What is the (n)th term of the sequence (3,12,27,48,\ldots)?अनुक्रम (3,12,27,48,\ldots) का (n)वाँ पद कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (3n^2)(3n^2)
The sequence follows a square-number pattern multiplied by 3. The first term is \(3\times1^2\), the second is \(3\times2^2\), the third is \(3\times3^2\), and the fourth is \(3\times4^2\). The differences are 9, 15, and 21, so this is not an arithmetic sequence with a constant difference; the square pattern is the useful observation.
Therefore, the nth term is \(a_n=3n^2\). Substitution verifies every displayed term: \(3(1)^2=3\), \(3(2)^2=12\), \(3(3)^2=27\), and \(3(4)^2=48\). Hence option A is correct. A formula such as \(3n+9\) is linear and cannot produce these values for all positions, even if it may match one term by chance.यह अनुक्रम वर्ग संख्याओं को 3 से गुणा करने के पैटर्न पर आधारित है। पहला पद \(3\times1^2\), दूसरा \(3\times2^2\), तीसरा \(3\times3^2\) और चौथा \(3\times4^2\) है। इसके अंतर 9, 15 और 21 हैं, इसलिए यह समान अंतर वाली समानांतर श्रेणी नहीं है। यहाँ वर्ग वाला नियम पहचानना आवश्यक है।
अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=3n^2\) होगा। जाँच करने पर \(3(1)^2=3\), \(3(2)^2=12\), \(3(3)^2=27\) और \(3(4)^2=48\) मिलते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। \(3n+9\) जैसे रैखिक सूत्र से सभी स्थानों के ये पद नहीं मिल सकते, भले ही वह संयोग से किसी एक पद से मेल खा जाए।
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