दिया है \(a_n=\frac{n(3n+5)}{2}\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=\frac{8(3\times8+5)}{2}=\frac{8(29)}{2}=4\times29=116\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(112\) जैसे विकल्प प्रायः कोष्ठक के भीतर की गणना में त्रुटि करने पर मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक और गुणा-भाग को क्रम से हल करें। / Using \(a_n=\frac{n(3n+5)}{2}\), substitute \(n=8\): \(a_8=\frac{8(3\times8+5)}{2}=\frac{8(29)}{2}=4\times29=116\). Hence, option C is correct. A value such as \(112\) can result from an error while evaluating the expression inside the bracket. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify brackets and multiplication/division step by step.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=(n+1)^3-n\) से क्रमशः \(7,25,61,121\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पहला पद \(7\) आता है, लेकिन \(n=2\) पर पद \(14\) होगा, \(25\) नहीं। परीक्षा में सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद अवश्य मिलाइए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=(n+1)^3-n\) gives \(7,25,61,121\), respectively. Therefore, option A is correct. Option B gives the first term as \(7\), but for \(n=2\) it gives \(14\), not \(25\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=4^n+n-3\) से क्रमशः \(2,15,64,257\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=n^4+1\) का पहला पद 2 तो है, लेकिन दूसरा पद \(17\) होगा, 15 नहीं। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) का मान रखकर सत्यापित करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=4^n+n-3\) gives \(2,15,64,257\), respectively. Although \(a_n=n^4+1\) gives the first term as 2, its second term is \(17\), not 15. Exam tip: verify an explicit rule by testing it for at least the first three terms.
सही नियम \(a_n=2n^3+n^2+n\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,22,66,148\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4n^2\) में \(n=1\) पर 4 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n^2+n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,22,66,148\), respectively. The closest distractor, \(4n^2\), gives 4 when \(n=1\), but it gives 16 rather than 22 when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
यहाँ पदों की संख्या \(n=1\) से शुरू होती है। \(a_n=2^n+n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,8,17,32\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(2n^2+1\) से पहले दो पद \(3,9\) मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / The term number starts with \(n=1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2^n+n^2\) gives \(3,8,17,32\), respectively. The close distractor \(2n^2+1\) gives \(3,9\) as its first two terms, so it does not fit the sequence. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(14,31,54,83\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम \(a_n=3n^2+8n+3\) है। उदाहरण के लिए, \(n=3\) पर \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\)। विकल्प B का पहला पद भी 14 है, लेकिन \(n=2\) पर वह 29 देता है, 31 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पद अवश्य मिलाइए। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(14,31,54,83\), respectively. Therefore, the correct rule is \(a_n=3n^2+8n+3\). For example, when \(n=3\), \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\). Option B also gives 14 as its first term, but it gives 29, not 31, when \(n=2\). Exam tip: verify at least the first two or three terms before selecting a general rule.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+6n+1\) से क्रमशः \(8,17,28,41\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=2\) पर पद \(18\) आता है, जबकि दिया गया दूसरा पद \(17\) है। परीक्षा टिप: अनुक्रम के नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखिए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+6n+1\) gives \(8,17,28,41\), respectively. Therefore, option A is correct. In option B, the term for \(n=2\) is \(18\), not the given second term \(17\). Exam tip: Verify a proposed sequence rule by substituting at least the first two or three values of \(n\).
\(a_n=n^3+n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,12,36,80\) प्राप्त होते हैं। अतः यही अनुक्रम का सामान्य पद है। \(4n^2-2n\) से पहले दो पद 2 और 12 मिलते हैं, लेकिन \(n=3\) पर 30 मिलता है, 36 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / For \(a_n=n^3+n^2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,12,36,80\), respectively. Hence, this is the general term of the sequence. The close distractor \(4n^2-2n\) gives 2 and 12 initially, but for \(n=3\) it gives 30, not 36. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=3^n-2n+1\) से क्रमशः \(2,6,22,74\) प्राप्त होते हैं। अतः यही सामान्य पद है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2^n+n\) में पहला पद 3 आता है, 2 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम शुरुआती तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=3^n-2n+1\) gives \(2,6,22,74\), respectively. Hence, it is the general term. The close distractor \(2^n+n\) gives 3 as its first term, not 2. Exam tip: verify a proposed general term by checking it for at least the first three values of \(n\).
दिया है \(a_n=2^n+3n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2^5+3(5)=32+15=47\) प्राप्त होता है। विकल्प 43 तब मिल सकता है जब \(3n\) के स्थान पर केवल 3 जोड़ा जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n\) का मान रखने के बाद घात और गुणा को पहले हल करें। / Given \(a_n=2^n+3n\), substitute \(n=5\): \(a_5=2^5+3(5)=32+15=47\). Option 43 may result from adding only 3 instead of evaluating \(3n\), which is incorrect. Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate powers and multiplication before addition.
अनुक्रम के पद \(4,9,16,25\) क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। जब \(n=1\) हो, तब वर्ग का आधार \(2=n+1\) है; अतः सामान्य पद \(a_n=(n+1)^2\) होगा। विकल्प \(a_n=n^2+3\) से पहला पद तो 4 मिलता है, पर \(n=2\) पर 7 मिलता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखकर पहले दो पद अवश्य मिलाएँ। / The terms \(4,9,16,25\) are respectively \(2^2,3^2,4^2,5^2\). When \(n=1\), the number being squared is \(2=n+1\); hence the general term is \(a_n=(n+1)^2\). Although \(a_n=n^2+3\) gives 4 for the first term, it gives 7, not 9, when \(n=2\). Exam tip: verify a general term by substituting \(n=1\) and \(n=2\).
पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए \(15-3n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>5\) मिलता है, अतः सबसे छोटा पूर्णांक \(n=6\) है। वास्तव में \(a_5=15-3(5)=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_6=15-3(6)=-3\) है। इसलिए छठा पद पहला ऋणात्मक पद है। परीक्षा टिप: ‘पहला’ पद पूछे जाने पर असमानता को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा प्राकृतिक संख्या मान लें। / For a term to be negative, \(15-3n<0\). This gives \(n>5\), so the smallest integer value is \(n=6\). In fact, \(a_5=15-3(5)=0\), which is not negative, whereas \(a_6=15-3(6)=-3\). Hence, the sixth term is the first negative term. Exam tip: when asked for the first such term, choose the smallest natural-number index satisfying the inequality.
दिया है कि \(a_n=5n^2+2\)। इसलिए \(a_4=5(4)^2+2=5\times16+2=82\) तथा \(a_1=5(1)^2+2=7\)। अतः \(a_4+a_1=82+7=89\)। विकल्प 87 तब मिल सकता है जब \(a_4\) की गणना में \(4^2\) को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पदों का योग निकालने से पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखिए। / Given \(a_n=5n^2+2\), \(a_4=5(4)^2+2=5\times16+2=82\) and \(a_1=5(1)^2+2=7\). Therefore, \(a_4+a_1=82+7=89\). Option 87 can result from evaluating \(4^2\) incorrectly while finding \(a_4\). Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each term before adding them.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(9,20,33,48\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम \(a_n=n^2+8n\) है। विकल्प B का पहला पद 9 है, लेकिन \(n=2\) पर यह 19 देता है, 20 नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(9,20,33,48\), respectively. Therefore, the correct rule is \(a_n=n^2+8n\). Option B gives the first term as 9, but for \(n=2\) it gives 19, not 20. Exam tip: Test a proposed rule by substituting values of \(n\) for at least the first three terms.
दिया है, \(a_n=4n^2-1\)। इसलिए \(a_5=4(5)^2-1=100-1=99\) और \(a_1=4(1)^2-1=3\)। अतः \(a_5+a_1=99+3=102\)। विकल्प 100 केवल \(4\times 5^2\) है; उसमें \(-1\) तथा \(a_1\) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: सामान्य पद में प्रत्येक आवश्यक \(n\) का मान अलग-अलग रखकर फिर जोड़ें। / Given \(a_n=4n^2-1\), \(a_5=4(5)^2-1=100-1=99\) and \(a_1=4(1)^2-1=3\). Hence, \(a_5+a_1=99+3=102\). Option 100 is only \(4\times 5^2\); it ignores both the \(-1\) and \(a_1\). Exam tip: Substitute each required value of \(n\) separately before adding the terms.
सही नियम \(a_n=n^2+5n\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(6,14,24,36\) प्राप्त होते हैं। साथ ही, पदों के अंतर \(8,10,12\) हैं, जिनके अंतर \(2\) हैं; इसलिए अनुक्रम का नियम द्विघात रूप का होना चाहिए। विकल्प B में पहला पद 6 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 12 मिलता है, 14 नहीं। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n=1,2,3\) रखें। / The correct rule is \(a_n=n^2+5n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(6,14,24,36\), respectively. Also, the first differences are \(8,10,12\), whose differences are \(2\); hence the sequence should have a quadratic rule. Option B gives the first term as 6, but for \(n=2\) it gives 12, not 14. Exam tip: test a proposed rule with at least the first three values, \(n=1,2,3\).
दिया है \(a_n=kn+2\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=7k+2\) होगा। अतः \(7k+2=37\), इसलिए \(7k=35\) और \(k=5\)। विकल्प 6 लेने पर \(a_7=44\) मिलता है, जो 37 नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में दिए गए पद का क्रमांक रखकर अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें। / Given \(a_n=kn+2\). Substituting \(n=7\) gives \(a_7=7k+2\). Thus, \(7k+2=37\), so \(7k=35\) and \(k=5\). If \(k=6\), then \(a_7=44\), not 37. Exam tip: substitute the given term number into the general term to find an unknown constant.
यहाँ पदों का क्रमांक \(n=1,2,3,\ldots\) लेने पर \(a_n=n^2+2n-1\) से \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\) और \(a_4=23\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम विकल्प \(n^2+n\) में दूसरा पद \(6\) आता है, जबकि अनुक्रम में दूसरा पद \(7\) है। परीक्षा टिप: जब प्रथम अंतर \(5,7,9\) जैसे लगातार बढ़ें, तो द्विघात रूप वाले नियम की जाँच करें। / Taking the term number as \(n=1,2,3,\ldots\), the rule \(a_n=n^2+2n-1\) gives \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\), and \(a_4=23\). Hence, option A is correct. The closest distractor, \(n^2+n\), gives the second term as \(6\), not \(7\). Exam tip: when first differences increase regularly, such as \(5,7,9\), test a quadratic rule.
दिया है कि \(a_n=4^n-n\)। अतः \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3-3=64-3=61\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 61 है। 60 तब मिलता यदि केवल 64 में से 4 घटाया जाता, जबकि सूत्र में \(n=3\) घटाना है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4^n-n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=4^3-3=64-3=61\). Therefore, 61 is the correct option. The value 60 would result from subtracting 4 from 64, but the formula requires subtracting \(n=3\). Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent carefully.
दिए गए पदों के प्रथम अंतर \(12,37,89\) हैं और द्वितीय अंतर \(25,52\) हैं। तृतीय अंतर \(27\) स्थिर है, इसलिए उपयुक्त नियम घन बहुपद के रूप में लिया जाता है। \(a_n=\frac{9n^3-29n^2+48n-24}{2}\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,14,51,140\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में \(n=3\) पर \(42\) मिलता है, \(51\) नहीं। परीक्षा टिप: घन-आधारित नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन या चार पद रखकर सत्यापित करें। / The first differences are \(12,37,89\), and the second differences are \(25,52\). The third difference is constant at \(27\), so an appropriate rule is a cubic polynomial. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=\frac{9n^3-29n^2+48n-24}{2}\) gives \(2,14,51,140\), respectively. Option B gives \(42\) when \(n=3\), not \(51\). Exam tip: verify a cubic-type rule by substituting at least the first three or four values of \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2^n+n\) से क्रमशः \(3,6,11,20\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=2^n+n\) है। \(a_n=n^2+2\) पहले तीन पद देता है, लेकिन \(n=4\) पर \(18\) देता है, \(20\) नहीं। परीक्षा में नियम को कम-से-कम चार दिए गए पदों पर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2^n+n\) gives \(3,6,11,20\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=2^n+n\). Although \(a_n=n^2+2\) matches the first three terms, it gives \(18\), not \(20\), when \(n=4\). Exam tip: verify a proposed rule using at least four given terms.
यहाँ सामान्य पद में \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+4=16+4=20\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 20 है। 18 केवल \(2^4\) में 2 जोड़ने जैसी गणना-त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात का मान पहले निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Substitute \(n=4\) in the general term: \(a_4=2^4+4=16+4=20\). Therefore, 20 is the correct option. A value such as 18 can result from an incorrect addition after evaluating \(2^4\). Exam tip: evaluate the exponent first, then perform the remaining operations.
दिया है \(a_n=7n-8\)। जिस पद का मान 41 है, उसके लिए \(7n-8=41\) लिखेंगे। अतः \(7n=49\), इसलिए \(n=7\)। इसलिए 41 सातवाँ पद है। \(n=6\) रखने पर मान 34 आता है, 41 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=7n-8\), set the term equal to 41: \(7n-8=41\). Thus, \(7n=49\), so \(n=7\). Therefore, 41 is the seventh term. Substituting \(n=6\) gives 34, not 41. Exam tip: To find the term number, equate \(a_n\) to the given value and solve for \(n\).
