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A. यह एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्वांतर \(-4\) है/It is an arithmetic progression with common difference \(-4\).
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[12-4(n+1)]-(12-4n)=-4\) सभी \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है और इसका सार्वांतर \(-4\) है, \(4\) नहीं। परीक्षा टिप: क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / \(a_{n+1}-a_n=[12-4(n+1)]-(12-4n)=-4\), which is constant for every \(n\). Hence it is an arithmetic progression with common difference \(-4\), not \(4\). Exam tip: check the difference of consecutive terms.
\(4n^2-n+1\) से (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=49\) और \(a_2=5\), इसलिए योग (54) है। परीक्षा में योग से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=49\) and \(a_2=5\), so the sum is (54). In exams, calculate both terms separately before adding.
दिया है कि \(a_n=(2n-1)^2\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(2\times5-1)^2=(10-1)^2=9^2=81\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 81 है। 64 तब मिलता यदि कोष्ठक का मान 8 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=(2n-1)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(2\times5-1)^2=(10-1)^2=9^2=81\). Hence, 81 is the correct option. The value 64 would require the expression inside the square to be 8, which it is not. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, and then evaluate the exponent.
\(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\) है। परीक्षा में पहले भिन्न भाग सरल करें और फिर स्थिर संख्या जोड़ें। / \(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\). In exams, simplify the fraction first and then add the constant.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(7,13,19\) हैं और द्वितीय अंतर \(6,6\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2-2n+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,9,22,41\) प्राप्त होते हैं। विकल्प C से पहले दो पद तो मिलते हैं, पर \(n=3\) पर यह \(18\) देता है, \(22\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर \(a_n=an^2+bn+c\) का रूप जाँचें। / The first differences are \(7,13,19\), and the second differences are constant: \(6,6\). Hence, the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3n^2-2n+1\) gives \(2,9,22,41\), respectively. Option C matches the first two terms but gives \(18\), not \(22\), when \(n=3\). Exam tip: constant second differences usually indicate a rule of the form \(an^2+bn+c\).
\(a_5=98\) और \(a_2=11\), इसलिए अंतर (87) है। परीक्षा में अंतर निकालने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(a_5=98\) and \(a_2=11\), so the difference is (87). In exams, find both terms correctly before subtracting.
सही नियम \(a_n=3n^2+2n\) है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=3+2=5\), \(n=2\) पर \(a_2=12+4=16\), और \(n=3\) पर \(a_3=27+6=33\) मिलता है। रैखिक नियम \(11n-6\) केवल पहले दो पदों से मेल खा सकता है, लेकिन \(n=3\) पर 27 देता है, 33 नहीं। परीक्षा में कम-से-कम तीन पद रखकर स्पष्ट नियम सत्यापित करें। / The correct rule is \(a_n=3n^2+2n\). Checking it gives \(a_1=3+2=5\), \(a_2=12+4=16\), and \(a_3=27+6=33\). The linear rule \(11n-6\) may match the first two terms, but for \(n=3\) it gives 27, not 33. In an exam, test an explicit rule with at least three terms.
विकल्प A के प्रथम अंतर \(3,5,7,9\) हैं और द्वितीय अंतर हमेशा \(2\) है। स्थिर द्वितीय अंतर द्विघात नियम का संकेत है। B में प्रथम अंतर स्थिर है, इसलिए वह रैखिक है। परीक्षा में अंतर-सारणी बनाकर पहचानें। / In option A, the first differences are \(3,5,7,9\), so the second difference is constantly \(2\). A constant second difference indicates a quadratic rule. Option B has constant first differences and is linear. Exam tip: make a difference table to classify a sequence.
दिए गए पदों के प्रथम अंतर \(7,11,15\) हैं और द्वितीय अंतर \(4\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=2n^2+n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,10,21,36\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में पहला पद \(3\) तो मिलता है, पर दूसरा पद \(8\) आता है, \(10\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The first differences are \(7,11,15\), and the second difference is constant at \(4\), so the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+n\) gives \(3,10,21,36\), respectively. Option A gives the first term as \(3\), but its second term is \(8\), not \(10\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
पाँच अंतरों में परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः \(a_n=21-3n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence \(a_n=21-3n\). From two given terms first find the common difference.
पाँचवाँ पद पाने के लिए नियम में \(n=5\) रखें: \(a_5=(2\times5-1)^2+2=9^2+2=81+2=83\)। इसलिए सही विकल्प 83 है। 81 केवल \(9^2\) का मान है; उसमें नियम के अनुसार 2 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान प्रतिस्थापित करें, फिर कोष्ठक, घात और जोड़ के क्रम में गणना करें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\) in the rule: \(a_5=(2\times5-1)^2+2=9^2+2=81+2=83\). Therefore, 83 is the correct option. The value 81 is only \(9^2\); the additional 2 in the rule must also be included. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify brackets, powers, and addition in order.
विकल्प D में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(10,21,34,49\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^2+8n+1\) है। विकल्प A से पहला पद 10 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 20 मिलता है, 21 नहीं। परीक्षा टिप: यदि क्रम के प्रथम अंतर समान नहीं हैं, तो द्वितीय अंतर देखकर द्विघात रूप \(an^2+bn+c\) की जाँच करें। / For option D, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(10,21,34,49\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^2+8n+1\). Option A gives the first term as 10, but for \(n=2\) it gives 20, not 21. Exam tip: When first differences are not constant, use the second differences to test a quadratic form \(an^2+bn+c\).
दिया है कि \(a_n=3n^2-2n+5\)। \(n=1\) रखने पर \(a_1=3(1)^2-2(1)+5=6\), \(n=2\) पर \(a_2=3(2)^2-2(2)+5=13\), और \(n=3\) पर \(a_3=3(3)^2-2(3)+5=26\) मिलता है। इसलिए पहले तीन पद \((6, 13, 26)\) हैं। विकल्प D में दूसरा पद 14 दिया है, जबकि सही गणना से 13 आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Given \(a_n=3n^2-2n+5\), substitute \(n=1\), \(2\), and \(3\): \(a_1=3(1)^2-2(1)+5=6\), \(a_2=3(2)^2-2(2)+5=13\), and \(a_3=3(3)^2-2(3)+5=26\). Thus, the first three terms are \((6, 13, 26)\). Option D has 14 as the second term, but correct substitution gives 13. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately, applying the square and multiplication first.
दिया है: n² + 4n = 77। अतः n² + 4n − 77 = 0, यानी (n − 7)(n + 11) = 0। इससे n = 7 या n = −11 मिलता है। अनुक्रम में पद संख्या n धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए n = 7 सही है। n = −11 बीजीय हल है, लेकिन पद संख्या नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में समीकरण हल करने के बाद n के स्वीकार्य मान की जाँच अवश्य करें। / Given n² + 4n = 77, we get n² + 4n − 77 = 0, or (n − 7)(n + 11) = 0. Thus, n = 7 or n = −11. Since a sequence index must be a positive integer, n = 7 is valid. Although −11 is an algebraic root, it cannot represent a term position. Exam tip: after solving, always check whether the value is an allowed sequence index.
पाँच अंतरों में कुल परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n)। पहले समान अंतर निकालें। / The total change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n). Find the common difference first.
दिया है: \(a_n=3^n+2n\)। \(n=1\) पर \(a_1=3^1+2(1)=5\), \(n=2\) पर \(a_2=3^2+2(2)=13\), और \(n=3\) पर \(a_3=3^3+2(3)=33\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((5, 13, 33)\) हैं। विकल्प C में दूसरा पद गलत है; \(3^2+4=13\), 14 नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए घातांक वाले भाग \(3^n\) और रैखिक भाग \(2n\), दोनों की गणना करके जोड़ें। / Given \(a_n=3^n+2n\): for \(n=1\), \(a_1=3^1+2(1)=5\); for \(n=2\), \(a_2=3^2+2(2)=13\); and for \(n=3\), \(a_3=3^3+2(3)=33\). Therefore, the first three terms are \((5, 13, 33)\). Option C has an incorrect second term because \(3^2+4=13\), not 14. Exam tip: evaluate and add both parts, \(3^n\) and \(2n\), for every value of \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर नियम \(a_n=n^2+2\) से क्रमशः \(3,6,11,18\) प्राप्त होते हैं। इसके क्रमागत अंतर \(3,5,7\) हैं, जो विषम संख्याएँ हैं; इसलिए यह वर्ग-आधारित अनुक्रम है। विकल्प \(a_n=n^2+1\) में पहला पद \(2\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब दूसरे अंतर स्थिर हों या अंतर क्रमिक विषम संख्याएँ हों, तो \(n^2\) वाले नियम की जाँच करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+2\) gives \(3,6,11,18\), respectively. The successive differences are \(3,5,7\), which are odd numbers, indicating a square-based sequence. In contrast, \(a_n=n^2+1\) gives the first term as \(2\), so it is not correct. Exam tip: when second differences are constant or first differences are consecutive odd numbers, test a rule involving \(n^2\).
दिया है \(a_n=3n^2+4\)। अतः \(a_2=3(2)^2+4=16\) और \(a_5=3(5)^2+4=79\)। इसलिए \(a_2+a_5=16+79=95\)। \(93\) जैसे विकल्प में सामान्यतः किसी पद के वर्ग या जोड़ में गलती होती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=3n^2+4\), \(a_2=3(2)^2+4=16\) and \(a_5=3(5)^2+4=79\). Therefore, \(a_2+a_5=16+79=95\). A value such as \(93\) usually results from an error while squaring or adding a term. Exam tip: evaluate each required term separately before adding them.
दिया है कि \(a_n=mn-4\)। इसलिए n=6 रखने पर \(a_6=6m-4\) होगा। अब (6m-4=50), अतः (6m=54) और (m=9)। इसलिए सही विकल्प 9 है। उदाहरण के लिए, m=8 लेने पर \(a_6=44\) मिलेगा, जो 50 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का मान दिया हो तो सामान्य पद के नियम में उसी पद का सूचकांक रखें। / Given \(a_n=mn-4\), put n=6 to get \(a_6=6m-4\). Thus, (6m-4=50), so (6m=54) and (m=9). Hence, 9 is the correct option. For example, if m=8, then \(a_6=44\), not 50. Exam tip: When a particular term is given, substitute its index in the general-term rule.
दिया है \(a_n=4^n-2\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3-2=64-2=62\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(62\) है। \(64\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह केवल \(4^3\) का मान है; उसमें से \(2\) घटाना अभी शेष है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4^n-2\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3-2=64-2=62\). Hence, \(62\) is correct. The close distractor \(64\) is only the value of \(4^3\); the subtraction of \(2\) must still be done. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent before subtracting.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+3n\) से क्रमशः \(4,10,18,28\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम विकल्प A है। विकल्प C से पहले दो पद \(4,10\) तो मिलते हैं, लेकिन तीसरा पद \(20\) आता है, \(18\) नहीं। परीक्षा टिप: अनुक्रम के नियम में कम-से-कम तीन या चार पद रखकर उसका सत्यापन करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+3n\) gives \(4,10,18,28\), respectively. Therefore, option A is correct. Option C gives the first two terms as \(4,10\), but its third term is \(20\), not \(18\). Exam tip: Verify a proposed sequence rule using at least three or four terms.
\(a_5=13\) और \(b_3=19\), इसलिए योग (32) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान से रखें। / \(a_5=13\) and \(b_3=19\), so the sum is (32). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,12,24,40) मिलते हैं। गुणन रूप में दिए नियम में सीधे पद-संख्या रखें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,12,24,40). In a product-form rule substitute the term number directly.
दिया है कि \(a_n=3n^2+2n\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=3(4)^2+2(4)=3\times16+8=48+8=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 54 एक संभावित गलती है, जो वर्ग करने या गुणा करने में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: घात वाले व्यंजक में पहले \(n^2\) निकालें, फिर गुणा और जोड़ करें। / Given \(a_n=3n^2+2n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=3(4)^2+2(4)=3\times16+8=48+8=56\). Therefore, 56 is correct. The option 54 may result from an error while squaring or multiplying. Exam tip: In expressions with powers, evaluate \(n^2\) first, then multiply and add.
क्रमागत अंतर \(8,10,12\) हैं और इनके अंतर \(2\) स्थिर हैं, इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n^2+5n+4\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(10,18,28,40\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A केवल पहले दो पदों के लिए सही दिखता है, लेकिन \(n=3\) पर \(26\) देता है, जबकि तीसरा पद \(28\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद चुनने से पहले उसे कम-से-कम पहले तीन पदों पर जाँचें। / The consecutive differences are \(8,10,12\), and their second differences are constant at \(2\), so the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+5n+4\) gives \(10,18,28,40\), respectively. Option A matches only the first two terms; at \(n=3\), it gives \(26\), not \(28\). Exam tip: always test a proposed general term using at least the first three terms.
इसका नियम \(a_n=12n-5\) है और (12n-5=151) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=12n-5\) and (12n-5=151) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
पहले पाँच पद (7,19,31,43,55) हैं और औसत (31) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (7,19,31,43,55) and the average is (31). In exams divide the sum by the number of terms.
तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नियम में n=3 रखें: \(a_3=5^3-3=125-3=122\)। इसलिए सही उत्तर 122 है। 125 केवल \(5^3\) का मान है; इसमें से 3 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद संख्या रखने के बाद घात और अन्य संक्रियाओं को क्रम से हल करें। / To find the third term, substitute n=3 in the rule: \(a_3=5^3-3=125-3=122\). Therefore, 122 is correct. The value 125 is only \(5^3\); 3 must also be subtracted. Exam tip: Substitute the term number into the general rule first, then evaluate powers and remaining operations in order.
(\frac{n(3n+2)}{4}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / (\frac{n(3n+2)}{4}) gives the given terms. In exams match fractional terms with options too.
