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यह एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 24 और सार्वांतर 5 है। अतः nवीं पंक्ति की सीटें \(a_n=24+(n-1)\times5\) होंगी। \(24+(n-1)\times5=99\) रखने पर \(5(n-1)=75\), इसलिए \(n=16\)। अतः 16वीं पंक्ति में 99 सीटें होंगी। 15वीं पंक्ति में केवल 94 सीटें होंगी। परीक्षा टिप: पंक्ति संख्या वाले प्रश्नों में पहले \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / This forms an arithmetic progression with first term 24 and common difference 5. Therefore, the number of seats in the nth row is \(a_n=24+(n-1)\times5\). Setting \(24+(n-1)\times5=99\) gives \(5(n-1)=75\), so \(n=16\). Hence, the 16th row has 99 seats. The 15th row would have only 94 seats. Exam tip: for row-number questions, first write \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 12 और सार्वांतर 5 है। अतः \(a_n=12+(n-1)\times5\) होगा। \(a_n=77\) रखने पर \(12+5(n-1)=77\), इसलिए \(5(n-1)=65\), \(n-1=13\) और \(n=14\) मिलता है। इसलिए 77 उपकरण 14वें दिन रखे जाएंगे। 13वें दिन केवल 72 उपकरण होंगे। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्नों में पहले प्रथम पद और सार्वांतर पहचानकर लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखें। / This forms an arithmetic progression with first term 12 and common difference 5. Hence, \(a_n=12+(n-1)\times5\). Putting \(a_n=77\), we get \(12+5(n-1)=77\), so \(5(n-1)=65\), \(n-1=13\), and \(n=14\). Therefore, 77 instruments will be placed on the 14th day. On the 13th day, there would be only 72 instruments. Exam tip: in AP word problems, identify the first term and common difference, then equate the target value to \(a_n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ पहला पद \(a=12\) और सार्वांतर \(d=4\) है। \(n\)वें सप्ताह में वीडियो की संख्या \(a_n=12+(n-1)\times4\) होगी। \(12+(n-1)\times4=60\) से \(n-1=12\), अतः \(n=13\)। इसलिए 13वें सप्ताह 60 वीडियो अपलोड होंगे। 12वाँ सप्ताह निकटतम भटकाने वाला विकल्प है, पर उसमें केवल \(56\) वीडियो होंगे। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(a_n\) पहचानकर AP का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=12\) and common difference \(d=4\). The number of videos in the \(n\)th week is \(a_n=12+(n-1)\times4\). Solving \(12+(n-1)\times4=60\) gives \(n-1=12\), so \(n=13\). Therefore, 60 videos will be uploaded in the 13th week. The close distractor 12 is incorrect because the 12th week has only \(56\) videos. Exam tip: in AP word problems, identify \(a\), \(d\), and the required \(a_n\) before forming the equation.
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 9 और सार्वांतर 4 है। nवें दिन उपकरणों की संख्या 9 + (n - 1) × 4 होगी। अतः 9 + (n - 1) × 4 = 57 से 4(n - 1) = 48, इसलिए n - 1 = 12 और n = 13। इसलिए 57 उपकरण 13वें दिन रखे जाएंगे। 12वें दिन केवल 53 उपकरण होंगे। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले प्रथम पद और सार्वांतर पहचानकर nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This forms an arithmetic progression with first term 9 and common difference 4. The number of instruments on the nth day is 9 + (n - 1) × 4. Setting it equal to 57 gives 9 + (n - 1) × 4 = 57, so 4(n - 1) = 48, n - 1 = 12, and n = 13. Therefore, 57 instruments will be placed on the 13th day. On the 12th day, there would be only 53 instruments. Exam tip: in AP word problems, first identify the first term and common difference, then use the nth-term formula.
एक सभागार की पहली पंक्ति में 20 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में पिछली पंक्ति से 4 सीटें अधिक हैं। पहली 15 पंक्तियों में सीटों की कुल संख्या कितनी होगी?
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ \(a=20\), \(d=4\), \(n=15\)। \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+14(4)]=\frac{15}{2}(96)=720\)। केवल 15वीं पंक्ति की सीटें निकालना कुल सीटों का उत्तर नहीं है। परीक्षा में \(n-1\) अवश्य लें। / This is an AP with \(a=20\), \(d=4\), and \(n=15\). \(S_{15}=\frac{15}{2}[2(20)+14(4)]=\frac{15}{2}(96)=720\). Finding only the 15th-row seats would not give the total. In exams, remember to use \(n-1\) in the sum formula.
एक खाते में पहले महीने (1000) रुपये जमा हुए और (6) महीनों में कुल (9000) रुपये जमा हुए। यदि जमा राशि हर महीने समान रूप से बढ़ती है तो मासिक वृद्धि कितनी है?
यहाँ प्रथम पद \(a=1000\), पदों की संख्या \(n=6\) और योग \(S_6=9000\) है। AP के योग के सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) में मान रखने पर \(9000=\frac{6}{2}[2(1000)+5d]\) मिलता है। अतः \(9000=6000+15d\), इसलिए \(d=200\)। इसलिए सही मासिक वृद्धि 200 रुपये है। 250 रुपये लेने पर छह महीनों का कुल योग 9000 रुपये नहीं आएगा। परीक्षा टिप: ऐसी समस्याओं में ‘हर महीने समान वृद्धि’ को AP का सार्वांतर \(d\) मानें। / Here, the first term is \(a=1000\), the number of terms is \(n=6\), and the sum is \(S_6=9000\). Using the AP sum formula \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(9000=\frac{6}{2}[2(1000)+5d]\). Thus, \(9000=6000+15d\), so \(d=200\). Therefore, the monthly increase is 200 rupees. If the increase were 250 rupees, the total for six months would not be 9000 rupees. Exam tip: in questions stating an equal monthly increase, treat that increase as the common difference \(d\).
प्रतिदिन रखे गए उपकरणों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: 7, 10, 13, \ldots। यहाँ प्रथम पद \(a=7\), अंतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(7)+(10-1)(3)]=5(14+27)=205\)। इसलिए 10 दिनों में कुल 205 उपकरण रखे जाएंगे। 200 प्राप्त होना सामान्यतः योग के सूत्र में पदों की संख्या या अंतर लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / The daily numbers of instruments form an arithmetic progression: 7, 10, 13, \ldots. Here, the first term is \(a=7\), the common difference is \(d=3\), and the number of terms is \(n=10\). Therefore, \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(7)+(10-1)(3)]=5(14+27)=205\). Hence, 205 instruments are placed in 10 days. An answer such as 200 usually results from using an incorrect number of intervals or an incorrect value of the common difference. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP sum formula.
A. एक विद्यार्थी की दैनिक बचत हर दिन ₹20 बढ़ती है/A student's daily savings increase by ₹20 every day.
Explanation
Simple Explanation
AP में लगातार दो पदों का अंतर स्थिर होता है। विकल्प A में अंतर हर दिन ₹20 है, अर्थात् \(a_{n+1}-a_n=20\)। विकल्प B में अनुपात स्थिर है, इसलिए वह GP है। परीक्षा टिप: पहले अंतर जाँचें। / In an AP, the difference between consecutive terms is constant. In option A, the daily difference is ₹20, so \(a_{n+1}-a_n=20\). Option B has a constant ratio and is a GP. Exam tip: check differences first.
प्रतिदिन जुड़ने वाले सदस्यों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है: \(15, 20, 25, \ldots\), जहाँ \(a=15\), \(d=5\) और \(n=7\) हैं। इसलिए \(S_7=\frac{7}{2}[2(15)+(7-1)5]=\frac{7}{2}(60)=210\)। अतः 7 दिनों में कुल 210 सदस्य जुड़ेंगे। 195 केवल पहले 6 दिनों का योग है। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्न में कुल संख्या पूछी हो तो \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(n\)वाँ पद नहीं। / The daily number of new members forms an AP: \(15, 20, 25, \ldots\), where \(a=15\), \(d=5\), and \(n=7\). Thus, \(S_7=\frac{7}{2}[2(15)+(7-1)5]=\frac{7}{2}(60)=210\). Therefore, 210 members join in 7 days. The value 195 is the sum for only the first 6 days. Exam tip: When a word problem asks for a total in an AP, use the sum formula \(S_n\), not just the \(n\)th-term formula.
खुराकें एक समान्तर श्रेणी (AP) बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=15\) mg और सार्वांतर \(d=5\) mg है। \(7\)वें दिन की खुराक \(a_7=a+(7-1)d=15+6\times5=45\) mg होगी। 40 mg लेने पर केवल 5 दिनों की वृद्धि मानी जाएगी, जबकि पहले दिन के बाद 7वें दिन तक 6 बार वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: AP में \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / The doses form an arithmetic progression (AP), with first term \(a=15\) mg and common difference \(d=5\) mg. The dose on day \(7\) is \(a_7=a+(7-1)d=15+6\times5=45\) mg. Choosing 40 mg counts only 5 increases, but there are 6 increases from day 1 to day 7. Exam tip: Use \(a_n=a+(n-1)d\) for the \(n\)th term of an AP.
हर महीने जुड़ने वाले कर्मचारियों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: 5, 7, 9, …। यहाँ प्रथम पद a = 5, सार्वांतर d = 2 और पदों की संख्या n = 9 है। अतः S₉ = n/2[2a + (n−1)d] = 9/2[2(5) + 8(2)] = 9/2(26) = 117। इसलिए सही उत्तर 117 है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में ‘कुल’ पूछा हो, तो nवाँ पद नहीं बल्कि AP के पहले n पदों का योग निकालें। / The numbers of employees joining each month form an AP: 5, 7, 9, … . Here, a = 5, d = 2, and n = 9. Therefore, S₉ = n/2[2a + (n−1)d] = 9/2[2(5) + 8(2)] = 9/2(26) = 117. Hence, 117 is correct. Exam tip: When a word problem asks for the ‘total’, find the sum of the first n terms, not only the nth term.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=10\) और सार्वांतर \(d=3\) है। \(11\)वाँ पद \(a_{11}=a+(11-1)d=10+10\times3=40\) होगा। इसलिए सही उत्तर 40 है। 42 प्राप्त करने के लिए पदों की संख्या गलत गिननी पड़ेगी। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This forms an arithmetic progression with first term \(a=10\) and common difference \(d=3\). The 11th term is \(a_{11}=a+(11-1)d=10+10\times3=40\). Therefore, the correct answer is 40. Getting 42 would result from counting the number of increases incorrectly. Exam tip: Use \(a_n=a+(n-1)d\) for the \(n\)th term of an AP.
प्रतिदिन आने वाले प्रतिभागियों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है: 40, 50, 60, 70, 80, 90। यहाँ प्रथम पद \(a=40\), सार्वांतर \(d=10\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(40)+(6-1)(10)]=3(130)=390\)। इसलिए सही उत्तर 390 है। 400 तब आता है जब श्रेणी के पदों या दिनों की संख्या को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) लिखकर फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily number of participants forms an AP: 40, 50, 60, 70, 80, 90. Here, the first term is \(a=40\), the common difference is \(d=10\), and the number of terms is \(n=6\). Thus, \(S_6=\frac{6}{2}[2(40)+(6-1)(10)]=3(130)=390\). Therefore, 390 is correct. A result such as 400 can arise from counting the terms or days incorrectly. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
प्रतिदिन चली दूरी एक समान्तर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद 25 km और सार्वांतर 5 km है। आठवाँ पद होगा: \(a_8=a+(8-1)d=25+7\times5=60\) km। इसलिए सही उत्तर 60 km है। 55 km लेने पर वृद्धि केवल 6 दिनों की गिनी जाएगी। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) गुणा सार्वांतर लें। / The distances travelled each day form an AP with first term 25 km and common difference 5 km. The eighth term is \(a_8=a+(8-1)d=25+7\times5=60\) km. Therefore, the correct answer is 60 km. Choosing 55 km would count the increase for only 6 days. Exam tip: for the \(n\)th term, multiply the common difference by \(n-1\).
प्रतिदिन मिलने वाला डेटा एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=2\), सार्वांतर \(d=3\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(2)+(8-1)3]=4(25)=100\) GB। इसलिए सही उत्तर 100 GB है। 96 GB लेने पर अंतिम दिनों में बढ़ने वाले 3 GB का सही हिसाब नहीं बनता। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily data amounts form an AP with first term \(a=2\), common difference \(d=3\), and \(n=8\) terms. Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(2)+(8-1)3]=4(25)=100\) GB. Therefore, 100 GB is correct. A value such as 96 GB does not correctly account for the increase of 3 GB on each successive day. Exam tip: In AP word problems, first identify \(a\), \(d\), and \(n\), then use the formula for \(S_n\).
यहाँ दैनिक बिक्री एक समान्तर श्रेणी (AP) बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=90\) और सार्वांतर \(d=15\) है। 7वाँ पद \(a_7=a+(7-1)d=90+6\times15=180\) होगा। इसलिए सही उत्तर 180 है। 195 लेने पर 7 के स्थान पर 8 दिनों की वृद्धि जैसा परिणाम आएगा। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) बार सार्वांतर जोड़ें। / The daily sales form an AP with first term \(a=90\) and common difference \(d=15\). The 7th term is \(a_7=a+(7-1)d=90+6\times15=180\). Therefore, 180 is correct. Choosing 195 would correspond to adding the common difference one extra time. Exam tip: for the \(n\)th term, add the common difference \(n-1\) times.
प्रतिदिन लगाए गए कंप्यूटरों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(6, 10, 14, 18, 22, 26\)। यहाँ \(a=6\), \(d=4\) और \(n=6\) हैं। अतः \(S_6=\frac{6}{2}[2(6)+(6-1)4]=3(32)=96\)। इसलिए सही उत्तर 96 है। 108 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या या अंतिम पद गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले पद, अंतर और दिनों की संख्या अलग-अलग पहचानें। / The numbers of computers installed each day form an AP: \(6, 10, 14, 18, 22, 26\). Here, \(a=6\), \(d=4\), and \(n=6\). Therefore, \(S_6=\frac{6}{2}[2(6)+(6-1)4]=3(32)=96\). Hence, 96 is correct. A value such as 108 can result from using an incorrect number of terms or last term. Exam tip: In word problems, identify the first term, common difference, and number of days before applying the AP sum formula.
सेवा लागत एक समान्तर श्रेणी (AP) बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=1500\) और सार्वांतर \(d=400\) है। पाँचवें वर्ष की लागत \(a_5=a+(5-1)d=1500+4\times400=3100\) रुपये होगी। 2900 रुपये लेने पर वृद्धि केवल 3 बार गिनी जाएगी, जबकि पहले से पाँचवें वर्ष तक 4 अंतराल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) लिखकर अंतरालों की संख्या जाँचें। / The service costs form an arithmetic progression with first term \(a=1500\) and common difference \(d=400\). The fifth-year cost is \(a_5=a+(5-1)d=1500+4\times400=3100\) rupees. Choosing 2900 would count only three increases, but there are four intervals from the first year to the fifth year. Exam tip: Use \(a_n=a+(n-1)d\) and count the intervals carefully.
प्लेटों की संख्याएँ 10, 12, 14, … एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ a=10, d=2 और n=12 है। इसलिए \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+(12-1)(2)] = 6(42)=252\)। अतः 12 मेजों पर कुल 252 प्लेटें रखी जाएँगी। 264 तब मिलता है जब पदों की संख्या या अंतिम पद का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले a, d और n पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The plate counts 10, 12, 14, … form an arithmetic progression with a=10, d=2, and n=12. Hence, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(10)+(12-1)(2)] = 6(42)=252\). Therefore, 252 plates are placed on 12 tables. The value 264 can result from using the number of terms or the last term incorrectly. Exam tip: In AP word problems, first identify a, d, and n, then apply the formula for \(S_n\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=9\), सार्वांतर \(d=3\) और पद संख्या \(n=9\) है। अतः \(a_9=a+(n-1)d=9+(9-1)\times3=33\)। इसलिए 9वें स्टॉप पर 33 यात्री चढ़ेंगे। विकल्प 36 में 3 को 9 बार जोड़ा गया है, जबकि पहले स्टॉप से 9वें स्टॉप तक केवल 8 बार वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: AP के \(n\)वें पद में हमेशा \(n-1\) अंतर जोड़ें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=9\), common difference \(d=3\), and term number \(n=9\). Thus, \(a_9=a+(n-1)d=9+(9-1)\times3=33\). Therefore, 33 passengers board at the 9th stop. Option 36 results from adding 3 nine times, but there are only 8 increases from the first stop to the ninth stop. Exam tip: use \(n-1\) differences when finding the \(n\)th term of an AP.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=16\), सार्वांतर \(d=4\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(16)+(8-1)4]=4(32+28)=240\)। इसलिए 8 दिनों में कुल 240 प्रश्न हल होंगे। 232 प्राप्त होना सामान्यतः सार्वांतर या पदों की संख्या को गलत लेने से होता है। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) अलग से लिखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=16\), common difference \(d=4\), and number of terms \(n=8\). Therefore, \(S_8=\frac{8}{2}[2(16)+(8-1)4]=4(32+28)=240\). Hence, 240 questions are solved in 8 days. A value such as 232 usually results from using the common difference or number of terms incorrectly. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the AP sum formula.
प्रतिदिन लगाए गए पेड़ों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=6\) है। सातवाँ पद \(a_7=a+(7-1)d=18+6\times6=54\) होगा। इसलिए सही उत्तर 54 है। 48 प्राप्त करने के लिए पदों की संख्या गलत गिननी पड़ेगी। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) का उपयोग करें। / The numbers of trees planted each day form an AP with first term \(a=18\) and common difference \(d=6\). The seventh term is \(a_7=a+(7-1)d=18+6\times6=54\). Therefore, the correct answer is 54. Getting 48 would result from counting the number of increases incorrectly. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), when finding the \(n\)th term of an AP.
कमरों की संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: 18, 20, 22, \ldots यहाँ प्रथम पद \(a=18\), सार्वांतर \(d=2\) और मंजिलों की संख्या \(n=9\) है। इसलिए \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)(2)]=\frac{9}{2}(52)=234\)। अतः 9 मंजिलों में कुल 234 कमरे होंगे। 238 अंतिम मंजिल तक के कमरों की संख्या जोड़ने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: AP के शब्द-प्रश्नों में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानें, फिर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The numbers of rooms form an arithmetic progression: 18, 20, 22, \ldots Here, the first term is \(a=18\), the common difference is \(d=2\), and the number of floors is \(n=9\). Thus, \(S_9=\frac{9}{2}[2(18)+(9-1)(2)]=\frac{9}{2}(52)=234\). Therefore, there are 234 rooms in 9 floors. The value 238 is not obtained by adding the rooms on all nine floors. Exam tip: In AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
प्रतिदिन मिलने वाली राशि एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 80 और सार्वांतर 20 है। 8वाँ पद: \(a_8=80+(8-1)\times20=80+140=220\)। इसलिए 8वें दिन 220 रुपये आएंगे। 210 रुपये लेने पर केवल 6.5 अंतर जुड़ते हैं, जबकि 8वें दिन तक 7 बार 20 रुपये बढ़ते हैं। परीक्षा टिप: AP में \(n\)वाँ पद निकालने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The daily amount forms an AP with first term 80 and common difference 20. The 8th term is \(a_8=80+(8-1)\times20=80+140=220\). Therefore, 220 rupees are received on the 8th day. Choosing 210 would not account for the seven increases of 20 from day 1 to day 8. Exam tip: Use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the nth term of an AP.
प्रतिदिन बिकने वाले गमलों की संख्या एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=14\), अंतर \(d=3\) और दिनों की संख्या \(n=10\) है। इसलिए \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(14)+(10-1)(3)] = 5(28+27)=275\)। अतः सही उत्तर 275 है। 280 प्राप्त करना एक सामान्य गलती हो सकती है यदि पदों या अंतर की संख्या गलत गिनी जाए। परीक्षा टिप: कुल योग वाले AP प्रश्न में हमेशा \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का उपयोग करें। / The number of pots sold each day forms an arithmetic progression with first term \(a=14\), common difference \(d=3\), and \(n=10\) days. Thus, \(S_{10}=\frac{10}{2}[2(14)+(10-1)(3)] = 5(28+27)=275\). Therefore, 275 is the correct answer. A common error leading to 280 is counting the terms or common differences incorrectly. Exam tip: for the total of an AP, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
प्रति घंटे संभाली जाने वाली कॉलों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 45 और सार्वांतर 5 है। नौवें घंटे की कॉलों की संख्या होगी: \(a_9 = 45 + (9-1)\times 5 = 45 + 40 = 85\)। इसलिए सही उत्तर 85 है। 90 लेने पर नौ के स्थान पर गलत पद-स्थिति का उपयोग हो जाएगा। परीक्षा टिप: समान्तर श्रेणी में \(n\)वें पद के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / The number of calls handled per hour forms an arithmetic progression with first term 45 and common difference 5. For the ninth hour: \(a_9 = 45 + (9-1)\times 5 = 45 + 40 = 85\). Therefore, 85 is correct. Choosing 90 would result from using the term position incorrectly. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the nth term of an AP.
प्रतिदिन बनाए गए चित्रों की संख्या एक समांतर श्रेणी है: \(5, 7, 9, \ldots\), जहाँ \(a=5\), \(d=2\) और \(n=12\) हैं। इसलिए \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(5)+(12-1)2]=6(32)=192\)। अतः सही उत्तर 192 है। 190 तब मिलता यदि अंतिम पद या पदों की संख्या को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में पहले \(a\), \(d\) और \(n\) पहचानकर \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / The daily number of drawings forms an arithmetic progression: \(5, 7, 9, \ldots\), where \(a=5\), \(d=2\), and \(n=12\). Thus, \(S_{12}=\frac{12}{2}[2(5)+(12-1)2]=6(32)=192\). Therefore, 192 is the correct answer. A value such as 190 can result from counting the last term or the number of days incorrectly. Exam tip: in AP word problems, identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the formula for \(S_n\).
क्रमागत अंतर एक समानांतर श्रेणी बनाते हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=8\) m और सार्वांतर \(d=3\) m है। सातवाँ अंतर \(a_7=a+(7-1)d=8+6\times3=26\) m होगा। \(23\) m लेने पर केवल पाँचवीं दूरी प्राप्त होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लें। / The successive gaps form an arithmetic progression with first term \(a=8\) m and common difference \(d=3\) m. The seventh gap is \(a_7=a+(7-1)d=8+6\times3=26\) m. Choosing \(23\) m would give the fifth gap, not the seventh. Exam tip: in \(a_n=a+(n-1)d\), use \(n-1\), not \(n\).
बोरों की संख्या एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्वांतर \(d=6\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। अतः \(S_8=\frac{8}{2}[2(12)+(8-1)6]=4(66)=264\)। इसलिए 8 रैक पर कुल 264 बोरे होंगे। 288 केवल अंतिम पदों को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: कुल योग वाले प्रश्न में \(S_n\) का सूत्र लगाएँ, केवल \(a_n\) न निकालें। / The numbers of sacks form an AP with first term \(a=12\), common difference \(d=6\), and \(n=8\) terms. Thus, \(S_8=\frac{8}{2}[2(12)+(8-1)6]=4(66)=264\). Therefore, the total on 8 racks is 264 sacks. Option 288 can result from adding terms incorrectly. Exam tip: for a total, use the sum formula \(S_n\), not only the nth-term formula.
प्रतिदिन बिक्री में 4 डिब्बों की समान वृद्धि हो रही है, इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। यहाँ प्रथम पद \(a=28\), सार्वांतर \(d=4\) और \(n=10\) है। अतः \(a_{10}=a+(n-1)d=28+(10-1)\times4=64\)। इसलिए 10वें दिन \(64\) डिब्बे बिकेंगे। \(68\) पाने के लिए 10 के स्थान पर गलत तरीके से 10 वृद्धि जोड़ दी जाती है; 10वें पद तक केवल 9 वृद्धि होती हैं। परीक्षा टिप: AP के \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(n-1\) का प्रयोग करें। / The sales increase by 4 boxes each day, so they form an arithmetic progression. Here, \(a=28\), \(d=4\), and \(n=10\). Thus, \(a_{10}=a+(n-1)d=28+(10-1)\times4=64\). Therefore, 64 boxes are sold on the 10th day. The option \(68\) results from incorrectly adding 10 increases; there are only 9 increases from the first day to the 10th day. Exam tip: use \(n-1\) in the formula for the \(n\)th term of an AP.
