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इसका नियम \(a_n=11n-7\) है और (11n-7=125) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=11n-7\), and (11n-7=125) gives (n=12). In exams, equate the given term to the general term.
(8n-5=155) से (n=20) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (8n-5=155), we get (n=20). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (139) और (n=2) पर (128) मिलता है, इसलिए \(a_n=150-11n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (139), and at (n=2) it gives (128), so \(a_n=150-11n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
दिया है \(a_n=150-11n\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=150-11\times7=150-77=73\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(73\) है। \(77\) केवल \(11\times7\) का मान है, यह \(a_7\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सही पद संख्या रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=150-11n\), substitute \(n=7\): \(a_7=150-11\times7=150-77=73\). Hence, \(73\) is correct. \(77\) is only the value of \(11\times7\), not the value of \(a_7\). Exam tip: substitute the term number carefully, multiply first, and then subtract.
दिए गए पद क्रमशः \(1^2,4^2,7^2,10^2\) हैं। इनके वर्गमूल \(1,4,7,10\) एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, जिसका \(n\)वाँ पद \(3n-2\) है। इसलिए अनुक्रम का स्पष्ट नियम \(a_n=(3n-2)^2\) है। विकल्प B में \(n=2\) रखने पर 10 मिलता है, 16 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रम में पहले पदों के वर्गमूल लेकर उनका पैटर्न जाँचें। / The terms are \(1^2,4^2,7^2,10^2\). Their square roots, \(1,4,7,10\), form an arithmetic sequence whose \(n\)th term is \(3n-2\). Hence the explicit rule is \(a_n=(3n-2)^2\). In option B, substituting \(n=2\) gives 10, not 16. Exam tip: for sequences of perfect squares, first check the pattern in their square roots.
दिया है कि \(a_n=(3n-2)^2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 100 है। \(121\) तब मिलता यदि कोष्ठक के भीतर का मान 11 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर कोष्ठक और घात का क्रम पूरा करें। / Given \(a_n=(3n-2)^2\). Substituting \(n=4\), \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\). Therefore, 100 is the correct option. \(121\) would result only if the expression inside the square were 11, which it is not here. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify the bracket before applying the exponent.
\(\frac{n(4n+1)}{2}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / \(\frac{n(4n+1)}{2}\) gives the given terms. In exams, test fractional terms with small (n).
क्रमागत अंतर \(9,15,21\) हैं और इनके दूसरे अंतर \(6,6\) हैं। अतः सामान्य पद द्विघात रूप का होगा तथा \(n^2\) का गुणांक \(6/2=3\) होगा। \(a_n=3n^2-1\) रखने पर \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\) और \(a_4=47\) मिलते हैं। विकल्प D केवल समान प्रथम अंतर वाले रैखिक अनुक्रम के लिए होता है। परीक्षा टिप: स्थिर दूसरे अंतर मिलने पर पहले \(n^2\) वाले पद की जाँच करें। / The successive differences are \(9,15,21\), and their second differences are constant: \(6,6\). Hence the rule is quadratic, with coefficient of \(n^2\) equal to \(6/2=3\). Substituting in \(a_n=3n^2-1\) gives \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\), and \(a_4=47\). Option D is linear and would require equal first differences. Exam tip: constant second differences usually indicate a quadratic sequence rule.
\(a_n=5n^2+2n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(7,24,51,88\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिया गया स्पष्ट नियम है। \(a_n=3n^2+4n\) में पहला पद 7 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 20 मिलता है, 24 नहीं। परीक्षा में नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / For \(a_n=5n^2+2n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(7,24,51,88\), respectively. Hence, it is the required explicit rule. Although \(a_n=3n^2+4n\) gives the first term as 7, it gives 20, not 24, when \(n=2\). Exam tip: test a rule using at least the first three terms.
D. दी गई सीमित जानकारी से सामान्य पद को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता।/The general term cannot be determined uniquely from the given finite information.
Explanation
Simple Explanation
केवल चार पद दिए होने पर अनुक्रम का सामान्य पद अद्वितीय रूप से निर्धारित नहीं होता। उदाहरण के लिए, विकल्प C में दिया बहुपद \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,15,63,195\) देता है, लेकिन इसके अलावा भी अनेक नियम इन्हीं चार पदों को दे सकते हैं। विकल्प A केवल पहले दो पदों के लिए सही है; \(n=3\) पर यह \(53\) देता है, \(63\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद चुनने से पहले उसे दिए गए सभी पदों से जाँचें और देखें कि नियम निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी दी गई है या नहीं। / With only four given terms, the general term of a sequence is not uniquely determined. For example, the polynomial in option C gives \(1,15,63,195\) for \(n=1,2,3,4\), but many other rules can also produce these same four terms. Option A fits only the first two terms; at \(n=3\), it gives \(53\), not \(63\). Exam tip: Test a proposed rule against every listed term and check whether enough information is available to define a unique pattern.
पहले तीन पदों के लिए क्रमशः n=1, 2 और 3 रखें। तब a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18 तथा a_3=4(3)2-3(3)+8=35। इसलिए सही क्रम (9,18,35) है। विकल्प (9,20,39) में पहला पद सही है, लेकिन n=2 और n=3 पर गणना गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Substitute n=1, 2, and 3 successively. This gives a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18, and a_3=4(3)2-3(3)+8=35. Hence, the correct sequence is (9,18,35). Option (9,20,39) has the correct first term, but its calculations for n=2 and n=3 are incorrect. Exam tip: substitute each value of n separately, carrying out squaring and multiplication first.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(4,6,8\) हैं और द्वितीय अंतर \(2,2\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n^2+n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,8,14,22\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(n^2+3\) से पहला पद \(4\) मिलता है, लेकिन दूसरा पद \(7\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर होने पर पहले कुछ पद रखकर द्विघात नियम की जाँच करें। / The first differences are \(4,6,8\), and the second differences are constant: \(2,2\). Hence, the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n+2\) gives \(4,8,14,22\), respectively. Although \(n^2+3\) gives the first term as \(4\), it gives \(7\) as the second term, so it is incorrect. Exam tip: when second differences are constant, test a quadratic rule using the first few terms.
दिया है: \(n^2+5n=126\)। अतः \(n^2+5n-126=0\), जिसे \((n-9)(n+14)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(n=9\) या \(n=-14\) मिलता है। अनुक्रम में पद संख्या \(n\) धनात्मक होती है, इसलिए \(n=9\) सही है। \(n=8\) रखने पर मान \(104\) आता है, 126 नहीं। परीक्षा टिप: पहले सभी पदों को एक तरफ लाकर द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें। / Given \(n^2+5n=126\), we get \(n^2+5n-126=0\). Factoring gives \((n-9)(n+14)=0\), so \(n=9\) or \(n=-14\). Since a term position \(n\) in a sequence is positive, \(n=9\) is correct. For example, \(n=8\) gives 104, not 126. Exam tip: bring all terms to one side and factor the quadratic expression.
छह अंतरों में परिवर्तन (-36) है इसलिए (d=-6), अतः \(a_n=31-6n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over six gaps is (-36), so (d=-6), hence \(a_n=31-6n\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,10,17,28) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,10,17,28). Do not forget to add both the power part and the linear part.
दिया है कि \(a_n=4n^2+3\)। अतः \(a_3=4(3)^2+3=39\) और \(a_5=4(5)^2+3=103\)। इसलिए \(a_3+a_5=39+103=142\)। विकल्प 140 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब वर्ग करने या जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले प्रत्येक दिए गए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पद निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+3\), \(a_3=4(3)^2+3=39\) and \(a_5=4(5)^2+3=103\). Therefore, \(a_3+a_5=39+103=142\). A value such as 140 can result from an error while squaring or adding. Exam tip: substitute each required value of \(n\) separately into the general term before finding their sum.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(12,25,42,63\) प्राप्त होते हैं। साथ ही प्रथम अंतर \(13,17,21\) हैं और द्वितीय अंतर \(4,4\) स्थिर है, इसलिए नियम द्विघात होना चाहिए। विकल्प C के पहले दो पद सही हैं, लेकिन \(n=3\) पर वह \(40\) देता है, \(42\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए केवल पहला पद नहीं, कम-से-कम तीन पद रखकर सत्यापित करें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(12,25,42,63\), respectively. Also, the first differences are \(13,17,21\), so the second differences are constant at \(4\); this supports a quadratic rule. Option C matches the first two terms but gives \(40\), not \(42\), when \(n=3\). Exam tip: test a proposed rule with at least three terms, not just the first term.
(8p+7=71) से (8p=64) और (p=8)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (8p+7=71), (8p=64) and (p=8). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
दिए गए नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14 और a_3=3(3)2-2(3)+6=27 मिलता है। इसलिए सही क्रम (7, 14, 27) है। विकल्प D का पहला पद सही है, लेकिन n=2 रखने पर 16 नहीं, 14 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: पद निकालते समय n के प्रत्येक मान को पूरे व्यंजक में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting n=1, 2, and 3 into the rule gives a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14, and a_3=3(3)2-2(3)+6=27. Hence, the correct sequence is (7, 14, 27). Option D has the correct first term, but for n=2 the value is 14, not 16. Exam tip: substitute each value of n carefully into the entire expression.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 207 है। 213 तब मिलता यदि \(3n\) वाला भाग घटाया न जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद के लिए पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ हल करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\). Therefore, 207 is the correct option. The value 213 would result from not subtracting the \(3n\) term, so it is incorrect. Exam tip: For a term of a sequence, substitute the value of \(n\) everywhere first, then evaluate powers and the remaining operations.
\(a_6=23\) और \(b_4=24\), इसलिए योग (47) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान रखें। / \(a_6=23\) and \(b_4=24\), so the sum is (47). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\)। अतः सही उत्तर 324 है। 216 प्राप्त करने में प्रायः \(3^3\) लेकर घात \(n-1\) को गलत गिना जाता है। परीक्षा टिप: पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) का मान निकालें, फिर घात हल करें। / For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\). Therefore, 324 is correct. The value 216 can result from incorrectly using \(3^3\) and miscounting the exponent \(n-1\). Exam tip: after substituting the term number, evaluate \(n-1\) before calculating the power.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,10,18,28). Direct substitution is easy in a product-form rule.
दिया गया नियम है \(a_n=4n^2-5n+2\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 116 है। 112 प्राप्त हो सकता है यदि वर्ग वाले पद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n^2\) निकालें, फिर गुणा और शेष संक्रियाएँ करें। / The rule is \(a_n=4n^2-5n+2\). Substituting \(n=6\), \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\). Therefore, 116 is the correct answer. A value such as 112 can result from an error while evaluating the squared term. Exam tip: calculate \(n^2\) first, then perform multiplication and the remaining operations.
पहला पद (5) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। समानांतर अनुक्रम में गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (5) and the common difference is (7), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). In an arithmetic sequence the coefficient is the common difference.
क्रमागत पदों के अंतर \(14,22,30\) हैं और इनके द्वितीय अंतर \(8\) हैं। अतः अनुक्रम द्विघात रूप का है तथा \(n^2\) का गुणांक \(8/2=4\) होगा। \(a_n=4n^2+2n\) रखने पर \(n=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः \(6,20,42,72\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में पहला पद सही है, पर \(n=2\) पर वह \(16\) देता है, \(20\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद चुनने से पहले उसे कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The first differences are \(14,22,30\), and the second differences are constant at \(8\). Hence the sequence is quadratic, with coefficient of \(n^2\) equal to \(8/2=4\). Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=4n^2+2n\) gives \(6,20,42,72\), respectively. Option B matches the first term but gives \(16\), not \(20\), when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(a_5=99\) और \(a_2=8\), इसलिए योग (107) है। परीक्षा में वर्गीय सूत्र में चिह्न सावधानी से रखें। / \(a_5=99\) and \(a_2=8\), so the sum is (107). In exams, handle signs carefully in a quadratic formula.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=3\cdot2^n-n\) से क्रमशः \(5,10,21,44\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(n=1\) पर मान 3 आता है, इसलिए वह अनुक्रम का पहला पद भी नहीं देता। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर सत्यापित करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=3\cdot2^n-n\) gives \(5,10,21,44\), respectively. Hence, option A is correct. Option C gives 3 when \(n=1\), so it does not even produce the first term. Exam tip: verify an explicit rule by checking at least the first three terms.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=3\cdot2^5-5=3\cdot32-5=96-5=91\)। इसलिए सही उत्तर 91 है। 89 प्राप्त हो सकता है यदि घटाने में गलती से 7 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: पहले घात \(2^5\) निकालें, फिर गुणा और अंत में \(n\) घटाएँ। / Substitute \(n=5\): \(a_5=3\cdot2^5-5=3\cdot32-5=96-5=91\). Therefore, the correct answer is 91. A value such as 89 can result from subtracting the wrong value instead of 5. Exam tip: evaluate the exponent first, then multiply, and finally subtract \(n\).
\(4n^2+3n+2\) से (9,24,47,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+3n+2\) gives (9,24,47,78). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
