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नवें पद के लिए दिए गए नियम में n के स्थान पर 9 रखें: \(a_9=4\times 9+7=36+7=43\)। इसलिए सही उत्तर 43 है। 41 तब मिलता यदि 7 को जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: nवें पद के सूत्र में पद संख्या रखने के बाद गुणा और जोड़ को क्रम से हल करें। / For the ninth term, substitute 9 for n in the given rule: \(a_9=4\times 9+7=36+7=43\). Therefore, 43 is the correct answer. The value 41 would result from an error while adding 7. Exam tip: after substituting the term number in an nth-term formula, perform multiplication before addition.
\(a_n=3n+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), जो स्थिर है। इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(pn+q\) AP देता है। / For \(a_n=3n+1\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), a constant. Hence it is an AP. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: a linear form \(pn+q\) represents an AP.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=9/3=3\) है। सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) से \(a_5=3\times 3^{4}=243\)। 81 चौथा पद है, जबकि 729 छठा पद है। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=9/3=3\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=3\times 3^{4}=243\). Here, 81 is the fourth term, while 729 is the sixth term. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
अनुक्रम के पदों को क्रमशः देखें: \(3=1^2+2\), \(6=2^2+2\), \(11=3^2+2\) और \(18=4^2+2\)। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2+2\) होगा। \(2n+1\) में पदों का अंतर स्थिर \(2\) होता, जबकि यहाँ अंतर \(3,5,7,\ldots\) हैं। परीक्षा टिप: वर्गों से बने अनुक्रम में लगातार पदों के अंतर विषम संख्याएँ होते हैं। / Observe the terms: \(3=1^2+2\), \(6=2^2+2\), \(11=3^2+2\), and \(18=4^2+2\). Hence, the \(n\)th term is \(a_n=n^2+2\). The expression \(2n+1\) would give a constant difference of \(2\), but this sequence has differences \(3,5,7,\ldots\). Exam tip: sequences based on squares have consecutive differences that are odd numbers.
(a_n=12+(n-1)5=5n+7), इसलिए (5n+7=57) से (n=10)। दिए पद की स्थिति के लिए नियम को बराबर रखें। / (a_n=12+(n-1)5=5n+7), so (5n+7=57) gives (n=10). Set the rule equal to the given term to find its position.
यह एक समान्तर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद के बीच अंतर \(7\) है। यहाँ प्रथम पद \(a=2\), सार्वांतर \(d=7\) और \(n=14\) है। अतः \(a_{14}=a+(n-1)d=2+(14-1)\times7=2+91=93\)। विकल्प 91 में केवल \(13\times7\) लिया गया है; उसमें प्रथम पद 2 नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करते समय \(n-1\) अंतर होते हैं, \(n\) नहीं। / This is an arithmetic progression because the difference between consecutive terms is \(7\). Here, \(a=2\), \(d=7\), and \(n=14\). Therefore, \(a_{14}=a+(n-1)d=2+(14-1)\times7=2+91=93\). Option 91 uses only \(13\times7\) and does not add the first term, 2. Exam tip: For the \(n\)th term, use \(n-1\) common differences, not \(n\).
पहला पद (4) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=4\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर नियम में घात (n-1) होती है। / The first term is (4) and the ratio is (3), so \(a_n=4\cdot3^{n-1}\). In the geometric rule, the exponent is (n-1).
यहाँ n के स्थान पर 8 रखें: a_8=82+2(8)=64+16=80। इसलिए सही उत्तर 80 है। 84 प्राप्त होना जोड़ में गलती करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान सूत्र के प्रत्येक स्थान पर रखें, फिर घात और गुणा करें। / Substitute 8 for n: a_8=82+2(8)=64+16=80. Therefore, 80 is the correct answer. The value 84 may result from an addition error. Exam tip: When finding a term, substitute the value of n everywhere in the formula before evaluating powers and multiplication.
दिया है \(a_n=40-3n\)। 12वाँ पद ज्ञात करने के लिए n=12 रखने पर (a_{12}=40-3(12)=40-36=4) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 4 है। 6 तब मिलता यदि 3×12 को गलती से 34 माना जाए। परीक्षा में पहले गुणा करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=40-3n\), substitute n=12 to find the 12th term: (a_{12}=40-3(12)=40-36=4). Hence, the correct answer is 4. The value 6 can result from an incorrect multiplication or subtraction. In exams, multiply first and then subtract.
दिए गए पद क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। जब \(n=1\) हो, तब पहला पद \((1+1)^2=4\) मिलता है; अतः \(n\)वाँ पद \((n+1)^2\) है। विकल्प \(n^2+3\) पहले पद के लिए 4 देता है, लेकिन \(n=2\) पर 7 देता है, जबकि दिया गया दूसरा पद 9 है। परीक्षा टिप: सूत्र को कम-से-कम पहले दो पदों के लिए जाँचें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), respectively. For \(n=1\), the first term is \((1+1)^2=4\); hence the \(n\)th term is \((n+1)^2\). Although \(n^2+3\) gives 4 for the first term, it gives 7 when \(n=2\), not the required second term 9. Exam tip: verify a proposed formula using at least the first two terms.
दिया है कि \(a_n=8n+3\)। अतः \(a_7=8(7)+3=59\) और \(a_2=8(2)+3=19\)। इसलिए \(a_7-a_2=59-19=40\)। विकल्प 36 तब आता यदि गणना में गुणन या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के प्रश्न में पहले \(n\) का मान सूत्र में रखकर दोनों पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=8n+3\), \(a_7=8(7)+3=59\) and \(a_2=8(2)+3=19\). Therefore, \(a_7-a_2=59-19=40\). Option 36 may result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: for questions involving two terms, substitute each value of \(n\) separately before finding their difference.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=8/2=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\)। 256 में घात एक कम लेने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में अनुपात की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=8/2=4\). The \(n\)th term is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\). Choosing 256 results from using one power too few. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्वांतर \(d=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=3+7(n-1)=7n-4\) होगा। \(7n-4=80\) रखने पर \(7n=84\), अतः \(n=12\)। इसलिए 80, 12वाँ पद है। 11वाँ पद \(73\) होगा, इसलिए वह निकट विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति पूछने पर \(a_n\) को दिए गए मान के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=3\) and common difference \(d=7\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d=3+7(n-1)=7n-4\). Setting \(7n-4=80\) gives \(7n=84\), so \(n=12\). Hence, 80 is the 12th term. The 11th term is \(73\), so it is not correct despite being a close option. Exam tip: When the position of a given term is asked, equate \(a_n\) to that term and solve for \(n\).
दिया है कि \(a_n=4^n\)। इसलिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\) प्राप्त होता है। \(16\) विकल्प \(4^2\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में पहले \(n\) के स्थान पर दिया गया पद क्रमांक रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=4^n\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\). Option 16 is the value of \(4^2\), not \(4^3\). Exam tip: For an nth-term question, first substitute the required term number for \(n\), then evaluate the power.
क्रमागत पदों के अंतर \(4,6,8\) हैं, जिनमें प्रत्येक बार \(2\) की वृद्धि हो रही है; इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(n^2+n+4\) से क्रमशः \(6,10,16,24\) प्राप्त होते हैं। \(n^2+5\) से दूसरा पद \(9\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो अक्सर \(n^2\) वाला नियम जाँचें। / The successive differences are \(4,6,8\), increasing by \(2\) each time, so the rule should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(n^2+n+4\) gives \(6,10,16,24\), respectively. In contrast, \(n^2+5\) gives \(9\) as the second term, so it does not fit. Exam tip: when second differences are constant, test a rule containing \(n^2\).
दिया है, \(a_n=9n-2\)। अतः \(a_5=9\times5-2=43\) और \(a_3=9\times3-2=25\)। इसलिए \(a_5+a_3=43+25=68\) होगा। विकल्प 66 तब मिल सकता है जब किसी पद में घटाने की क्रिया गलत की जाए। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखिए। / Given \(a_n=9n-2\), \(a_5=9\times5-2=43\) and \(a_3=9\times3-2=25\). Therefore, \(a_5+a_3=43+25=68\). Option 66 can result from an error while subtracting in one of the terms. Exam tip: Substitute the value of \(n\) separately for each required term before adding.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=13\) और सार्वांतर \(d=19-13=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{18}=13+(18-1)\times6=13+102=115\)। विकल्प 109 में \(16\) सार्वांतर जोड़े जाते हैं, इसलिए वह 17वाँ पद होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में \(n-1\) लेना न भूलें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=13\) and common difference \(d=19-13=6\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{18}=13+(18-1)\times6=13+102=115\). Option 109 uses 16 common differences, so it is the 17th term. Exam tip: Remember to use \(n-1\), not \(n\), in the nth-term formula.
दिया है कि \(a_n=5^n\)। तीसरा पद ज्ञात करने के लिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=5^3=125\) प्राप्त होता है। 25, \(5^2\) का मान है, इसलिए वह दूसरा पद होगा, तीसरा नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में नीचे लिखा \(n\) पद का क्रम बताता है; उसे घात में रखकर मान निकालें। / Given \(a_n=5^n\). To find the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=5^3=125\). The value 25 is \(5^2\), so it represents the second term, not the third. Exam tip: the subscript \(n\) indicates the term number; substitute it into the formula.
यह (3) से शुरू होने वाली विषम संख्याएं हैं, इसलिए \(a_n=2n+1\)। (n=1) पर पहला पद (3) मिलना चाहिए। / These are odd numbers starting from (3), so \(a_n=2n+1\). For (n=1), the first term should be (3).
दिया है: \(a_n=5n^2-2\)। तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=5(3)^2-2=5\times9-2=45-2=43\)। इसलिए सही उत्तर 43 है। 45 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें अंत में 2 घटाना छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=5n^2-2\), substitute \(n=3\) for the third term: \(a_3=5(3)^2-2=5\times9-2=45-2=43\). Therefore, 43 is correct. The close distractor 45 results from forgetting to subtract 2 at the end. Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate the exponent first, then multiply and subtract.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है और \(a_5=100\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{25}{4}\)। भिन्न अनुपात में घात सावधानी से लगाएं। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), and \(a_5=100\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{25}{4}\). Use powers carefully with a fractional ratio.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=4\) और सार्वांतर \(d=4\) है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=4+(n-1)\times4=4n\) होगा। \(4n-4\) में \(n=1\) रखने पर 0 मिलता है, जबकि पहला पद 4 है। परीक्षा टिप: पदों के अनुक्रम में पहले पद और सार्वांतर से \(a_n=a+(n-1)d\) लिखकर जाँच करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=4\) and common difference \(d=4\). Hence, \(a_n=a+(n-1)d=4+(n-1)\times4=4n\). The expression \(4n-4\) gives 0 when \(n=1\), but the first term is 4. Exam tip: For such sequences, use \(a_n=a+(n-1)d\) and verify it with the first term.
दिया है: \(a_n=12n-7\)। दसवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=10\) रखें: \(a_{10}=12\times10-7=120-7=113\)। इसलिए सही उत्तर 113 है। 117 तब मिलता है जब घटाने के बजाय गलती से 7 जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(n\) के स्थान पर मांगी गई पद-संख्या ही रखें। / Given \(a_n=12n-7\), substitute \(n=10\) to find the tenth term: \(a_{10}=12\times10-7=120-7=113\). Hence, 113 is correct. The value 117 would result from incorrectly adding 7 instead of subtracting it. Exam tip: in \(a_n\), replace \(n\) with the number of the required term.
पहला पद (25) और अंतर (-5) है, इसलिए (a_n=25+(n-1)(-5)=30-5n)। घटती श्रेढ़ी में चिह्न पर ध्यान दें। / The first term is (25) and the difference is (-5), so (a_n=25+(n-1)(-5)=30-5n). Pay attention to the sign in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=n(n+2)\)। पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=5(5+2)=5\times7=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 तब मिलता यदि \(5\) को \(5+2\) से सही प्रकार गुणा न किया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का मान रखकर कोष्ठक हल करें। / Given \(a_n=n(n+2)\), substitute \(n=5\) to find the fifth term: \(a_5=5(5+2)=5\times7=35\). Hence, 35 is correct. The value 30 would result from not multiplying 5 by \(5+2\) correctly. Exam tip: For an nth-term formula, substitute the given value of \(n\) first and then simplify the brackets.
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए \(a_4=6\cdot3^3=162\)। गुणोत्तर पद में अनुपात की घात (n-1) होती है। / The common ratio is (3), so \(a_4=6\cdot3^3=162\). In a geometric term, the exponent of the ratio is (n-1).
दिया है कि \(a_n=7n+4\)। अतः \(a_8=7\times8+4=60\) और \(a_5=7\times5+4=39\)। इसलिए \(a_8-a_5=60-39=21\)। विकल्प 28 लेने पर पदों के सूचकांकों के अंतर को गलत तरीके से 7 से गुणा किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(a_n=dn+c\) के लिए \(a_p-a_q=d(p-q)\), क्योंकि स्थिर पद \(c\) कट जाता है। / Given \(a_n=7n+4\), we get \(a_8=7\times8+4=60\) and \(a_5=7\times5+4=39\). Hence, \(a_8-a_5=60-39=21\). Choosing 28 would result from using the difference in indices incorrectly. Exam tip: for \(a_n=dn+c\), \(a_p-a_q=d(p-q)\), since the constant term \(c\) cancels out.
क्रमागत पदों के अंतर \(4,6,8,\ldots\) हैं, जो हर बार 2 से बढ़ते हैं। इसलिए अनुक्रम का नियम द्विघात रूप का है। \(a_n=n^2+n+5\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(7,11,17,25\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(4n+3\) से अंतर सदैव 4 मिलता है, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: बढ़ते हुए प्रथम अंतर द्विघात अनुक्रम का संकेत देते हैं। / The successive differences are \(4,6,8,\ldots\), increasing by 2 each time. Hence the sequence follows a quadratic rule. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n+5\) gives \(7,11,17,25\), respectively. The option \(4n+3\) has a constant difference of 4, so it cannot represent this sequence. Exam tip: increasing first differences usually indicate a quadratic sequence.
शून्य पद ज्ञात करने के लिए दिए गए व्यंजक में \(a_n=0\) रखें: \(60-6n=0\)। अतः \(6n=60\), इसलिए \(n=10\)। इसलिए 10वाँ पद शून्य है। 9वाँ पद शून्य नहीं होगा, क्योंकि \(a_9=60-6(9)=6\)। परीक्षा टिप: किसी पद का मान शून्य पूछे जाने पर पहले \(a_n=0\) रखकर \(n\) हल करें। / To find the zero term, set \(a_n=0\) in the given expression: \(60-6n=0\). Thus, \(6n=60\), so \(n=10\). Therefore, the 10th term is zero. The 9th term is not zero because \(a_9=60-6(9)=6\). Exam tip: When asked for a zero term, first put \(a_n=0\) and solve for \(n\).
पद (5,15,45,135,405,1215) हैं, इसलिए (1215) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद क्रम से लिखना तेज है। / The terms are (5,15,45,135,405,1215), so (1215) is the sixth term. For small questions, listing terms is quick.
\(a_6\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n=6\) रखें: \(a_6=\frac{6(6+3)}{2}=\frac{6\times9}{2}=27\)। अतः सही उत्तर 27 है। \(30\) तब मिलता है जब \(6+3\) के स्थान पर गलती से 10 लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) के प्रश्न में पहले \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find \(a_6\), substitute \(n=6\) in the formula: \(a_6=\frac{6(6+3)}{2}=\frac{6\times9}{2}=27\). Therefore, the correct answer is 27. The value 30 can result from incorrectly taking \(6+3\) as 10. Exam tip: In nth-term questions, substitute the given value of \(n\) carefully before simplifying.
यह एक समानांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक पद में 4 घट रहा है। अतः प्रथम पद \(a=30\) और सार्वांतर \(d=-4\) है। \(a_9=a+(9-1)d=30+8(-4)=30-32=-2\)। इसलिए सही उत्तर \(-2\) है। \(0\) तब मिलता यदि केवल 7 बार अंतर घटाया जाता। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) अंतर ही जोड़े या घटाए जाते हैं। / This is an arithmetic progression because each term decreases by 4. Thus, the first term is \(a=30\) and the common difference is \(d=-4\). \(a_9=a+(9-1)d=30+8(-4)=30-32=-2\). Therefore, \(-2\) is the correct answer. The value \(0\) would result from subtracting the common difference only 7 times. Exam tip: for the \(n\)th term, use \(n-1\) common differences.
दिया है कि \(a_n=3n+14\) और \(a_n=56\)। अतः \(3n+14=56\)। दोनों पक्षों से 14 घटाने पर \(3n=42\), इसलिए \(n=14\)। अतः 56 इस अनुक्रम का 14वाँ पद है। विकल्प 15 लेने पर पद का मान \(3\times15+14=59\) होगा, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के दिए गए मान को सूत्र में रखकर \(n\) का समीकरण हल करें। / Given \(a_n=3n+14\) and \(a_n=56\), we get \(3n+14=56\). Subtracting 14 from both sides gives \(3n=42\), so \(n=14\). Hence, 56 is the 14th term of the sequence. If \(n=15\), the term would be \(3\times15+14=59\), not 56. Exam tip: To find the term number, substitute the given value of \(a_n\) into the formula and solve the resulting equation for \(n\).
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\) है। अतः छठा पद \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\) होगा। क्रम के पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं, इसलिए सही विकल्प 3 है। विकल्प 6 पाँचवाँ पद है, छठा पद नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(a_n=a r^{n-1}\) में घात \(n-1\) रखें। / The common ratio of this GP is \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\). Therefore, the sixth term is \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\). The terms are \(96,48,24,12,6,3\), so 3 is correct. Option 6 is the fifth term, not the sixth. Exam tip: In \(a_n=a r^{n-1}\), use the exponent \(n-1\).
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \(a=9\) और सार्वांतर \(d=9\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=9+(n-1)\times9=9n\) होगा। \(n+9\) में \(n=2\) रखने पर 11 मिलता है, जबकि दूसरा पद 18 है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=9\) and common difference \(d=9\). Hence, \(a_n=a+(n-1)d=9+(n-1)\times9=9n\). The expression \(n+9\) gives 11 when \(n=2\), but the second term is 18. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for an arithmetic progression.
दिया है कि \(a_n=12-5n\)। चौथे पद के लिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=12-5(4)=12-20=-8\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(-8\) है। \(-6\) जैसा विकल्प गलत होगा, क्योंकि \(12-20\) का मान \(-8\) होता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=12-5n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=12-5(4)=12-20=-8\). Therefore, \(-8\) is correct. An option such as \(-6\) is incorrect because \(12-20=-8\), not \(-6\). Exam tip: after substituting the value of \(n\), do the multiplication before subtraction.
क्रमागत पदों के अंतर \(7,9,11\) हैं, जो हर बार \(2\) से बढ़ रहे हैं; इसलिए अनुक्रम द्विघात रूप का है। \(a_n=n^2+4n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,12,21,32\) प्राप्त होते हैं। \(n^2+4\) केवल पहले पद के लिए सही है, पर दूसरे पद के लिए \(8\) देता है। परीक्षा टिप: पहले अंतरों में समान वृद्धि दिखे तो द्विघात पद की जाँच करें। / The consecutive differences are \(7,9,11\), increasing by \(2\) each time, so the sequence follows a quadratic pattern. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+4n\) gives \(5,12,21,32\), respectively. \(n^2+4\) matches only the first term and gives \(8\) for the second term. Exam tip: when first differences increase uniformly, test a quadratic nth-term rule.
दिया है \(a_n=3\cdot4^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\)। इसलिए सही उत्तर 192 है। 96 प्राप्त करना सामान्यतः \(4^3\) को 3 से गुणा करना भूलने पर होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घात \(n-1\) में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot4^{n-1}\), substitute \(n=4\): \(a_4=3\cdot4^{4-1}=3\cdot4^3=3\cdot64=192\). Hence, 192 is correct. The value 96 may result from an incorrect multiplication after evaluating the power. Exam tip: first substitute the term number into \(n-1\), then simplify step by step.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=4\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=14+4(n-1)=4n+10\)। \(a_n=70\) रखने पर \(4n+10=70\), इसलिए \(4n=60\) और \(n=15\) प्राप्त होता है। \(n=14\) लेने पर पद \(66\) होगा, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=14\) and common difference \(d=4\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=14+4(n-1)=4n+10\). Putting \(a_n=70\), we get \(4n+10=70\), so \(4n=60\) and \(n=15\). For \(n=14\), the term would be \(66\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: to find the position of a term, first write \(a_n=a+(n-1)d\).
छठे पद के लिए n=6 रखें: \(a_6=6^2+2(6)-1=36+12-1=47\)। इसलिए सही उत्तर 47 है। 49 तब मिलता है जब अंतिम \(-1\) को छोड़ दिया जाए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान सूत्र के प्रत्येक n में रखें और गणना का क्रम ध्यान से अपनाएँ। / For the sixth term, substitute n=6: \(a_6=6^2+2(6)-1=36+12-1=47\). Therefore, the correct answer is 47. The value 49 would result from omitting the final \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: Substitute the value of n in every occurrence of n and follow the order of operations carefully.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 5 है। अतः nवाँ पद \(a_n=2\times5^{n-1}\) होगा। \(2\times5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n=5\)। अतः 1250 पाँचवाँ पद है। चौथा पद \(250\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: GP में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=ar^{n-1}\) लिखें। / The first term of this GP is 2 and the common ratio is 5. Therefore, its nth term is \(a_n=2\times5^{n-1}\). From \(2\times5^{n-1}=1250\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\), so \(n=5\). Hence, 1250 is the fifth term. The fourth term is \(250\), making it a close but incorrect option. Exam tip: To find a position in a GP, first write \(a_n=ar^{n-1}\).
पहला पद (6) और अंतर (10) है, इसलिए (a_n=6+(n-1)10=10n-4)। पहले पद पर (n=1) रखकर जांचें। / The first term is (6) and the difference is (10), so (a_n=6+(n-1)10=10n-4). Check by putting (n=1).
दिया है \(a_n=\frac{5n-1}{2}\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=\frac{5(7)-1}{2}=\frac{35-1}{2}=\frac{34}{2}=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 16 तब मिलता यदि अंश में गलती से \(35-1=32\) किया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का सही मान रखकर कोष्ठक और संक्रियाओं को क्रम से हल करें। / Given \(a_n=\frac{5n-1}{2}\), substitute \(n=7\): \(a_7=\frac{5(7)-1}{2}=\frac{35-1}{2}=\frac{34}{2}=17\). Hence, 17 is correct. The value 16 could result from incorrectly calculating \(35-1\) as 32. Exam tip: In an nth-term formula, substitute the value of \(n\) carefully and simplify the operations in order.
पद (3(1)2,3(2)2,3(3)2,\ldots) हैं, इसलिए \(a_n=3n^2\)। वर्ग और गुणक दोनों पहचानें। / The terms are (3(1)2,3(2)2,3(3)2,\ldots), so \(a_n=3n^2\). Identify both the square and the multiplier.
\(a_4=46\) और \(a_6=68\), इसलिए योग (114) है। सही विकल्प चुनने से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=46\) and \(a_6=68\), so the sum is (114). Find both terms separately before choosing the option.
पद (7,14,28,56,112,224,448) हैं, इसलिए (448) सातवाँ पद है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में हर बार समान अनुपात से गुणा करें। / The terms are (7,14,28,56,112,224,448), so (448) is the seventh term. In a geometric progression, multiply by the same ratio each time.
यहाँ n=5 रखने पर a_5=2(5)2+3(5)=2×25+15=50+15=65 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 65 है। 60 जैसी त्रुटि प्रायः वर्ग या गुणन के गलत मान से होती है। परीक्षा टिप: पहले n का मान लिखें, फिर घात, गुणन और अंत में जोड़ कीजिए। / Substitute n=5: a_5=2(5)2+3(5)=2×25+15=50+15=65. Therefore, 65 is the correct answer. An answer such as 60 usually results from an error in evaluating the square or multiplication. Exam tip: substitute the value first, then apply powers, multiplication, and addition in order.
पहला पद (40) और अंतर (-5) है, इसलिए (a_n=40+(n-1)(-5)=45-5n)। घटती श्रेढ़ी में अंतर को ऋणात्मक लें। / The first term is (40) and the difference is (-5), so (a_n=40+(n-1)(-5)=45-5n). In a decreasing sequence, take the difference as negative.
दिया है \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\)। \(n=10\) रखने पर \(a_{10}=\frac{10^2+10}{2}=\frac{100+10}{2}=\frac{110}{2}=55\)। इसलिए सही उत्तर 55 है। 50 प्राप्त करना एक सामान्य त्रुटि है, जो \(10^2\) का मान गलत लेने या अंश को सही ढंग से न जोड़ने पर हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात, जोड़ और भाग के क्रम में गणना करें। / Given \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\). Substituting \(n=10\), \(a_{10}=\frac{10^2+10}{2}=\frac{100+10}{2}=\frac{110}{2}=55\). Hence, the correct answer is 55. Getting 50 is a common error caused by evaluating \(10^2\) incorrectly or not adding the numerator correctly. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the power, addition, and division in order.
दिया है \(a_n=5\cdot2^{n-1}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=5\cdot2^{6-1}=5\cdot2^5=5\cdot32=160\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(80\) तब मिलता जब घात \(4\) ली जाती, जबकि यहाँ घात \(n-1=5\) है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का मान सावधानी से रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=5\cdot2^{n-1}\), substitute \(n=6\): \(a_6=5\cdot2^{6-1}=5\cdot2^5=5\cdot32=160\). Hence, option C is correct. \(80\) would result from using exponent \(4\), but here \(n-1=5\). Exam tip: In an nth-term formula, substitute the value of \(n\) first and then evaluate the exponent carefully.
