Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (5) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। समानांतर अनुक्रम में गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (5) and the common difference is (7), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). In an arithmetic sequence the coefficient is the common difference.
दिए पदों से (p+q=5) और (2p+q=7), इसलिए (p=2), (q=3) और \(a_4=45\)। अज्ञात गुणांक हों तो पहले छोटे पदों से समीकरण बनाएं। / From the given terms, (p+q=5) and (2p+q=7), so (p=2), (q=3), and \(a_4=45\). When coefficients are unknown, first form equations using small terms.
पहला पद (42) और अंतर (-6) है इसलिए (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n)। घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / The first term is (42) and the difference is (-6), so (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n). Keep the difference negative for a decreasing sequence.
(9n+4=112) से (9n=108) और (n=12)। पद-संख्या के लिए नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (9n+4=112), (9n=108) and (n=12). To find the position set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,21,32,45) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,21,32,45). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
अंश (2n+1) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\)। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,10,18,28). Direct substitution is easy in a product-form rule.
यह \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\), so (a_n=(n+4)2). In square sequences relate the base number to (n).
यह \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences identify the base number.
\(a_6=23\) और \(b_4=24\), इसलिए योग (47) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान रखें। / \(a_6=23\) and \(b_4=24\), so the sum is (47). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
इसका नियम \(a_n=3n^2+4n+4\) है इसलिए \(a_{10}=300+40+4=344\) नहीं बल्कि विकल्पों से मिलान गलत है; सही (10)वाँ पद (344) है। विकल्पों की संगति भी परीक्षा में जांचें। / Its rule is \(a_n=3n^2+4n+4\), so the (10)th term is (344), not any listed option. In exams also check the consistency of options.
\(n^2+6n+1\) से (8,17,28,41) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+6n+1\) gives (8,17,28,41). When differences increase, check a quadratic rule.
सामान्य पद \(a_n=8n+5\) है और (8n+5=93) से (n=11)। यदि (n) प्राकृतिक संख्या हो तो दिया पद अनुक्रम में आता है। / The general term is \(a_n=8n+5\), and (8n+5=93) gives (n=11). If (n) is a natural number, the given term belongs to the sequence.
यह \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-1)2)। वर्गों में आधारों का अंतर देखें। / This is \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\), so (a_n=(4n-1)2). In square sequences observe the difference between bases.
अंश (3n+2) और हर (4n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (3n+2) and the denominator is (4n+2), so \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\). In a fractional sequence form separate rules for both parts.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है इसलिए (d=7), फिर \(a_n=7n-5\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7), then \(a_n=7n-5\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (7,14,27) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (7,14,27). To check options, find the initial terms.
(8p+7=71) से (8p=64) और (p=8)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (8p+7=71), (8p=64) and (p=8). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
पहला पद (17) और अंतर (-9) है इसलिए (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n)। घटने को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (17) and the difference is (-9), so (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n). Treat decrease as a negative difference.
यह (3) गुना त्रिभुज संख्याओं का क्रम है इसलिए (a_n=\frac{3n(n+1)}{2})। लगातार जोड़ (6,9,12) से पैटर्न पहचानें। / This is three times the triangular numbers, so (a_n=\frac{3n(n+1)}{2}). Recognize the pattern from additions (6,9,12).
\(2n^2+7n+3\) से (12,25,42,63) मिलते हैं। दूसरे अंतर स्थिर हों तो द्विघात नियम बनता है। / \(2n^2+7n+3\) gives (12,25,42,63). If second differences are constant, a quadratic rule fits.
\(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\) से (21n=9n+36) और (n=3) नहीं बल्कि (n=3) मिलता है। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / From \(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\), (21n=9n+36), so (n=3). None of the given options is correct.
\(a_3=39\) और \(a_5=103\), इसलिए योग (142) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_3=39\) and \(a_5=103\), so the sum is (142). Find both terms separately before adding.
यह \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n)2=16n-2)। सम अंतर वाले वर्गों में आधार का नियम देखें। / This is \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\), so (a_n=(4n)2=16n-2). In square sequences with equal base gaps, find the base rule.
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। बढ़ते अंतर (7,11,15) द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). Increasing differences (7,11,15) indicate a quadratic rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,10,17,28) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,10,17,28). Do not forget to add both the power part and the linear part.
परिमाण \(6,11,16,21,\ldots\) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1))। पहले पद का चिह्न शक्ति तय करता है। / The magnitude is \(6,11,16,21,\ldots\) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1)). The sign of the first term decides the power.
सामान्य पद \(a_n=9n+6\) है इसलिए \(a_{40}=366\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=9n+6\), so \(a_{40}=366\). Use the same general rule even for a large term.
छह अंतरों में परिवर्तन (-36) है इसलिए (d=-6), अतः \(a_n=31-6n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over six gaps is (-36), so (d=-6), hence \(a_n=31-6n\). From two given terms first find the common difference.
(n=9) रखने पर (81+45=126) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=9) gives (81+45=126). Directly checking options is a quick method.
\(n^2+n+2\) से (4,8,14,22) मिलते हैं। दूसरे अंतर समान हों तो द्विघात नियम देखें। / \(n^2+n+2\) gives (4,8,14,22). If second differences are equal, check a quadratic rule.
(a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+5)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\), so (a_n=(n+5)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
\(3n^2+8n+3\) से (14,31,54,83) मिलते हैं। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाएं। / \(3n^2+8n+3\) gives (14,31,54,83). Match options with the initial terms.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-5) है इसलिए समान अंतर (-5) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-5), so the common difference is (-5). Do not miss the sign while reading the coefficient.
\(a_4=95\) और \(a_2=23\), इसलिए योग (118) है। सही विकल्प (118) है और दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=95\) and \(a_2=23\), so the sum is (118). The correct option is (118), and both terms should be found separately.
सामान्य पद \(a_n=79-9n\) है और (79-9n=-2) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=79-9n\), and (79-9n=-2) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
(n=1,2,3) रखने पर (9,18,35) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (9,18,35). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+5\) और हर \(n^2+4\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\)। भिन्न अनुक्रम में वर्ग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+5\) and the denominator is \(n^2+4\), so \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\). Identify square patterns in fractional sequences.
अंश (3n) और हर (5n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (3n) and the denominator is (5n+2), so \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
\(a_9=109\) और \(a_4=44\), इसलिए अंतर (65) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_9=109\) and \(a_4=44\), so the difference is (65). Calculate both terms separately before subtracting.
परिमाण (7n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}7n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (7n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}7n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(5n^2-2n+6\) से (9,22,45,78) मिलते हैं। दूसरे अंतर (10) स्थिर है इसलिए द्विघात नियम बनेगा। / \(5n^2-2n+6\) gives (9,22,45,78). The second difference (10) is constant, so a quadratic rule fits.
(25+5q+4=54) से (5q=25) और (q=5)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (25+5q+4=54), (5q=25) and (q=5). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(a_5=2\) और \(a_6=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य या धनात्मक पद को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=2\) and \(a_6=-2\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero or positive terms as negative.
छह अंतरों में वृद्धि (54) है इसलिए (d=9), अतः (a_{15}=83+4(9)=119)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over six gaps is (54), so (d=9), hence (a_{15}=83+4(9)=119). Extend the terms using the common difference.
\(n^3+n-1\) से (1,9,29,67) नहीं मिलता; इस क्रम के लिए दिए विकल्पों में सही नियम नहीं है। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाना जरूरी है। / \(n^3+n-1\) does not give the sequence; none of the listed options correctly fits this sequence. Matching options with initial terms is necessary.
