Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणोत्तर श्रेणी में चौथे पद से सातवें पद तक 3 स्थानों का अंतर है, इसलिए \(a_7=a_4r^3\)। अतः \(1458=54r^3\), जिससे \(r^3=27\) और \(r=3\)। विकल्प 6 लेने पर \(54\times6^3\) 1458 नहीं होगा। परीक्षा टिप: दो पदों \(a_m\) और \(a_n\) के लिए \(a_n=a_mr^{n-m}\) का प्रयोग करें। / From the fourth term to the seventh term, the position gap is 3, so \(a_7=a_4r^3\). Thus, \(1458=54r^3\), giving \(r^3=27\) and hence \(r=3\). If the ratio were 6, then \(54\times6^3\) would not equal 1458. Exam tip: for two terms \(a_m\) and \(a_n\), use \(a_n=a_mr^{n-m}\).
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद \(a_6=ar^5\) होता है। अतः \(224=7r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(7\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 224 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^5\). Thus, \(224=7r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(7\times3^5\) is obtained, not 224. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत अनुपात समान होते हैं। \(q^2=pr\) से \(q/p=r/q\) और \(r^2=qs\) से \(r/q=s/r\) मिलता है; अतः सभी अनुपात बराबर हैं। परीक्षा में गैर-शून्य पद होने पर ही भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal. From \(q^2=pr\), \(q/p=r/q\); from \(r^2=qs\), \(r/q=s/r\). Hence all ratios are equal. Exam tip: divide only after confirming that the terms are non-zero.
A. यह गुणोत्तर श्रेणी है/It is a geometric progression
Explanation
Simple Explanation
शर्त को \(a_{n-1}a_n\) से भाग देने पर \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) मिलता है। अतः क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। परीक्षा में शून्येतर पदों की शर्त अवश्य जाँचें। / Dividing the condition by \(a_{n-1}a_n\) gives \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Thus, consecutive terms have a constant ratio, so it is a GP. Exam tip: check the non-zero condition before dividing.
एक संयंत्र में पहले दिन 160 इकाइयों का उत्पादन होता है और प्रत्येक अगले दिन उत्पादन पिछले दिन का \(\frac{3}{2}\) गुना हो जाता है। एक विद्यार्थी ने पहले चार दिनों का कुल उत्पादन 1120 बताया, क्योंकि उसने प्रतिदिन 160 इकाइयाँ जोड़ दीं। सही निष्कर्ष कौन-सा है?
C. विद्यार्थी ने गुणोत्तर श्रेणी को समांतर श्रेणी समझ लिया; सही कुल उत्पादन 1300 इकाइयाँ है।/The student treated a geometric progression as an arithmetic progression; the correct total production is 1300 units.
Explanation
Simple Explanation
उत्पादन क्रमशः 160, 240, 360 और 540 है; इसलिए योग \(160+240+360+540=1300\) है। 1120 में 160 का स्थिर अंतर माना गया है, जो AP की गलती है। परीक्षा में पहले समान अनुपात जाँचें। / The outputs are 160, 240, 360 and 540, so \(160+240+360+540=1300\). The total 1120 assumes a fixed increase of 160, which is arithmetic progression reasoning. Exam tip: verify the common ratio first.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(192=3r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^6\), 192 नहीं होता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / For a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Hence, \(192=3r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^6\) is not 192. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद
a_n=ar^{n-1} होता है। अतः
_6=4r-5=972, इसलिए r-5=243=35। चूँकि r धनात्मक है, इसलिए r=3। विकल्प 2 लेने पर छठा पद 128 होगा, 972 नहीं। परीक्षा टिप: छठे पद में घात r-5 होती है, r-6 नहीं। / The nth term of a GP is
a_n=ar^{n-1}. Thus,
_6=4r-5=972, so r-5=243=35. Since r is positive, r=3. If r=2, the sixth term would be 128, not 972. Exam tip: for the sixth term, the exponent of r is 5, not 6.
B. क्रमागत पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं/The signs of consecutive terms alternate
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। ऋणात्मक अनुपात से गुणा करने पर चिह्न बदलता है; जैसे 3, −6, 12, −24। परीक्षा में अनुपात के चिह्न को अवश्य देखें। / In a GP, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Multiplication by a negative ratio reverses the sign, as in 3, −6, 12, −24. Exam tip: always check the sign of the ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(486=6r^4\), इसलिए \(r^4=81\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। उदाहरण के लिए, \(r=2\) लेने पर पाँचवाँ पद \(6\times2^4=96\) आता है, जो 486 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(4\) होती है, क्योंकि घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(486=6r^4\), so \(r^4=81\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=3\). For example, if \(r=2\), the fifth term would be \(6\times2^4=96\), not 486. Exam tip: for the fifth term, the power of \(r\) is \(4\), because the exponent is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद
\(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(7290\) सही नहीं है क्योंकि यह \(5\times3^7\) का मान नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, इसलिए आठवें पद के लिए \(r^7\) लें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Hence, \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\). Therefore, option C is correct. \(7290\) is not correct because it is not the value of \(5\times3^7\). Exam tip: the exponent of the common ratio in the nth term is always \(n-1\); for the eighth term, use \(r^7\).
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(a_n=3\times4^{n-1}\)। \(3\times4^{n-1}=768\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि चौथा पद \(192\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=ar^{n-1}\) सूत्र लगाकर पद की स्थिति ज्ञात करें। / This is a geometric progression with first term \(a=3\) and common ratio \(r=4\). Therefore, \(a_n=3\times4^{n-1}\). From \(3\times4^{n-1}=768\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). Option 4 is incorrect because the fourth term is \(192\). Exam tip: Use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the position of a term in a GP.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(150=6r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(150=6r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(320=40r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(320=40r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\)। \(\frac{7}{2}\) केवल दूसरा पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, the nth term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\). \(\frac{7}{2}\) is only the second term, so it is not correct. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
\(2,12,72,432,\ldots\) में हर बार (6) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,12,72,432,\ldots\), each term is multiplied by (6). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=6\) और सार्व अनुपात \(r=18/6=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\)। 729 प्राप्त करने पर घात या पद-संख्या की गणना में त्रुटि हुई होगी। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this GP, the first term is \(a=6\) and the common ratio is \(r=18/6=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\). Getting 729 usually results from using an incorrect power or term number. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(\frac{100}{20}=5\) है। अतः \(\frac{20}{x}=5\), इसलिए \(x=\frac{20}{5}=4\)। विकल्प 5 सामान्य अनुपात है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) का भी उपयोग कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, the common ratio is \(\frac{100}{20}=5\). Hence \(\frac{20}{x}=5\), so \(x=\frac{20}{5}=4\). Option 5 is the common ratio, not the first term. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), you may also use \(b^2=ac\).
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(1024=16r^3\) और \(r^3=64\), अतः (r=4)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(1024=16r^3\) and \(r^3=64\), hence (r=4). The gap between positions decides the exponent.
\(2, 6, 18, 54\) में क्रमागत अनुपात \(6/2=3\), \(18/6=3\) और \(54/18=3\) है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प C में अंतर 4, 6, 6 हैं; अनुपात स्थिर नहीं है। परीक्षा टिप: GP में हर क्रमागत अनुपात जाँचें। / In \(2, 6, 18, 54\), the consecutive ratios are \(6/2=3\), \(18/6=3\), and \(54/18=3\), so it is a GP. In option C, the ratios are not constant. Exam tip: verify the ratio of every pair of consecutive terms.
\(81,27,9,3,\ldots\) में \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(81,27,9,3,\ldots\), \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
विकल्प A में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर \(-4/2=-2\), \(8/(-4)=-2\) और \((-16)/8=-2\) मिलता है। इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। B में अनुपात बदलता है। परीक्षा में अंतर नहीं, क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें। / In option A, consecutive ratios are \(-4/2=-2\), \(8/(-4)=-2\), and \((-16)/8=-2\). Hence it is a GP. In B, the ratios change. Exam tip: check successive ratios, not successive differences.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=3r^3=81\), इसलिए \(r^3=27\)। धनात्मक अनुपात के लिए \(r=3\) मिलता है। \(r=9\) लेने पर चौथा पद \(3\times9^3\) होगा, जो 81 नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=3r^3=81\), so \(r^3=27\). Since the common ratio is positive, \(r=3\). If \(r=9\), the fourth term would be \(3\times9^3\), not 81. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(28=a_1\times4\), इसलिए \(a_1=28\div4=7\)। \(112\) पाने के लिए 28 को 4 से गुणा किया जाता है, जो अगले पद \(a_3\) के लिए होगा, पहले पद के लिए नहीं। परीक्षा टिप: किसी पिछले पद को ज्ञात करने के लिए सामान्य अनुपात से भाग करें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(28=a_1\times4\), so \(a_1=28\div4=7\). Multiplying 28 by 4 gives 112, which would be the next term \(a_3\), not the first term. Exam tip: To find a previous term in a GP, divide by the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में सार्व अनुपात ज्ञात करने के लिए किसी पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग देते हैं। यहाँ \(r=\frac{-14}{7}=-2\)। जाँच करें: \(\frac{28}{-14}=-2\) और \(\frac{-56}{28}=-2\), इसलिए सार्व अनुपात \(-2\) है। \(2\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह पदों के बदलते हुए चिह्नों को नहीं समझाता। परीक्षा टिप: सार्व अनुपात में पदों के चिह्न अवश्य शामिल करें। / In a geometric progression, the common ratio is found by dividing any term by the preceding term. Here, \(r=\frac{-14}{7}=-2\). This is confirmed by \(\frac{28}{-14}=-2\) and \(\frac{-56}{28}=-2\), so the common ratio is \(-2\). Option 2 is a close distractor, but it does not account for the alternating signs of the terms. Exam tip: Always include the sign when calculating a common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी का तीसरा पद \(a_3=a_1r^{3-1}\) होता है। अतः \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\)। 72 तब मिलता यदि अनुपात को केवल एक बार लगाया जाता, जो दूसरा पद देता है। परीक्षा टिप: GP में \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=a_1r^{n-1}\) लिखें। / The third term of a GP is \(a_3=a_1r^{3-1}\). Therefore, \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\). The value 72 would result from applying the ratio only once, which gives the second term. Exam tip: use \(a_n=a_1r^{n-1}\) to find the \(n\)th term of a GP.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_3=7\times5^{3-1}=7\times25=175\) होगा। 35 केवल दूसरा पद है, क्योंकि \(a_2=7\times5\) होता है। परीक्षा टिप: तीसरे पद के लिए सामान्य पद के सूत्र में \(r^2\) लगाएँ। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_3=7\times5^{3-1}=7\times25=175\). The value 35 is only the second term, since \(a_2=7\times5\). Exam tip: for the third term, use \(r^2\) in the general-term formula.
A. प्रत्येक पद पिछले पद को एक ही नियत संख्या से गुणा करके प्राप्त होता है/Each term is obtained by multiplying the preceding term by the same fixed number.
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद का नियत गुणज होता है; यही नियत संख्या सामान्य अनुपात है। जाँच के लिए दो क्रमागत अनुपात मिलाइए। समान अंतर वाला विकल्प समांतर श्रेणी का गुण है। / In a GP, every term is a fixed multiple of the preceding term; this fixed number is the common ratio. Compare two successive ratios to check it. Equal differences describe an arithmetic progression, not a GP.
B. क्रमागत पदों का अनुपात समान रहता है/The ratio of consecutive terms remains the same
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद को एक नियत संख्या से गुणा करके मिलता है, इसलिए क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है। जैसे 2, 6, 18 में 6/2 = 18/6 = 3। समान अंतर होना समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by a fixed number, so consecutive-term ratios are equal. For 2, 6, 18, 6/2 = 18/6 = 3. Equal differences identify an arithmetic progression. In exams, check ratios first.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=3\)। सार्व अनुपात \(r\) किसी पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग देकर मिलता है: \(r=\frac{18}{3}=6\)। जाँच करें: \(18\times6=108\) और \(108\times6=648\)। इसलिए सही उत्तर \(a=3,\ r=6\) है। विकल्प D में \(r\) सही है, लेकिन 18 पहला पद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद को \(a\) और लगातार दो पदों के भागफल को \(r\) मानें। / In a geometric progression, the first term is \(a\), so \(a=3\). The common ratio \(r\) is found by dividing a term by the preceding term: \(r=\frac{18}{3}=6\). Checking, \(18\times6=108\) and \(108\times6=648\). Hence, \(a=3,\ r=6\). In option D, the ratio is correct, but 18 is not the first term. Exam tip: identify the first term as \(a\), then divide consecutive terms to find \(r\).
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद a होता है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात r से गुणा करके मिलता है। यहाँ a = 4 तथा r = 7 है: 4, 4×7 = 28, 28×7 = 196, 196×7 = 1372। अतः सही क्रम (4, 28, 196, 1372) है। विकल्प A में 7 को दूसरा पद मान लिया गया है, जबकि 7 सार्व अनुपात है। परीक्षा टिप: पहले पद को a लिखें, फिर प्रत्येक पद को r से गुणा करें। / In a geometric progression, the first term is a, and each successive term is found by multiplying the preceding term by the common ratio r. Here, a = 4 and r = 7: 4, 4×7 = 28, 28×7 = 196, and 196×7 = 1372. Therefore, (4, 28, 196, 1372) is correct. Option A incorrectly treats 7 as the second term; it is the common ratio. Exam tip: write a first, then multiply each term by r.
