(n-1)\times10\). Putting \(a_n=150\), we get \(60+10(n-1)=150\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Hence, the farmer will sell 150 kg in the 10th week. In the 9th week, the sale would be only 140 kg. Exam tip: to find the position of a specified term, equate the target value to \(a_n\).
