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गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर एक ही अनुपात मिलता है। विकल्प A में \(6/3=12/6=24/12=2\) है, इसलिए यह GP है। विकल्प B में अंतर समान है, अनुपात नहीं। परीक्षा में लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term remains constant. In option A, \(6/3=12/6=24/12=2\), so it is a GP. Option B has a constant difference, not a ratio. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
C. क्रमागत पदों के अनुपात समान नहीं हैं/Ratios of consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद और उसके ठीक पहले वाले पद का अनुपात स्थिर होना चाहिए। यहाँ \(6\div2=3\), लेकिन \(12\div6=2\) और \(20\div12=\frac{5}{3}\) हैं। अनुपात अलग-अलग हैं, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है। पदों का बढ़ना या सम होना गुणोत्तर श्रेणी होने की शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों के अनुपात निकालकर उनकी समानता जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term must remain constant. Here, \(6\div2=3\), but \(12\div6=2\) and \(20\div12=\frac{5}{3}\). Since these ratios differ, the sequence is not a geometric progression. Increasing terms or even terms do not make a sequence a GP. Exam tip: calculate ratios of consecutive terms and check whether they are equal.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(75=3r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(75=3r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(810=30r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(810=30r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 3, 6, 12, 24, 48 हैं, अतः उनका योग 93 है। सूत्र से भी, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\)। 90 केवल पहले चार पदों का योग है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या के अनुसार अंतिम पद तक श्रेणी लिखकर जाँच करें। / The first term of this GP is 3 and its common ratio is 2. Its first five terms are 3, 6, 12, 24, and 48, whose sum is 93. Using the formula, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\). The value 90 is the sum of only the first four terms. Exam tip: List the required number of terms before adding to avoid missing the last term.
ज्यामितीय श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=\frac{5}{8}\times 2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\)। विकल्प 8 तब मिलता यदि घात या गुणन की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=\frac{5}{8}\times2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\). Option 8 can result from an incorrect use of the exponent or multiplication. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\), not \(n\).
\(3,12,48,192,\ldots\) में हर बार (4) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(3,12,48,192,\ldots\), each term is multiplied by (4). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{20}{5}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है, इसलिए \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\)। 2560 प्राप्त करने में अनुपात 4 को एक बार अधिक गुणा किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=5\) and the common ratio is \(r=\frac{20}{5}=4\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\). Getting 2560 would mean multiplying by the ratio 4 one extra time. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{54}{18}=3\) है। अतः \(\frac{18}{x}=3\), इसलिए \(x=\frac{18}{3}=6\)। विकल्प 9 लेने पर अनुपात \(\frac{18}{9}=2\) और \(\frac{54}{18}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) भी उपयोग कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, \(r=\frac{54}{18}=3\). Therefore, \(\frac{18}{x}=3\), giving \(x=\frac{18}{3}=6\). If 9 were used, the ratios would be \(\frac{18}{9}=2\) and \(\frac{54}{18}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\).
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(324=12r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(324=12r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। पहले 5 पद हैं: 2, 6, 18, 54, 162। इनका योग 2+6+18+54+162=242 है। अतः सही उत्तर 242 है। विकल्प 200 सही नहीं है, क्योंकि वह इन पाँचों पदों के वास्तविक योग के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी के लिए \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), का प्रयोग भी किया जा सकता है। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 3. Its first 5 terms are 2, 6, 18, 54, and 162. Their sum is 2+6+18+54+162=242. Therefore, 242 is the correct answer. Option 200 is incorrect because it is not the sum of these five terms. Exam tip: You may also use \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) when \(r\ne1\).
\(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\) में \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\), \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(162=2r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। पद-संख्या का अंतर घात तय करता है। / \(a_5=a_1r^4\), so \(162=2r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). The position gap decides the exponent.
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(21=a_1\times 3\), इसलिए \(a_1=21\div 3=7\)। विकल्प 9 लेने पर दूसरा पद \(9\times 3=27\) आता है, जो दिया गया नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद पर जाने के लिए दिए गए पद को सामान्य अनुपात से भाग दें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(21=a_1\times 3\), so \(a_1=21\div 3=7\). If 9 were the first term, the second term would be \(9\times 3=27\), not 21. Exam tip: To move back one term in a GP, divide by the common ratio.
गुणोत्तर अनुक्रम में सार्व अनुपात क्रमागत पदों का भागफल होता है। यहाँ \(r=\frac{-12}{4}=-3\) है। जाँच करें: \(\frac{36}{-12}=-3\) और \(\frac{-108}{36}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(3\) निकटतम भ्रमक है, लेकिन उससे पदों के चिह्न बारी-बारी से नहीं बदलेंगे। परीक्षा टिप: किसी भी दो क्रमागत पदों का भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the common ratio is the quotient of consecutive terms. Here, \(r=\frac{-12}{4}=-3\). Checking further, \(\frac{36}{-12}=-3\) and \(\frac{-108}{36}=-3\). Hence, the correct answer is \(-3\). The closest distractor is \(3\), but a positive ratio would not make the signs alternate. Exam tip: divide any term by its preceding term to verify the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके प्राप्त होता है। अतः दूसरा पद \(4\times5=20\) और तीसरा पद \(20\times5=100\) होगा। इसलिए सही उत्तर 100 है। 40 केवल \(4\times5\times2\) जैसा गलत गुणन है, जबकि तीसरे पद के लिए अनुपात का दो बार प्रयोग होता है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Thus, the second term is \(4\times5=20\), and the third term is \(20\times5=100\). Therefore, the correct answer is 100. The ratio must be applied twice to reach the third term. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) for the \(n\)th term.
सार्व अनुपात \(\frac{15}{5}=3\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद पिछले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{15}{5}=3\). In a geometric progression divide the next term by the previous term.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर एक ही अनुपात मिलता है। विकल्प A में 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर समान है, अतः वह समांतर श्रेणी है। परीक्षा टिप: लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term remains constant. In option A, 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2, so it is a GP. Option B has a constant difference, so it is an AP. Exam tip: check ratios of consecutive terms.
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=42/14=3\) है। दिए गए पदों में \(378\) चौथा पद है, इसलिए \(a_5=378\times 3=1134\)। \(945\) सही नहीं है क्योंकि वह पिछले पद को 3 से गुणा करने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले पदों की गिनती करके अंतिम दिए गए पद से सार्व अनुपात गुणा करें। / The common ratio of this GP is \(r=42/14=3\). Here, \(378\) is the fourth term, so \(a_5=378\times 3=1134\). \(945\) is not correct because it is not obtained by multiplying the previous term by 3. Exam tip: count the given terms first, then multiply the last given term by the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में सामान्य अनुपात क्रमागत पदों का अनुपात होता है। अतः \(r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{32}{8}=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। 8 पहला पद है, सामान्य अनुपात नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य अनुपात ज्ञात करने के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, the common ratio is the ratio of consecutive terms. Thus, \(r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{32}{8}=4\). Therefore, 4 is correct. The number 8 is the first term, not the common ratio. Exam tip: divide the second term by the first term to find the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही नियत अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 है। विकल्प A और D समानांतर श्रेणियाँ हैं, क्योंकि उनका अंतर नियत है। परीक्षा टिप: लगातार पदों का भाग लेकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the same constant ratio. In option B, 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2. Options A and D are arithmetic progressions because their common difference is constant. Exam tip: divide consecutive terms to check the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=2\)। सार्व अनुपात \(r\) क्रमागत पदों का भागफल होता है: \(r=\frac{10}{2}=5\)। जाँच के लिए \(50\div10=5\) और \(250\div50=5\) भी मिलता है। विकल्प D में अनुपात सही है, लेकिन पहला पद 10 नहीं, 2 है। परीक्षा टिप: \(a\) के लिए पहला पद और \(r\) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, \(a\) is the first term, so \(a=2\). The common ratio \(r\) is the quotient of consecutive terms: \(r=\frac{10}{2}=5\). This is confirmed by \(50\div10=5\) and \(250\div50=5\). In option D, the ratio is correct, but the first term is 2, not 10. Exam tip: identify \(a\) from the first term and find \(r\) by dividing the second term by the first.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ पहला पद 3 है और r = 6 है: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, 108×6 = 648। इसलिए सही क्रम (3, 18, 108, 648) है। विकल्प A में 6 से नहीं, 2 से गुणा किया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद a को लिखकर हर अगले पद के लिए r से गुणा करें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the common ratio. Here, the first term is 3 and r = 6: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, and 108×6 = 648. Therefore, (3, 18, 108, 648) is correct. In option A, the terms are multiplied by 2, not by 6. Exam tip: Write the first term first, then multiply each successive term by r.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(T_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः चौथा पद \(T_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\) है। 45 तीसरा पद है, क्योंकि \(5\times3^2=45\)। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए घात \(4-1=3\) लें। / The nth term of a geometric progression is \(T_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(T_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\). The value 45 is the third term because \(5\times3^2=45\). Exam tip: for the fourth term, use the exponent \(4-1=3\).
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 4 है। इसका सामान्य पद \(a_n=4^{n-1}\) होगा। \(4^{n-1}=256=4^4\) से \(n-1=4\), अतः \(n=5\)। 4 घात है, पद-संख्या नहीं; क्योंकि पहला पद \(4^0\) है। परीक्षा टिप: यदि श्रेणी 1 से शुरू हो, तो घात में 1 जोड़कर पद-संख्या प्राप्त करें। / This is a geometric progression with first term 1 and common ratio 4. Its nth term is \(a_n=4^{n-1}\). Since \(4^{n-1}=256=4^4\), we get \(n-1=4\), so \(n=5\). Although 4 is the exponent, it is not the term number because the first term is \(4^0\). Exam tip: When a sequence starts with 1, add 1 to the exponent to obtain the term position.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(50=2r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(50=2r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(192=24r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(192=24r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\)। विकल्प \(8\) केवल \(2^3\) का मान है; इसमें पहले पद \(\frac{3}{4}\) से गुणा करना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\). Option \(8\) is only the value of \(2^3\); it must also be multiplied by the first term \(\frac{3}{4}\). Exam tip: the exponent in \(a_n\) is always \(n-1\).
\(2,10,50,250,\ldots\) में हर बार (5) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,10,50,250,\ldots\), each term is multiplied by (5). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=8\) और सार्व अनुपात \(r=24/8=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\)। 5832 अगला, अर्थात 7वाँ पद है क्योंकि \(1944\times3=5832\)। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय घात \(n-1\) लें, \(n\) नहीं। / The first term is \(a=8\) and the common ratio is \(r=24/8=3\). The \(n\)th term of a GP is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\). Note that 5832 is the next, or seventh, term because \(1944\times3=5832\). Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\), not \(n\).
