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\(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{4(3\times4+2)}{4}=\frac{4(14)}{4}=14\)। अतः सही उत्तर \(14\) है। \(13\) विकल्प \(3n+2\) का मान गलत निकालने पर आ सकता है। परीक्षा सुझाव: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक के भीतर की गणना करें। / Putting \(n=4\), \(a_4=\frac{4(3\times4+2)}{4}=\frac{4(14)}{4}=14\). Hence, the correct answer is \(14\). Option \(13\) may result from calculating \(3n+2\) incorrectly. Exam tip: substitute the value of \(n\) first and evaluate the expression inside the brackets carefully.
(n=1) पर (88) और (n=2) पर (81) मिलता है इसलिए \(a_n=95-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (88) and at (n=2) it gives (81) so \(a_n=95-7n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_4=67\) और \(a_8=39\) इसलिए योग (106) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_4=67\) and \(a_8=39\) so the sum is (106). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
\(a_n=3n^3-n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,22,78,188\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^3\) से पहला पद 2 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन पद रखकर विकल्प जाँचें। / For \(a_n=3n^3-n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,22,78,188\), respectively, so it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 16, not 22. Exam tip: test at least the first two or three values of \(n\) when checking a proposed general term.
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) स्थिर है, इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant, so it is an AP. For \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: check consecutive-term differences.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+2\) से क्रमशः \(3,10,29,66\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3+2\) है। \(a_n=n^2+2\) में तीसरा पद \(11\) आता है, \(29\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^3+2\) gives \(3,10,29,66\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^3+2\). In contrast, \(a_n=n^2+2\) gives \(11\) as the third term, not \(29\). Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three terms.
दिया है \(a_n=n^3+2\)। \(a_n=66\) रखने पर \(n^3+2=66\), अतः \(n^3=64\)। क्योंकि \(4^3=64\), इसलिए \(n=4\) और \(a_4=66\)। \(n=3\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर \(3^3+2=29\), 66 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर संख्या घटाइए, फिर प्राप्त संख्या का घनमूल पहचानिए। / Given \(a_n=n^3+2\), set \(a_n=66\): \(n^3+2=66\), so \(n^3=64\). Since \(4^3=64\), \(n=4\) and hence \(a_4=66\). The close distractor \(n=3\) gives \(3^3+2=29\), not 66. Exam tip: subtract the constant first, then identify the cube root.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,12,58,248\) प्राप्त होते हैं: \(4^1-2(1)=2\) और \(4^2-2(2)=12\)। इसलिए सही स्पष्ट नियम \(a_n=4^n-2n\) है। विकल्प B केवल रैखिक नियम है, इसलिए इसका दूसरा पद \(6\) होगा, \(12\) नहीं। परीक्षा टिप: स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखकर मिलान करें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,12,58,248\), respectively: \(4^1-2(1)=2\) and \(4^2-2(2)=12\). Hence, the correct explicit rule is \(a_n=4^n-2n\). Option B is only a linear rule, so its second term would be \(6\), not \(12\). Exam tip: test an explicit rule by substituting at least the first three values of \(n\).
दिया है \(a_n=4^n-2n\)। n=3 रखने पर (a_3=43-2(3)=64-6=58) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 58 है। 56 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब 2n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में n का मान रखते समय घात और गुणा, दोनों का अलग-अलग ध्यान रखें। / Given \(a_n=4^n-2n\). Substituting n=3 gives (a_3=43-2(3)=64-6=58). Therefore, 58 is the correct answer. An answer such as 56 may result from evaluating 2n incorrectly. Exam tip: while substituting a value in a general term, evaluate the exponent and multiplication carefully.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2^n+n+1\) से क्रमशः \(4,7,12,21\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यही सामान्य पद है। \(a_n=n^2+3\) से पहले तीन पद \(4,7,12\) मिलते हैं, लेकिन चौथा पद \(19\) आता है, \(21\) नहीं। परीक्षा में नियम को कम-से-कम चार दिए गए पदों पर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2^n+n+1\) gives \(4,7,12,21\), respectively. Hence, it is the required general term. Although \(a_n=n^2+3\) gives the first three terms \(4,7,12\), its fourth term is \(19\), not \(21\). Exam tip: verify a proposed rule using at least four given terms.
दिया है कि \(a_n=2^n+n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2^5+5+1=32+5+1=38\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 38 है। 37 प्राप्त करना सामान्यतः \(+1\) को छोड़ देने से होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2^n+n+1\), substitute \(n=5\): \(a_5=2^5+5+1=32+5+1=38\). Hence, 38 is the correct option. A value of 37 would result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: substitute the value of \(n\) in every part of the rule before simplifying the exponent.
\(5n^2-2\) से (3,18,43,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम जाँचें। / \(5n^2-2\) gives (3,18,43,78). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है कि \(a_n=5n^2-2\)। अतः \(a_3=5(3)^2-2=45-2=43\) और \(a_4=5(4)^2-2=80-2=78\)। इसलिए \(a_3+a_4=43+78=121\)। विकल्प 122 तब मिलता यदि किसी पद या योग में 1 की गणना-त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग निकालें। / Given \(a_n=5n^2-2\), \(a_3=5(3)^2-2=45-2=43\) and \(a_4=5(4)^2-2=80-2=78\). Therefore, \(a_3+a_4=43+78=121\). Option 122 could result from an arithmetic error of 1 in a term or in the addition. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and calculate the square first.
पहला पद (13) और अंतर (11) है इसलिए \(a_n=11n+2\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (13) and the difference is (11) so \(a_n=11n+2\). In exams find the constant part from the first term.
दिया है कि प्रत्येक पद का नियम a_n=11n+2 है। अतः a_3=11(3)+2=35 तथा a_7=11(7)+2=79। इसलिए a_3+a_7=35+79=114। 112 तब मिल सकता है जब स्थिर पद 2 को एक बार छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: अलग-अलग पद निकालते समय n के स्थान पर सही पद-संख्या रखकर फिर योग करें। / The rule for the terms is a_n=11n+2. Thus, a_3=11(3)+2=35 and a_7=11(7)+2=79. Therefore, a_3+a_7=35+79=114. The value 112 may result from omitting the constant term 2 once. Exam tip: substitute the term number correctly for n in each term before adding them.
\(\frac{3n+2}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{3n+2}{4}\) gives the given terms. In exams match fractional terms using small values of (n).
दिया है \(a_n=\frac{3n+2}{4}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{3(6)+2}{4}=\frac{18+2}{4}=\frac{20}{4}=5\) मिलता है। \(\frac{9}{2}\) तब आ सकता है जब अंश में 2 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से रखें, फिर सरल करें। / Given \(a_n=\frac{3n+2}{4}\), substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{3(6)+2}{4}=\frac{18+2}{4}=\frac{20}{4}=5\). The value \(\frac{9}{2}\) may result if the added 2 in the numerator is missed. Exam tip: substitute the given value of \(n\) carefully before simplifying the expression.
इसका नियम \(a_n=9n-6\) है और (9n-6=111) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=9n-6\) and (9n-6=111) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
A. समांतर श्रेणी; सार्वांतर 5/Arithmetic progression; common difference 5
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) हर पद के लिए स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है और सार्वांतर 5 है, -2 केवल स्थिर पद है। परीक्षा टिप: \(n\) का गुणांक AP का सार्वांतर बताता है। / \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant for every term. Hence it is an AP with common difference 5; -2 is only the constant term. Exam tip: in \(pn+q\), \(p\) is the common difference.
दिया है कि \(a_n=n^2+4n\)। अतः \(a_1=1^2+4(1)=5\), \(a_2=2^2+4(2)=12\) और \(a_3=3^2+4(3)=21\)। इसलिए पहले तीन पदों का योग \(5+12+21=38\) है। \(39\) निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन सही जोड़ 38 ही है। परीक्षा टिप: पहले \(n=1,2,3\) रखकर पद निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=n^2+4n\), we get \(a_1=1^2+4(1)=5\), \(a_2=2^2+4(2)=12\), and \(a_3=3^2+4(3)=21\). Therefore, the sum of the first three terms is \(5+12+21=38\). Although 39 is a close distractor, the correct addition gives 38. Exam tip: substitute \(n=1,2,3\) first, then add the resulting terms.
क्रमागत पदों के अंतर \(10,14,18\) हैं और इनके अंतर \(4,4\) हैं, इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप में होगा। \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^2+4n-3\) से क्रमशः \(3,13,27,45\) प्राप्त होते हैं। \(a_n=10n-7\) केवल पहले दो पदों \(3\) और \(13\) से मेल खाता है, आगे के पदों से नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर देखें। / The consecutive differences are \(10,14,18\), and their second differences are \(4,4\); therefore, the sequence has a quadratic general term. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+4n-3\) gives \(3,13,27,45\), respectively. \(a_n=10n-7\) matches only the first two terms, not the later terms. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
दिया है \(a_n=2n^2+4n-3\)। \(n=2\) रखने पर \(a_2=2(2)^2+4(2)-3=8+8-3=13\)। इसी प्रकार \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^2+4(3)-3=18+12-3=27\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग वाले पद की गणना सावधानी से करें। / Given \(a_n=2n^2+4n-3\). Substituting \(n=2\), \(a_2=2(2)^2+4(2)-3=8+8-3=13\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=2(3)^2+4(3)-3=18+12-3=27\). Therefore, option A is correct. In option B, the value of \(a_2\) is incorrect. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and calculate the squared term carefully.
दिया है कि a_n=5n-2+n। अतः a_4=5(4)2+4=80+4=84 तथा a_2=5(2)2+2=20+2=22। इसलिए a_4:a_2=84:22=42:11। विकल्प 11:42 अनुपात को उलट देता है, जबकि 21:11 में केवल पहले पद को गलत तरीके से सरल किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने से पहले दोनों पदों के मान अलग-अलग ज्ञात करें और फिर दोनों को समान गुणनखंड से सरल करें। / Given a_n=5n-2+n, a_4=5(4)2+4=80+4=84 and a_2=5(2)2+2=20+2=22. Hence, a_4:a_2=84:22=42:11. The ratio 11:42 reverses the terms, while 21:11 simplifies only the first term incorrectly. Exam tip: evaluate both terms separately before reducing a ratio by a common factor.
\(3n^2+4\) से (7,16,31,52) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(3n^2+4\) gives (7,16,31,52). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_n=2n^2-1\) एक द्विघात अनुक्रम है, इसलिए इसके द्वितीय अंतर स्थिर होते हैं; यहाँ वे 4 होंगे। \(5n+2\) के प्रथम अंतर स्थिर होते हैं। परीक्षा टिप: द्विघात पद \(n^2\) देखें। / \(a_n=2n^2-1\) is a quadratic sequence, so its second differences are constant; here they are 4. In \(5n+2\), the first differences are constant instead. Exam tip: look for an \(n^2\) term.
दिया है \(a_n=4\cdot2^{n-1}\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=4\cdot2^{8-1}=4\cdot2^7=4\cdot128=512\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 512 है। 256 प्राप्त करने में घातांक या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पद \(a_n\) निकालते समय पहले \(n\) को घातांक \(n-1\) में रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=4\cdot2^{n-1}\). Substituting \(n=8\), \(a_8=4\cdot2^{8-1}=4\cdot2^7=4\cdot128=512\). Hence, 512 is the correct option. Getting 256 results from an error in the exponent or multiplication. Exam tip: substitute the value of \(n\) into \(n-1\) first, and then simplify.
\(5\cdot3^n\) से (15,45,135,405) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि में आधार और गुणक दोनों जाँचें। / \(5\cdot3^n\) gives (15,45,135,405). In exams check both the base and multiplier in geometric growth.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=3^n-1\)। अतः \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4-1=81-1=80\) होगा। विकल्प 81 में केवल \(3^4\) लिया गया है, लेकिन सूत्र के अनुसार उसमें से 1 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से करें। / The general term is \(a_n=3^n-1\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=3^4-1=81-1=80\). Option 81 represents only \(3^4\), but the formula also requires subtracting 1. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate powers and remaining operations in order.
सामान्य पद \(a_n=3^n-1\) रखने पर \(a_1=3-1=2\), \(a_2=9-1=8\), \(a_3=27-1=26\) और \(a_4=81-1=80\) मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। \(a_n=2^n+n\) में पहला पद 3 आता है, इसलिए वह निकट दिखने पर भी गलत है। परीक्षा में नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पद अवश्य मिलाइए। / Using \(a_n=3^n-1\), we get \(a_1=3-1=2\), \(a_2=9-1=8\), \(a_3=27-1=26\), and \(a_4=81-1=80\). Hence, option A is correct. Although \(a_n=2^n+n\) may look similar, its first term is 3, so it is incorrect. Exam tip: verify a proposed rule with at least the first three terms.
दिया है कि \(a_n=2^n+3\)। इसलिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+3=64+3=67\) मिलता है। विकल्प 65 तब मिलता यदि 3 जोड़ने में त्रुटि हो जाए, जबकि यहाँ 64 में 3 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद का मान निकालते समय पहले दिए गए \(n\) को नियम में प्रतिस्थापित करें, फिर घात का मान ज्ञात करें। / Given \(a_n=2^n+3\), substitute \(n=6\): \(a_6=2^6+3=64+3=67\). Option 65 could result from an addition error; the constant 3 must be added to 64. Exam tip: to find a term from an explicit rule, substitute the term number first and evaluate the exponent carefully.
