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450 questions tagged with explicit-rule.
If \(a_n=4n^2+3n+2\), what is the value of \(a_4-a_1\)?
B. (69)
\(a_4=78\) और \(a_1=9\), इसलिए अंतर (69) है। परीक्षा में अंतिम घटाव से पहले दोनों मान जाँचें। / \(a_4=78\) and \(a_1=9\), so the difference is (69). In exams, check both values before the final subtraction.
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What is the general term of the sequence \(\frac{7}{3},6,11,\frac{52}{3},\ldots\)?
A. \(a_n=\frac{2n^2+5n}{3}\)
\(\frac{2n^2+5n}{3}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{2n^2+5n}{3}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
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If \(a_n=\frac{2n^2+5n}{3}\), what is the value of \(a_6\)?
B. 34
\(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{2(6)^2+5(6)}{3}=\frac{2\times36+30}{3}=\frac{72+30}{3}=\frac{102}{3}=34\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 34 है। \(36\) जैसा उत्तर प्रायः पूरे अंश को 3 से सही ढंग से विभाजित न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात, गुणा, जोड़ और अंत में भाग के क्रम का पालन करें। / Substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{2(6)^2+5(6)}{3}=\frac{2\times36+30}{3}=\frac{72+30}{3}=\frac{102}{3}=34\). Hence, 34 is the correct option. An answer such as 36 can result from not dividing the complete numerator correctly by 3. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then follow the order of operations—powers, multiplication, addition, and finally division.
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Which general term is correct for the sequence \(5,18,35,56,\ldots\)?
A. \(a_n=2n^2+7n-4\)
सही सामान्य पद \(a_n=2n^2+7n-4\) है। जाँचने पर \(n=1\) के लिए \(a_1=5\), \(n=2\) के लिए \(a_2=18\), तथा \(n=3\) के लिए \(a_3=35\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(13n-8\) में पहला और दूसरा पद सही आ सकते हैं, लेकिन \(n=3\) पर यह \(31\) देता है, जो अनुक्रम के \(35\) से भिन्न है। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct general term is \(a_n=2n^2+7n-4\). Substituting \(n=1\), \(2\), and \(3\) gives \(a_1=5\), \(a_2=18\), and \(a_3=35\), respectively. The distractor \(13n-8\) may match the first two terms, but for \(n=3\) it gives \(31\), not \(35\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
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If \(a_n=2n^2+7n-4\), what is the value of \(a_6\)?
C. 110
दिया है कि \(a_n=2n^2+7n-4\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=2(6)^2+7(6)-4=2\times36+42-4=72+42-4=110\)। इसलिए सही उत्तर 110 है। 108 प्राप्त हो सकता है यदि \(7\times6\) की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें और घात वाले भाग की गणना पहले करें। / Given \(a_n=2n^2+7n-4\), substitute \(n=6\): \(a_6=2(6)^2+7(6)-4=2\times36+42-4=72+42-4=110\). Therefore, the correct answer is 110. The value 108 may result from an error while calculating \(7\times6\). Exam tip: substitute the term number carefully and evaluate the power term first.
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What is the general term of the sequence \(3,21,119,617,\ldots\)?
A. \(a_n=5^n-2n\)
\(5^n-2n\) से (3,21,119,617) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी जाँचें। / \(5^n-2n\) gives (3,21,119,617). In exams, also check subtraction of a linear term from a power.
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If \(a_n=5^n-2n\), what is the value of \(a_3\)?
B. 119
दिया है कि \(a_n=5^n-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=5^3-2(3)=125-6=119\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 119 है। 121 तब मिल सकता है जब \(2n\) के स्थान पर गलती से 4 घटाया जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय हर जगह \(n\) के स्थान पर दिया गया क्रमांक ही रखें। / Given \(a_n=5^n-2n\). Substituting \(n=3\), \(a_3=5^3-2(3)=125-6=119\). Therefore, 119 is correct. The value 121 may result from incorrectly subtracting 4 instead of \(2n=6\). Exam tip: substitute the required term number for \(n\) in every part of the rule.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(5,19,45,83,\ldots\)?
A. \(a_n=6n^2-4n+3\)
\(6n^2-4n+3\) से (5,19,45,83) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(6n^2-4n+3\) gives (5,19,45,83). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
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If \(a_n=6n^2-4n+3\), which statement is correct?
A. \(a_2=19\) और \(a_3=45\)
दिए गए नियम में \(n=2\) रखने पर \(a_2=6(2)^2-4(2)+3=24-8+3=19\) मिलता है। इसी प्रकार \(n=3\) रखने पर \(a_3=6(3)^2-4(3)+3=54-12+3=45\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) और विकल्प C में \(a_3\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Substituting \(n=2\) into the rule gives \(a_2=6(2)^2-4(2)+3=24-8+3=19\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=6(3)^2-4(3)+3=54-12+3=45\). Hence, option A is correct. Option B has an incorrect value of \(a_2\), while option C has an incorrect value of \(a_3\). Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and simplify carefully.
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In the sequence \(5,17,29,41,\ldots\), which term is (149)?
B. तेरहवाँ पद(13)th term
इसका नियम \(a_n=12n-7\) है और (12n-7=149) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=12n-7\), and (12n-7=149) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
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If \(a_n=12n-7\), what is the average of the first five terms?
A. (29)
पहले पाँच पद (5,17,29,41,53) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (5,17,29,41,53), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
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What is the general term of the sequence \(3,12,55,240,\ldots\)?
A. \(a_n=4^n-n^2\)
\(4^n-n^2\) से (3,12,55,240) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से वर्ग घटाने वाले नियम भी जाँचें। / \(4^n-n^2\) gives (3,12,55,240). In exams, also check rules where a square is subtracted from a power.
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If \(a_n=4^n-n^2\), what is the value of \(a_3\)?
C. 55
यहाँ n=3 रखने पर a_3=43-32=64-9=55 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 55 है। 53 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब घात या वर्ग की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान सूत्र के प्रत्येक स्थान पर रखें, फिर घात और वर्ग निकालें। / Substitute n=3: a_3=43-32=64-9=55. Therefore, 55 is the correct option. An answer such as 53 may result from an error in evaluating the power or the square. Exam tip: substitute the value of n in every part of the rule before calculating powers and squares.
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Which general term is correct for the sequence \(\frac{5}{2},7,\frac{27}{2},22,\ldots\)?
A. (a_n=\frac{n(2n+3)}{2})
(\frac{n(2n+3)}{2}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / (\frac{n(2n+3)}{2}) gives the given terms. In exams, test fractional terms using small (n).
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What is the general term of the sequence \(84,78,72,66,\ldots\)?
B. \(a_n=90-6n\)
(n=1) पर (84) और (n=2) पर (78) मिलता है, इसलिए \(a_n=90-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (84), and at (n=2) it gives (78), so \(a_n=90-6n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
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If \(a_n=90-6n\), what is the value of \(a_3+a_{10}\)?
C. (102)
\(a_3=72\) और \(a_{10}=30\), इसलिए योग (102) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_3=72\) and \(a_{10}=30\), so the sum is (102). In exams, find both terms carefully in a decreasing formula.
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If \(a_n=n^3+n^2\), what is \(a_5:a_3\)?
B. (25:6)
\(a_5=150\) और \(a_3=36\), इसलिए सरल अनुपात (25:6) है। परीक्षा में अनुपात को सरल जरूर करें। / \(a_5=150\) and \(a_3=36\), so the simplified ratio is (25:6). In exams, always simplify the ratio.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(1,14,51,124,\ldots\)?
B. \(a_n=2n^3-n\)
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^3-n\) से क्रमशः \(1,14,51,124\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। निकट विकल्प \(n^3+1\) में \(n=2\) रखने पर 9 मिलता है, जबकि दूसरा पद 14 है। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2n^3-n\) gives \(1,14,51,124\), respectively. Hence, option B is correct. The close distractor \(n^3+1\) gives 9 when \(n=2\), not the required second term 14. Exam tip: test an explicit rule using at least the first three values of \(n\).
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A. \(a_n=7-4n\)
\(a_n=7-4n\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[7-4(n+1)]-(7-4n)=-4\), जो हर \(n\) के लिए अचर और शून्येतर है। इसलिए यह समांतर श्रेणीक्रम है। विकल्प B में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: AP के स्पष्ट नियम में \(n\) की घात 1 होती है। / For \(a_n=7-4n\), \(a_{n+1}-a_n=[7-4(n+1)]-(7-4n)=-4\), which is constant and non-zero for every \(n\). Hence it is an AP. In option B, the difference changes with \(n\). Exam tip: an AP has an nth-term rule linear in \(n\).
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What is the general term of the sequence \(2,12,26,44,\ldots\)?
A. \(a_n=3n^2+n-2\)
\(3n^2+n-2\) से (2,12,26,44) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(3n^2+n-2\) gives (2,12,26,44). In exams, choose a quadratic rule by checking second differences.
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If \(a_n=3n^2+n-2\), what is the sum of the first three terms?
D. 42
दिया गया नियम है a_n=3n-2+n-2। अतः a_1=3(1)2+1-2=2, a_2=3(2)2+2-2=12 तथा a_3=3(3)2+3-2=28। इसलिए पहले तीन पदों का योग 2+12+28=42 है। 40 वाला विकल्प गलत है क्योंकि तीसरा पद 26 नहीं, 28 होता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर पहले पद ज्ञात करें, फिर उनका योग लें। / Using a_n=3n-2+n-2: a_1=3(1)2+1-2=2, a_2=3(2)2+2-2=12, and a_3=3(3)2+3-2=28. Therefore, the sum of the first three terms is 2+12+28=42. Option 40 is incorrect because the third term is 28, not 26. Exam tip: substitute each value of n separately before adding the terms.
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Which general term is correct for the sequence \(2,7,17,37,\ldots\)?
A. \(a_n=5\cdot2^{n-1}-3\)
\(5\cdot2^{n-1}-3\) से (2,7,17,37) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(5\cdot2^{n-1}-3\) gives (2,7,17,37). In exams, also check constant subtraction in geometric forms.
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If \(a_n=5\cdot2^{n-1}-3\), what is the value of \(a_6\)?
B. 157
\(n=6\) रखने पर \(a_6=5\cdot2^{6-1}-3=5\cdot2^5-3=5\cdot32-3=157\)। इसलिए सही उत्तर 157 है। \(153\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, जो अंतिम \(-3\) को जोड़ने या गलत गणना करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घातांक \(n-1\) में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Substituting \(n=6\), \(a_6=5\cdot2^{6-1}-3=5\cdot2^5-3=5\cdot32-3=157\). Hence, 157 is correct. The close distractor 153 can result from mishandling the final \(-3\) or making an arithmetic error. Exam tip: substitute the term number into the exponent \(n-1\) first, then simplify step by step.
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If \(a_n=3^n-2n+1\), what is the value of \(a_4\)?
C. 74
दिया है कि \(a_n=3^n-2n+1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4-2(4)+1=81-8+1=74\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 74 है। 72 तब मिलता यदि अंतिम \(+1\) को छोड़ दिया जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय \(n\) के स्थान पर मान रखने के बाद घात और कोष्ठक वाले गुणन को ध्यान से हल करें। / Given \(a_n=3^n-2n+1\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4-2(4)+1=81-8+1=74\). Therefore, 74 is the correct answer. The value 72 would result from omitting the final \(+1\), so it is incorrect. Exam tip: After substituting the term number, evaluate the exponent and multiplication in brackets carefully.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(5,10,17,28,\ldots\)?
A. \(a_n=2^n+3n\)
\(2^n+3n\) से (5,10,17,28) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त (n)-वाला भाग भी देखें। / \(2^n+3n\) gives (5,10,17,28). In exams, also check the extra (n)-part in a power rule.
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If \(a_n=n^2+1\), which term is equal to (101)?
C. \(n=10\)
दिया है \(a_n=n^2+1\)। \(a_n=101\) रखने पर \(n^2+1=101\), अतः \(n^2=100\) और \(n=10\)। इसलिए 101 अनुक्रम का 10वाँ पद है। यद्यपि समीकरण में \(n=-10\) भी मिलता है, पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए उसे नहीं लेते। परीक्षा टिप: पहले स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाएँ, फिर प्राप्त पूर्ण वर्ग का वर्गमूल लें। / Given \(a_n=n^2+1\), set \(a_n=101\). Then \(n^2+1=101\), so \(n^2=100\) and \(n=10\). Hence, 101 is the 10th term of the sequence. Although the equation also gives \(n=-10\), a term number must be a positive integer, so it is rejected. Exam tip: move the constant term first, then take the square root of the resulting perfect square.
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What is the general term of the sequence \(2,5,10,17,\ldots\)?
A. \(a_n=n^2+1\)
यहाँ पदों को \(n=1,2,3,4\) के लिए लें। \(n^2\) के मान \(1,4,9,16\) हैं; प्रत्येक में 1 जोड़ने पर \(2,5,10,17\) प्राप्त होते हैं। अतः \(a_n=n^2+1\) है। \(a_n=n^2+n\) निकट का विकल्प है, पर \(n=2\) पर यह 6 देता है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / Take \(n=1,2,3,4\). The values of \(n^2\) are \(1,4,9,16\); adding 1 gives \(2,5,10,17\). Hence, \(a_n=n^2+1\). The close distractor \(a_n=n^2+n\) gives 6 when \(n=2\), not 5. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
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In the sequence \(6,15,24,33,\ldots\), which term is (150)?
B. सोलहवाँ पद(16)th term
इसका नियम \(a_n=9n-3\) है और (9n-3=150) से (n=17) नहीं, (n=17) मिलता है; इसलिए सही पद सत्रहवाँ है। / Its rule is \(a_n=9n-3\), and (9n-3=150) gives (n=17), so the correct term is the (17)th term.
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If \(a_n=9n+2\), which term is equal to (146)?
C. (n=16)
(9n+2=146) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (9n+2=146), we get (n=16). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(120,112,104,96,\ldots\)?
B. \(a_n=128-8n\)
(n=1) पर (120) और (n=2) पर (112) मिलता है, इसलिए \(a_n=128-8n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (120), and at (n=2) it gives (112), so \(a_n=128-8n\). In exams, keep the decreasing difference negative.
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