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विकल्प A में क्रमिक अनुपात \(6/(-3)=-2\), \((-12)/6=-2\) और \(24/(-12)=-2\) हैं, इसलिए यह GP है। विकल्प C में अनुपात बदलते हैं। परीक्षा में लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In option A, the successive ratios are \(6/(-3)=-2\), \((-12)/6=-2\), and \(24/(-12)=-2\), so it is a GP. In option C, the ratios change. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
यहाँ प्रथम पद \(a=20\), सार्व अनुपात \(r=2\) और \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\)। इसलिए सही उत्तर 5100 है। 5120 प्राप्त होना सामान्यतः \(2^8-1\) के स्थान पर \(2^8\) लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर हर \(r-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=20\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\). Therefore, 5100 is correct. The nearby answer 5120 can result from using \(2^8\) instead of \(2^8-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), always include the denominator \(r-1\).
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\)। इसलिए सही उत्तर \(384\) है। \(-384\) तब आता यदि \(-2\) की विषम घात होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अनुपात में घात सम है या विषम, यह अवश्य जाँचें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\). Therefore, \(384\) is correct. \(-384\) would result if the power of \(-2\) were odd. Exam tip: With a negative common ratio, always check whether the exponent is even or odd.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद
\(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(416=13r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(13\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 416 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद लिखते समय घात \(n-1\) रखें। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(416=13r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(13\times3^5\) is not 416. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
B. प्रत्येक n के लिए, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) हो/For every n, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B में \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) होने पर \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\) मिलता है, इसलिए अनुपात नियत है। विकल्प A समानांतर प्रगति की शर्त है। परीक्षा में लगातार तीन पदों का गुणन संबंध जाँचें। / In B, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) gives \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\), so the common ratio is fixed. Option A indicates an AP, not a GP. Exam tip: test this product relation for consecutive triples.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(1458=2r^6\), इसलिए \(r^6=729=3^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। विकल्प 2 लेने पर \(2\times2^6=128\) आता है, जो 1458 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(1458=2r^6\), so \(r^6=729=3^6\). Since \(r\) is specified as positive, \(r=3\). For example, choosing 2 gives \(2\times2^6=128\), not 1458. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent is always \(n-1\).
विकल्प A में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर \(-\frac{1}{2}\) मिलता है: \(-8/16=4/-8=-2/4\)। अतः यह ऋणात्मक सार्व अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अनुपात समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार दो अनुपात अवश्य जाँचें। / In option A, each term is obtained by multiplying the preceding term by \(-\frac{1}{2}\): \(-8/16=4/-8=-2/4\). Hence it is a GP with a negative common ratio. In option B, the ratios are not constant. Exam tip: check at least two consecutive ratios.
गुणोत्तर श्रेणी में पाँचवाँ पद
\(a_5=ar^4\) होता है। अतः \(2304=9r^4\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=4\)। विकल्प 3 सही नहीं है, क्योंकि \(9\times3^4=729\), 2304 नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) लिखकर घात सावधानी से चुनें। / For a geometric progression, the fifth term is \(a_5=ar^4\). Thus, \(2304=9r^4\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is positive, \(r=4\). Option 3 is not correct because \(9\times3^4=729\), not 2304. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) and check the exponent carefully.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\)। \(r=-2\) भी छठी घात देने पर 64 देता, लेकिन धनात्मक शर्त के कारण वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also has sixth power 64, it is excluded by the positive condition. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
A. प्रत्येक क्रमागत पदों के युग्म का अनुपात समान हो/The ratio of every pair of consecutive terms is the same
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) प्रत्येक क्रमागत पद-युग्म के लिए नियत रहता है। समान अंतर वाली शर्त अंकगणितीय श्रेणी की है। परीक्षा में अंतर नहीं, अनुपात जाँचें। / In a GP,
\(r=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) remains constant for every consecutive pair. A constant difference instead identifies an AP. Exam tip: compare ratios, not differences.
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=4(-3)^{5-1}=4(-3)^4=4\times81=324\)। इसलिए सही उत्तर \(324\) है। \(-324\) तब प्राप्त होता जब \(-3\) की घात विषम होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सार्व अनुपात में घात सम है या विषम, यह पहले जाँचें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=4(-3)^{5-1}=4(-3)^4=4\times81=324\). Hence, \(324\) is correct. \(-324\) would result only if the power of \(-3\) were odd. Exam tip: with a negative common ratio, first check whether the exponent is even or odd.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(352=11r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(11\times3^5\), 352 नहीं होता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) लिखना न भूलें। / In a GP, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(352=11r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). Taking \(r=3\) would give \(11\times3^5\), not 352. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), remember that the exponent is \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=9r^4=2304\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=4\) होगा। \(r=2\) लेने पर \(9\times2^4=144\) मिलता है, जो 2304 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(5-1=4\) लिखें। / The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_5=9r^4=2304\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=4\). If \(r=2\), then \(9\times2^4=144\), not 2304. Exam tip: for the fifth term, use the exponent \(5-1=4\).
A. प्रत्येक n के लिए \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) का मान एक ही स्थिरांक हो/\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) has the same constant value for every n
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार दो पदों का अनुपात स्थिर होता है, अर्थात \(a_{n+1}/a_n=r\)। विकल्प B स्थिर अंतर बताता है, जो समान्तर श्रेणी की पहचान है। परीक्षा में अंतर नहीं, अनुपात जाँचें। / In a GP, the ratio of consecutive terms remains fixed: \(a_{n+1}/a_n=r\). Option B describes a constant difference, which identifies an AP. Exam tip: check ratios, not differences, to identify a GP.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा; \(-2\) भी छठी घात पर 64 देता है, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\); although \(-2\) also has sixth power 64, it is not positive. Exam tip: the exponent of \(r\) in the \(n\)th term is \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही स्थिर अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में \(18/6=3\) और \(54/18=3\) है, इसलिए इसका सार्व अनुपात 3 है और यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प A में अनुपात 2 और \(5/2\) हैं, इसलिए वह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पद \(a,b,c\) हों तो जाँचें कि \(b/a=c/b\) है या नहीं। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the same constant ratio. In option B, \(18/6=3\) and \(54/18=3\), so the common ratio is 3 and the terms form a GP. In option A, the ratios are 2 and \(5/2\), so it is not a GP. Exam tip: for three terms \(a,b,c\), check whether \(b/a=c/b\).
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=8\left(\frac{3}{2}\right)^{4-1}=8\times\frac{27}{8}=27\)। विकल्प 36 तब मिल सकता है जब अनुपात की घात या गुणन को गलत किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=8\left(\frac{3}{2}\right)^{4-1}=8\times\frac{27}{8}=27\). Option 36 may result from using an incorrect power of the common ratio or multiplying incorrectly. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\), not \(n\).
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_3=11\times3^2=99\) तथा \(a_5=11\times3^4=891\)। इसलिए \(a_3+a_5=99+891=990\)। 1000 जैसे विकल्प गलत हैं क्योंकि वे पदों की घातों के अनुसार गणना से नहीं मिलते। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_3=11\times3^2=99\) and \(a_5=11\times3^4=891\). Hence, \(a_3+a_5=99+891=990\). Options such as 1000 do not follow from calculating the terms with the required powers of the common ratio. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ दूसरा अनुपात \(\frac{48}{12}=4\) है। अतः \(\frac{12}{x}=4\), जिससे \(x=3\) प्राप्त होता है। \(x=4\) लेने पर अनुपात \(3\) और \(4\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार गुणोत्तर पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) का उपयोग भी किया जा सकता है। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, \(\frac{48}{12}=4\). Therefore, \(\frac{12}{x}=4\), which gives \(x=3\). If \(x=4\), the two ratios would be \(3\) and \(4\), so the terms would not form a GP. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), you may also use \(b^2=ac\).
गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=9r^3=72\), इसलिए \(r^3=8\) और धनात्मक \(r=2\) होगा। विकल्प 8, \(r^3\) का मान है, स्वयं \(r\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=9r^3=72\), so \(r^3=8\) and the positive value of \(r\) is 2. Option 8 is the value of \(r^3\), not of \(r\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
B. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) सभी संगत \(n\) के लिए नियत है
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर समान अनुपात मिलता है, अर्थात \(a_{n+1}/a_n=r\)। विकल्प A समान अंतर वाली अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार दो अनुपातों की तुलना करें। / In a GP, dividing each term by its preceding term gives the same common ratio: \(a_{n+1}/a_n=r\). Option A describes an arithmetic progression with a constant difference. Exam tip: compare ratios of consecutive terms, not differences.
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_m r^{n-m}\) होता है। इसलिए \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\)। ध्यान रखें कि \(a_4=6\) है, इसलिए 6 निकटतम distractor है; \(a_5\) के लिए तीन बार अनुपात से गुणा करना होगा। / For a geometric progression, \(a_n=a_m r^{n-m}\). Hence, \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\). Note that \(a_4=6\), so 6 is a close distractor; to reach \(a_5\) from \(a_2\), multiply by the common ratio three times.
D. निर्धारित नहीं किया जा सकता/Cannot be determined uniquely
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_4=a_2r^2\) होता है। अतः \(54=6r^2\), इसलिए \(r^2=9\) और \(r=3\) या \(r=-3\) हो सकता है। \(r=3\) पर \(a_1=2\), \(a_5=162\), इसलिए योग \(164\) है। लेकिन \(r=-3\) पर \(a_1=-2\), \(a_5=-162\), इसलिए योग \(-164\) है। इसलिए दिए गए तथ्यों से एक ही मान निर्धारित नहीं होता। परीक्षा टिप: \(r^2\) से \(r\) निकालते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूलों की जाँच करें। / In a GP, \(a_4=a_2r^2\). Thus, \(54=6r^2\), so \(r^2=9\) and \(r\) can be \(3\) or \(-3\). For \(r=3\), \(a_1=2\) and \(a_5=162\), giving \(164\). However, for \(r=-3\), \(a_1=-2\) and \(a_5=-162\), giving \(-164\). Therefore, the information given does not determine a unique value. Exam tip: when finding \(r\) from \(r^2\), check both positive and negative roots.
ज्यामितीय श्रेणी में \(a_7=a_3r^{7-3}=a_3r^4\)। अतः \(3645=45r^4\), इसलिए \(r^4=81\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=3\) होगा। \(r=-3\) भी \(r^4=81\) को संतुष्ट करता है, लेकिन धनात्मक होने की शर्त के कारण वह स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: दो पदों के बीच घात हमेशा उनके पदांक का अंतर होती है। / In a geometric progression, \(a_7=a_3r^{7-3}=a_3r^4\). Thus, \(3645=45r^4\), giving \(r^4=81\). Since \(r\) is positive, \(r=3\). Although \(r=-3\) also satisfies \(r^4=81\), it is excluded by the given positive condition. Exam tip: the exponent of the common ratio equals the difference between the term numbers.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 6 और सार्व अनुपात 3 है। अतः \(a_3=6\times 3^2=54\) तथा \(a_5=6\times 3^4=486\)। इसलिए \(a_5-a_3=486-54=432\)। विकल्प 486 केवल पाँचवाँ पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करके आवश्यक पद निकालें। / The first term of this GP is 6 and the common ratio is 3. Thus, \(a_3=6\times 3^2=54\) and \(a_5=6\times 3^4=486\). Therefore, \(a_5-a_3=486-54=432\). Option 486 is only the fifth term, not the required difference. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the required terms of a GP.
गुणोत्तर श्रेणी में \(b=ar\) और \(c=br\) होता है। अतः \(b^2=(ar)^2=a(br)=ac\)। उलटे, \(b^2=ac\) से \(b/a=c/b\) मिलता है। परीक्षा टिप: मध्य पद का वर्ग = सिरों के पदों का गुणनफल। / In a GP, \(b=ar\) and \(c=br\), so \(b^2=(ar)^2=a(br)=ac\). Conversely, \(b^2=ac\) gives \(b/a=c/b\). Exam tip: the square of the middle term equals the product of the extreme terms.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=\frac{3}{2}\times4^{5-1}=\frac{3}{2}\times4^4=\frac{3}{2}\times256=384\)। इसलिए सही उत्तर 384 है। विकल्प 192 में \(4^4\) का सही मान लेने पर भी \(\frac{3}{2}\) से गुणा सही नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=\frac{3}{2}\times4^{5-1}=\frac{3}{2}\times4^4=\frac{3}{2}\times256=384\). Hence, 384 is correct. Option 192 results from an incorrect multiplication involving the first term \(\frac{3}{2}\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\), not \(n\).
दिया गया पद \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। अतः \(a_3=48\left(\frac{1}{2}\right)^2=12\) और \(a_5=48\left(\frac{1}{2}\right)^4=3\)। इसलिए \(a_3+a_5=12+3=15\)। विकल्प 18 तब मिलता है जब घात या पद-संख्या का गलत प्रयोग किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(n\) रखने के बाद घात \(n-1\) अवश्य लिखें। / Using \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_3=48\left(\frac{1}{2}\right)^2=12\) and \(a_5=48\left(\frac{1}{2}\right)^4=3\). Hence, \(a_3+a_5=12+3=15\). The option 18 can result from using an incorrect exponent or term number. Exam tip: after substituting \(n\), always use the exponent \(n-1\).
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(243=3r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(243=3r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). When positive ratio is asked, take the positive root.
अनुक्रम 3, 6, 12, 24 में क्रमागत पदों के अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 हैं, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर बदलते हैं। परीक्षा टिप: GP पहचानने के लिए क्रमागत पदों के अनुपात बराबर जाँचें। / In 3, 6, 12, 24, the ratios of consecutive terms are 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2, so it is a geometric progression. In option B, the differences change. Exam tip: identify a GP by checking equal consecutive ratios.
