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गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{36}{12}=3\) है। इसलिए \(\frac{12}{x}=3\), जिससे \(x=\frac{12}{3}=4\)। विकल्प 6 लेने पर अनुपात \(\frac{12}{6}=2\) और \(\frac{36}{12}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार पद \(a,b,c\) हों, तो \(b^2=ac\) का उपयोग भी कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms remains the same. Here, the common ratio is \(r=\frac{36}{12}=3\). Hence, \(\frac{12}{x}=3\), so \(x=\frac{12}{3}=4\). If 6 were chosen, the ratios would be \(\frac{12}{6}=2\) and \(\frac{36}{12}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive terms \(a,b,c\) of a GP, you may also use \(b^2=ac\).
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(162=18r^2\) और \(r^2=9\), धनात्मक अनुपात (r=3) है। पदों के बीच दूरी को घात बनाएं। / \(a_4=a_2r^2\), so \(162=18r^2\) and \(r^2=9\), giving positive ratio (r=3). Use the gap between terms as the exponent.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। क्रमशः पद हैं: 2, 8, 32, 128, 512। अतः 512 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 128 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगले पद के लिए पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करें। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 4. Its terms are 2, 8, 32, 128, 512. Therefore, 512 is the fifth term. The fourth term is 128, so it is not correct. Exam tip: In a GP, multiply each term by the common ratio to obtain the next term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद a=1, सार्व अनुपात r=2 और n=6 है। अतः S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63। पद 1, 2, 4, 8, 16, 32 हैं, जिनका योग 63 है। 64 केवल 26 है, योग नहीं। परीक्षा टिप: r≠1 होने पर S_n=a\(r^n-1\)/(r-1) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term a=1, common ratio r=2, and n=6. Thus, S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63. The terms are 1, 2, 4, 8, 16, and 32, whose sum is 63. Note that 64 is only 26, not the sum. Exam tip: for r≠1, use S_n=a\(r^n-1\)/(r-1).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 3 है। इसके पद क्रमशः 1, 3, 9, 27, 81 हैं, इसलिए 81 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 27 है, अतः वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखें या 81 को \(3^4\) के रूप में पहचानें। / In this GP, the first term is 1 and the common ratio is 3. Its terms are 1, 3, 9, 27, 81; therefore, 81 is the fifth term. The fourth term is 27, so it is a close but incorrect option. Exam tip: list the terms in order or recognise \(81=3^4\).
\(64,16,4,1,\ldots\) में \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(64,16,4,1,\ldots\), \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है। अतः सार्व अनुपात \(r=2\) है। पद क्रमशः \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\) होंगे, इसलिए 6वाँ पद \(16\) है। \(8\) पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करें। / This is a geometric sequence because each term is twice the preceding term, so the common ratio is \(r=2\). The terms are \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\); therefore, the 6th term is \(16\). Note that \(8\) is the 5th term, making it a close but incorrect option. Exam tip: Start counting terms from the first given term.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद
\(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः
\(a_4=4r^3=108\), इसलिए
\(r^3=27\) और
\(r=3\)। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद
\(4\times2^3=32\) आता है, 108 नहीं। परीक्षा टिप:
\(a_m\) से
\(a_n\) तक अनुपात की घात हमेशा
\(n-m\) होती है। / The general term of a GP is
\(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus,
\(a_4=4r^3=108\), so
\(r^3=27\) and
\(r=3\). If the ratio were 2, the fourth term would be
\(4\times2^3=32\), not 108. Exam tip: from
\(a_m\) to
\(a_n\), the exponent of the ratio is
\(n-m\).
ज्यामितीय अनुक्रम में सार्व अनुपात ज्ञात करने के लिए किसी पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग देते हैं। यहाँ \(r=\frac{-6}{2}=-3\) है। जाँच करें: \(\frac{18}{-6}=-3\) और \(\frac{-54}{18}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह पदों के बदलते चिह्नों को नहीं समझाता। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों का भाग लेकर अनुपात की पुष्टि करें। / In a geometric sequence, the common ratio is found by dividing any term by the preceding term. Here, \(r=\frac{-6}{2}=-3\). Checking further, \(\frac{18}{-6}=-3\) and \(\frac{-54}{18}=-3\). Hence, the common ratio is \(-3\). Option \(3\) is a close distractor, but it does not account for the alternating signs. Exam tip: divide consecutive terms and verify the ratio with another pair.
सार्व अनुपात \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(r=3\) और \(n=4\), इसलिए \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\)। अतः सही उत्तर 135 है। 90 तब मिलता यदि घात या पद-स्थान का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए अनुपात \(r\) को तीन बार गुणा किया जाता है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Here, \(a=5\), \(r=3\), and \(n=4\), so \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\). Therefore, 135 is correct. A value such as 90 results from using the exponent or term position incorrectly. Exam tip: to reach the fourth term, multiply the common ratio \(r\) three times.
सार्व अनुपात \(\frac{6}{3}=2\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में दूसरा पद पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{6}{3}=2\). In a geometric progression divide the second term by the first term.
A. प्रत्येक क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है/The ratio of consecutive terms is constant
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में हर पद को एक निश्चित समान अनुपात से गुणा करके अगला पद मिलता है। समान अंतर होना अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें। / In a GP, each next term is obtained by multiplying by the same common ratio. A constant difference identifies an AP, not a GP. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=36/12=3\) है। चौथा पद 324 है, इसलिए पाँचवाँ पद \(a_5=324\times 3=972\) होगा। 1296 पाने के लिए 324 को 4 से गुणा करना पड़ेगा, जो इस श्रेणी का अनुपात नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगले पद के लिए पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करें। / The common ratio of this geometric progression is \(r=36/12=3\). Since the fourth term is 324, the fifth term is \(a_5=324\times 3=972\). The value 1296 would come from multiplying 324 by 4, which is not the common ratio. Exam tip: obtain each next term by multiplying the previous term by the common ratio.
B. हर बार एक निश्चित शून्येतर संख्या से गुणा किया जाता है
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है; अर्थात प्रत्येक पद पिछले पद को एक ही स्थिर संख्या, सामान्य अनुपात, से गुणा करके मिलता है। निश्चित संख्या जोड़ना समांतर श्रेणी का नियम है। परीक्षा टिप: अनुपात जाँचें, अंतर नहीं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant; each term is obtained by multiplying the previous term by the same fixed number, called the common ratio. Adding a fixed number describes an arithmetic progression. Exam tip: check ratios, not differences.
विकल्प A में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 6/2 = 3 और 18/6 = 3। इसलिए इसका सामान्य अनुपात स्थिर है और यह गुणोत्तर श्रेणी है। परीक्षा में लगातार पदों के भागफल की समानता जाँचें। / In option A, each term is multiplied by 3: 6/2 = 3 and 18/6 = 3. Hence, the common ratio is constant, so it is a geometric progression. In exams, check whether ratios of consecutive terms are equal.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=1\)। सार्व अनुपात \(r\) क्रमागत पदों का भागफल होता है: \(r=\frac{5}{1}=5\)। अतः सही विकल्प \(a=1,\ r=5\) है। \(r=25\) गलत है, क्योंकि वह पहला और तीसरा पद का अनुपात है, क्रमागत पदों का नहीं। परीक्षा टिप: \(r\) ज्ञात करने के लिए हमेशा दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, \(a\) is the first term, so \(a=1\). The common ratio \(r\) is obtained by dividing a term by the preceding term: \(r=\frac{5}{1}=5\). Therefore, \(a=1,\ r=5\) is correct. \(r=25\) is incorrect because it compares the first and third terms, not consecutive terms. Exam tip: find \(r\) by dividing the second term by the first term.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात r से गुणा करके मिलता है। यहाँ पहला पद 2 है और r = 5 है: 2, 2 × 5 = 10, 10 × 5 = 50, 50 × 5 = 250। इसलिए सही क्रम (2, 10, 50, 250) है। विकल्प C में पहला पद गलत रूप से 5 लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद को लिखकर हर अगले पद के लिए r से गुणा करें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the common ratio r. Here, the first term is 2 and r = 5: 2, 2 × 5 = 10, 10 × 5 = 50, and 50 × 5 = 250. Therefore, the correct sequence is (2, 10, 50, 250). Option C incorrectly begins with 5 instead of the given first term. Exam tip: write the first term first, then multiply successively by r.
दिया है \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)। \(n=1\) पर \(a_1=3\cdot2^0=3\), \(n=2\) पर \(a_2=3\cdot2^1=6\), और \(n=3\) पर \(a_3=3\cdot2^2=12\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((3, 6, 12)\) हैं। \((3, 9, 27)\) में प्रत्येक पद 3 से गुणा होता है, जबकि यहाँ सार्व अनुपात 2 है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर घातांक \(n-1\) जाँचें। / Given \(a_n=3\cdot2^{n-1}\): for \(n=1\), \(a_1=3\cdot2^0=3\); for \(n=2\), \(a_2=3\cdot2^1=6\); and for \(n=3\), \(a_3=3\cdot2^2=12\). Hence, the first three terms are \((3, 6, 12)\). The sequence \((3, 9, 27)\) has common ratio 3, whereas this sequence has common ratio 2. Exam tip: substitute \(n=1\) first and check the exponent \(n-1\) carefully.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(T_n=ar^{n-1}\) होता है। इसलिए \(T_4=6\times2^{4-1}=6\times2^3=48\) होगा। 24 तीसरा पद है: \(T_3=6\times2^2=24\)। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The \(n\)th term of a geometric progression is \(T_n=ar^{n-1}\). Hence, \(T_4=6\times2^{4-1}=6\times2^3=48\). The value 24 is the third term, since \(T_3=6\times2^2=24\). Exam tip: the exponent of the common ratio in the \(n\)th term is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=3\) है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}=3\times3^{n-1}=3^n\) होगा। विकल्प \(a_n=3^{n-1}\) में पहला पद 1 आता है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n=1\) रखने पर वह श्रेणी के पहले पद के बराबर आना चाहिए। / Here, the first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=3\). Thus, \(a_n=ar^{n-1}=3\times3^{n-1}=3^n\). The option \(a_n=3^{n-1}\) gives 1 as the first term, not 3. Exam tip: substitute \(n=1\) to check whether a proposed general term gives the first term of the sequence.
क्रमागत पदों का अनुपात देखें: \(24\div4=6\), \(144\div24=6\) और \(864\div144=6\)। अतः प्रत्येक पद पिछले पद को \(6\) से गुणा करके प्राप्त होता है, इसलिए पुनरावर्ती नियम का गुणक 6 है। 8 एक संभावित भ्रमकारी विकल्प है, क्योंकि 864 में 8 अंक आता है, पर यह पदों के बीच का गुणक नहीं है। परीक्षा टिप: गुणक ज्ञात करने के लिए किसी भी अगले पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग दें। / Check the ratio of consecutive terms: \(24\div4=6\), \(144\div24=6\), and \(864\div144=6\). Thus, each term is obtained by multiplying the previous term by \(6\), so the recursive-rule multiplier is 6. Option 8 may seem tempting because it appears in 864, but it is not the multiplier between consecutive terms. Exam tip: To find a multiplier, divide any term by the term immediately before it.
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 3 से गुणा करके मिलता है: \(3\times3=9\), \(9\times3=27\) और \(27\times3=81\)। अतः recursive rule \(a_n=3a_{n-1}\) है, इसलिए गुणक 3 है। 9 एक पद है, गुणक नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों का भाग लेकर गुणक जाँचें, जैसे \(27\div9=3\)। / Each term is obtained by multiplying the previous term by 3: \(3\times3=9\), \(9\times3=27\), and \(27\times3=81\). Thus, the recursive rule is \(a_n=3a_{n-1}\), so the multiplier is 3. Although 9 is a term of the sequence, it is not the multiplier. Exam tip: divide a term by the preceding term, for example \(27\div9=3\), to find the multiplier.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=3\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\)। विकल्प 2187, \(3^7\) है, पर इसमें प्रथम पद 2 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में \(n\)वाँ पद निकालते समय घात हमेशा \(n-1\) लें। / This is a geometric sequence with first term \(a=2\) and common ratio \(r=3\). Its \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\). Option 2187 is \(3^7\), but it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: for a geometric sequence, use exponent \(n-1\) for the \(n\)th term.
\((7,7,7,\ldots)\) में सार्वांतर \(0\) और सार्वानुपात \(1\) है, इसलिए यह दोनों श्रेणियाँ है। विकल्प B में अनुपात स्थिर है, पर अंतर स्थिर नहीं। परीक्षा टिप: दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें। / In \((7,7,7,\ldots)\), the common difference is \(0\) and the common ratio is \(1\), so it is both an AP and a GP. Option B has a fixed ratio but no fixed difference. Exam tip: check both conditions separately.
विकल्प A में क्रमागत अंतरों के मान 5−2=3 और 8−5=3 हैं, इसलिए अंतर स्थिर है। अनुपात 5/2 और 8/5 अलग हैं। परीक्षा में अंतर और अनुपात दोनों अलग-अलग जाँचें। / In option A, the consecutive differences are 5−2=3 and 8−5=3, so the difference is constant. However, the ratios 5/2 and 8/5 differ. In exams, check differences and ratios separately.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 5 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=8\times5^{n-1}\) होगा। \(8\times5^{n-1}=5000\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 1000 होता है, 5000 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले समान अनुपात पहचानें और फिर nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 5. Therefore, its nth term is \(a_n=8\times5^{n-1}\). From \(8\times5^{n-1}=5000\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 1000, not 5000. Exam tip: First identify the common ratio, then use the nth-term formula to find the position.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। दिए गए पदों के बाद 5वाँ पद 384 × 4 = 1536 होगा और 6वाँ पद 1536 × 4 = 6144 होगा। इसलिए सही उत्तर 6144 है। 1536 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह 5वाँ पद है। परीक्षा टिप: क्रम में समान गुणन गुणक पहचानकर अगले पद जल्दी ज्ञात किए जा सकते हैं। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. After the given terms, the 5th term is 384 × 4 = 1536, and the 6th term is 1536 × 4 = 6144. Therefore, 6144 is correct. The closest distractor, 1536, is the 5th term, not the 6th. Exam tip: identify the common multiplier to find subsequent terms quickly.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 4 गुना है, इसलिए यह एक गुणोत्तर क्रम है। छठा पद: \(2\times4^{5}=2\times1024=2048\) होगा। 1024 पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों के बीच समान गुणनफल हो तो गुणोत्तर क्रम में \(a_n=a_1r^{n-1}\) का प्रयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term, so this is a geometric sequence. The sixth term is \(2\times4^{5}=2\times1024=2048\). Note that 1024 is the fifth term, making it a close but incorrect option. Exam tip: When consecutive terms have a common multiplier, use \(a_n=a_1r^{n-1}\).
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। अतः \(a_n=3\times4^{n-1}\)। \(3\times4^{n-1}=768\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 192 होता है, 768 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. Hence, \(a_n=3\times4^{n-1}\). From \(3\times4^{n-1}=768\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Therefore, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 192, not 768. Exam tip: first identify the common ratio when finding a term's position.
