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दिए पदों से (p+q=5) और (2p+q=7), इसलिए (p=2), (q=3) और \(a_4=45\)। अज्ञात गुणांक हों तो पहले छोटे पदों से समीकरण बनाएं। / From the given terms, (p+q=5) and (2p+q=7), so (p=2), (q=3), and \(a_4=45\). When coefficients are unknown, first form equations using small terms.
\(2\cdot5^{n-1}+n^2\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और वर्ग दोनों जाँचें। / \(2\cdot5^{n-1}+n^2\) gives the given terms. In exams, check both the power and square in rapid growth.
क्रमागत अंतर \(19,29,39\) हैं और इनके दूसरे अंतर \(10\) हैं। अतः अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप \(a_n=5n^2+bn+c\) का होगा, क्योंकि द्वितीय अंतर \(2\times5=10\) है। \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर \(b=4\) तथा \(c=-1\) मिलते हैं; इसलिए \(a_n=5n^2+4n-1\) सही है। विकल्प \(a_n=5n^2+2n+1\) में पहला पद सही आता है, पर दूसरा पद \(25\) आता है, \(27\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / The consecutive differences are \(19,29,39\), whose second differences are \(10\). Therefore, the sequence has a quadratic general term of the form \(a_n=5n^2+bn+c\), since its second difference is \(2\times5=10\). Substituting \(n=1\) and \(n=2\) gives \(b=4\) and \(c=-1\), so \(a_n=5n^2+4n-1\) is correct. The close distractor \(a_n=5n^2+2n+1\) gives the first term correctly but gives \(25\), not \(27\), for the second term. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
\(7n^2-4n+1\) से (4,21,52,97) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(7n^2-4n+1\) gives (4,21,52,97). In exams, identify a quadratic rule by equal second differences.
दिया है कि \(a_n=7n^2-4n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=7(5)^2-4(5)+1=7\times25-20+1=175-20+1=156\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 156 है। 154 प्राप्त होना सामान्यतः अंतिम \(+1\) को छोड़ देने से होता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात और गुणा की गणना करें। / Given \(a_n=7n^2-4n+1\), substitute \(n=5\): \(a_5=7(5)^2-4(5)+1=7\times25-20+1=175-20+1=156\). Hence, 156 is correct. The value 154 may result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: substitute the term number first, then evaluate powers and multiplication carefully.
दिया है
\(a_n=(n+1)^3-n\)। अतः \(n=4\) रखने पर \(a_4=(4+1)^3-4=5^3-4=125-4=121\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 121 है। 123 तब मिलता यदि घटाव में गलती की जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात हल करके अंत में घटाव करें। / Given \(a_n=(n+1)^3-n\), substitute \(n=4\): \(a_4=(4+1)^3-4=5^3-4=125-4=121\). Therefore, 121 is the correct option. 123 would result from an incorrect subtraction. Exam tip: substitute the term number first, evaluate the exponent, and then subtract.
(\frac{n(5n-1)}{2}) से (2,9,21,38) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न रूप वाले सामान्य पद भी जाँचें। / (\frac{n(5n-1)}{2}) gives (2,9,21,38). In exams, also check fractional-form general terms.
(n=1) पर (188) और (n=2) पर (176) मिलता है, इसलिए \(a_n=200-12n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (188), and at (n=2) it gives (176), so \(a_n=200-12n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
दिया गया नियम है: \(a_n=200-12n\)। \(n=9\) रखने पर \(a_9=200-12\times9=200-108=92\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 92 है। 88 का मान तब मिलता यदि घटाव के बाद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा करें। / The given rule is \(a_n=200-12n\). Substituting \(n=9\), we get \(a_9=200-12\times9=200-108=92\). Therefore, 92 is correct. A value such as 88 results from an arithmetic error after substitution. Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
\(2n^2+9n+1\) से (12,27,46,69) मिलते हैं। परीक्षा में वर्गीय नियम को पहले चार पदों से जाँचें। / \(2n^2+9n+1\) gives (12,27,46,69). In exams, test the quadratic rule with the first four terms.
दिया है \(a_n=2n^2+9n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(96\) है। \(94\) जैसे विकल्प में प्रायः वर्ग वाले पद \(2\times25\) की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2n^2+9n+1\). Substituting \(n=5\), \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\). Hence, \(96\) is the correct option. A value such as \(94\) can result from an error while evaluating the squared term \(2\times25\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the exponent carefully.
दिया है, \(a_n=4^n+n-3\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 257 है। 255 तब मिलता यदि \(n-3\) वाले भाग की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात, जोड़ और घटाव का क्रम सावधानी से करें। / Given \(a_n=4^n+n-3\), substitute \(n=4\): \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\). Therefore, 257 is correct. A value such as 255 can result from an error while evaluating the \(n-3\) part. Exam tip: after substitution in a general term, evaluate the exponent first and then perform addition and subtraction carefully.
यदि \(a_n=n^4-n^2\), तो \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\) तथा \(a_4=256-16=240\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^4-n^2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^4\) के लिए \(a_1=2\) आता है, जो अनुक्रम के पहले पद 0 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच करने के लिए \(n=1,2,3\) रखने पर शुरुआती पद अवश्य मिलाएँ। / For \(a_n=n^4-n^2\), we get \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\), and \(a_4=256-16=240\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^4-n^2\). The close distractor \(2n^4\) gives \(a_1=2\), which does not match the first term 0. Exam tip: substitute \(n=1,2,3\) to verify a proposed general term against the initial terms.
यहाँ n=3 रखने पर a_3=34-32=81-9=72 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 72 है। 70 जैसे विकल्प घातों या घटाव में गणना की त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / Substitute n=3: a_3=34-32=81-9=72. Therefore, 72 is the correct option. A value such as 70 can result from an error while evaluating the powers or subtracting. Exam tip: calculate each power separately before subtracting.
इसका नियम \(a_n=13n-10\) है और (13n-10=159) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=13n-10\), and (13n-10=159) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
पहले पाँच पद (3,16,29,42,55) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (3,16,29,42,55), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
\(5^n+n-4\) से (2,23,124,625) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में छोटा रैखिक भाग भी जाँचें। / \(5^n+n-4\) gives (2,23,124,625). In exams, also check the small linear part in a power rule.
यहाँ सामान्य पद में n के स्थान पर 3 रखें: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\)। इसलिए सही उत्तर 124 है। 122 प्राप्त करना जोड़-घटाव में गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को जोड़ें या घटाएँ। / Substitute 3 for n in the general term: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\). Therefore, the correct answer is 124. A value such as 122 can result from an arithmetic error in the addition or subtraction. Exam tip: evaluate the power first, then add or subtract the remaining terms.
\(6n^2-n+4\) से (9,26,55,96) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / \(6n^2-n+4\) gives (9,26,55,96). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=96\) और \(a_2=26\), इसलिए सरल अनुपात (48:13) है। परीक्षा में अनुपात सरल करना न भूलें। / \(a_4=96\) and \(a_2=26\), so the simplified ratio is (48:13). In exams, do not forget to simplify the ratio.
\(\frac{3n^2+5n}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{3n^2+5n}{4}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 16 प्राप्त करना \(3\times4^2\) का मान 48 के बजाय गलत लेने या अंश में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालकर अंश और हर को सरल करें। / Substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\). Therefore, 17 is correct. Getting 16 may result from incorrectly evaluating \(3\times4^2\) or making an error in the numerator. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, evaluate the power, and then simplify the numerator and denominator.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 66 है। 64 प्राप्त होना घन वाले पद \(2(3)^3\) की गणना में त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान प्रत्येक पद में रखें, फिर घातों की गणना करके जोड़ करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\). Therefore, 66 is the correct option. Getting 64 indicates an error in evaluating the cubic term \(2(3)^3\). Exam tip: substitute the value in every term first, then evaluate powers before adding.
\(a_n=n^3+3n^2-2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,18,52,110\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम विकल्प \(2n^3\) में पहला पद 2 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 16 मिलता है, 18 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For \(a_n=n^3+3n^2-2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,18,52,110\), respectively. Hence, it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but gives 16 rather than 18 when \(n=2\). In an exam, verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
यहाँ n=4 रखने पर, \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 110 है। 108 निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3\times 4^2=48\) का सही मान लेने पर भी अंतिम गणना पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: घातों का मान पहले निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substitute n=4: \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\). Therefore, 110 is the correct option. A nearby distractor such as 108 results from an incorrect final calculation; \(3\times4^2\) must be evaluated as 48. Exam tip: calculate powers first, then perform multiplication and addition or subtraction.
\(4n^2+5n-6\) से (3,20,45,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम चुनें। / \(4n^2+5n-6\) gives (3,20,45,78). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है, \(a_n=4n^2+5n-6\)। अतः \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) और \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\)। इसलिए \(a_3+a_5=45+119=164\)। 162 जैसा निकट विकल्प जोड़ या गुणा में छोटी त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+5n-6\), \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) and \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\). Therefore, \(a_3+a_5=45+119=164\). A nearby value such as 162 can result from a small addition or multiplication error. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before adding the terms.
\(7\cdot2^{n-1}+4\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(7\cdot2^{n-1}+4\) gives the given terms. In exams, also check constant addition in geometric forms.
सही नियम \(a_n=3^n+n^2-1\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,12,35,96\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=3n^2\) से पहला पद 3 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 12 के बजाय 12 और तीसरा पद 27 मिलता है, इसलिए वह नियम पूरे अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct rule is \(a_n=3^n+n^2-1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3,12,35,96\), respectively. Although \(a_n=3n^2\) gives the first two terms as 3 and 12, it gives 27 as the third term instead of 35, so it is not the rule for the sequence. In exams, test a proposed general term with at least the first three terms.
n=3 रखने पर a_3=33+32-1=27+9-1=35 होता है। इसलिए सही उत्तर 35 है। 33 तब मिलता है जब अंतिम 1 को गलत तरीके से घटाया जाए, जबकि 27+9-1 का सही मान 35 है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n के स्थान पर दी गई संख्या को घात और वर्ग, दोनों में रखें। / Putting n=3, we get a_3=33+32-1=27+9-1=35. Therefore, the correct answer is 35. A value such as 33 results from an incorrect calculation of the final subtraction; 27+9-1 equals 35. Exam tip: when finding a term from an explicit rule, substitute the given value of n in every occurrence of n, including powers and squares.
