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\(9^2+18-2=97\) नहीं बल्कि (n=8) पर (78) और (n=9) पर (97) मिलता है इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। परीक्षा में विकल्पों को सीधे रखकर जाँचें। / Putting (n=9) gives (97), while (n=8) gives (78), so none of the options is correct. In exams check options by direct substitution.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,6,13,22\) प्राप्त होते हैं। अतः सामान्य पद \(a_n=n^2+2n-2\) है। विकल्प C केवल पहले दो पदों के लिए मिलान करता है; \(n=3\) पर यह 11 देता है, जबकि दिया गया तीसरा पद 13 है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम तीन या चार पदों पर \(n\) के मान रखें। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(1,6,13,22\), respectively. Therefore, the general term is \(a_n=n^2+2n-2\). Option C matches only the first two terms; at \(n=3\), it gives 11 instead of 13. Exam tip: verify a proposed general term using at least three or four terms.
\(n=7\) रखने पर \(a_7=\frac{7(7+1)}{2}+3=\frac{7\times8}{2}+3=28+3=31\)। इसलिए सही उत्तर 31 है। 28 निकटतम विकल्प है, पर वह केवल \(\frac{7\times8}{2}\) का मान है; उसमें दिया गया \(+3\) जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में दिए गए \(n\) के स्थान पर सूचकांक रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Substitute \(n=7\): \(a_7=\frac{7(7+1)}{2}+3=\frac{7\times8}{2}+3=28+3=31\). Hence, 31 is correct. The close distractor 28 is only the value of \(\frac{7\times8}{2}\); the given \(+3\) must still be added. Exam tip: Substitute the required index for \(n\) and simplify step by step.
त्रिभुज संख्या में (3) जोड़ने से (4,6,9,13) मिलते हैं। परीक्षा में बढ़ते अंतर (2,3,4) देखकर त्रिभुज संख्या सोचें। / Adding (3) to triangular numbers gives (4,6,9,13). In exams think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
विकल्प A में \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3\) नियत है, इसलिए यह अंकगणितीय श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / In option A, \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3\), which is constant, so it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check consecutive-term differences.
दिया गया सामान्य पद
\(a_n=(n+3)^2\) है। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+3)^2=8^2=64\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 64 है। 81 तब मिलता यदि कोष्ठक का मान 9 होता। परीक्षा टिप: घात लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान अवश्य निकालें। / The general term is \(a_n=(n+3)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(5+3)^2=8^2=64\). Hence, 64 is the correct answer. The value 81 would result only if the quantity inside the bracket were 9. Exam tip: evaluate the expression inside brackets before squaring it.
ये पद \(4^2,5^2,6^2,7^2\) हैं इसलिए (a_n=(n+3)2) है। परीक्षा में स्थानांतरित वर्ग संख्याएँ पहचानें। / These terms are \(4^2,5^2,6^2,7^2\) so (a_n=(n+3)2). In exams recognize shifted square numbers.
इसका नियम \(a_n=7n-2\) है और (7n-2=61) से (n=9) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=7n-2\) and (7n-2=61) gives (n=9). In exams form the general term first to find the term number.
(4n+9=73) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+9=73) we get (n=16). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (70) और (n=2) पर (64) मिलता है इसलिए \(a_n=76-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (70) and at (n=2) it gives (64) so \(a_n=76-6n\). In exams match the first term in a decreasing sequence.
अंतर (9) है और पहला पद (14) है इसलिए \(a_n=9n+5\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (9) and the first term is (14) so \(a_n=9n+5\). In exams take the difference as the coefficient of (n).
\(a_n=5n-2\) का रूप \(pn+q\) है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) स्थिर रहता है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: AP के लिए स्थिर अंतर जाँचें। / \(a_n=5n-2\) has the form \(pn+q\), so \(a_{n+1}-a_n=5\) is constant. For \(n^2+1\), successive differences change. Exam tip: check whether the common difference is constant.
पहला पद (8) और अंतर (5) है इसलिए \(a_n=5n+3\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (8) and the difference is (5) so \(a_n=5n+3\). In exams check the first term by putting (n=1).
दिया है, \(a_n=2n^2+n-1\)। अतः \(a_6=2(6)^2+6-1=72+6-1=77\) और \(a_2=2(2)^2+2-1=8+2-1=9\)। इसलिए \(a_6-a_2=77-9=68\)। विकल्प 72 केवल \(2(6)^2\) है; इसमें \(+6-1\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों पद अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=2n^2+n-1\), \(a_6=2(6)^2+6-1=72+6-1=77\) and \(a_2=2(2)^2+2-1=8+2-1=9\). Therefore, \(a_6-a_2=77-9=68\). The value 72 is only \(2(6)^2\), so it ignores the \(+6-1\) part of the rule. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
समांतर अनुक्रम में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a_4=a_1+3(5)=18\), अतः \(a_1=3\)। इसलिए \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_4=22\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए किसी पद \(a_k\) से \(a_1=a_k-(k-1)d\) निकालकर सामान्य पद जाँचें। / For an arithmetic sequence, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Here, \(a_4=a_1+3(5)=18\), so \(a_1=3\). Hence \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\), making option A correct. In option B, \(a_4=22\), so it cannot be correct. Exam tip: when a term \(a_k\) is given, first find \(a_1=a_k-(k-1)d\), then form the general term.
सही नियम \(a_n=3n^2+2\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,14,29,50\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=3n^2+n\) में \(n=1\) रखने पर \(4\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखिए। / The correct rule is \(a_n=3n^2+2\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,29,50\), respectively. The closest distractor, \(a_n=3n^2+n\), gives \(4\) when \(n=1\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: verify a proposed general rule using at least the first two or three terms.
पहले तीन पदों के लिए n=1, 2, 3 रखें। a₁=2(1)²+2(1)+1=5, a₂=2(2)²+2(2)+1=13 तथा a₃=2(3)²+2(3)+1=25। इसलिए सही क्रम (5, 13, 25) है। विकल्प C में पहला पद सही है, पर n=2 रखने पर 11 नहीं बल्कि 13 मिलता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर घात का मान पहले निकालें। / Substitute n=1, 2, and 3 to obtain the first three terms. a₁=2(1)²+2(1)+1=5, a₂=2(2)²+2(2)+1=13, and a₃=2(3)²+2(3)+1=25. Hence, the correct sequence is (5, 13, 25). Option C has the correct first term, but for n=2 the value is 13, not 11. Exam tip: evaluate the squared term first and substitute each value of n separately.
\(a_n=n^2-2n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,2,5,10\) प्राप्त होते हैं। अतः यही दिया गया सामान्य पद है। विकल्प B से पहला पद \(2\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) से प्रारम्भिक कुछ मान अवश्य रखिए। / For \(a_n=n^2-2n+2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(1,2,5,10\), respectively. Hence, it is the required general term. Option B gives the first term as \(2\), so it cannot represent the sequence. In an exam, verify a proposed general term by substituting the first few values of \(n\).
दिया है: \(n^2+2n=80\)। अतः \(n^2+2n-80=0\), जिसे गुणनखंड करने पर \((n+10)(n-8)=0\) मिलता है। इसलिए \(n=-10\) या \(n=8\) हो सकता है। अनुक्रम में पद-क्रमांक \(n\) धनात्मक पूर्णांक होता है, इसलिए \(n=8\) सही है। \(n=9\) निकट का विकल्प है, पर उसके लिए \(a_9=81+18=99\), 80 नहीं। परीक्षा टिप: पद-क्रमांक वाले प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को स्वीकार करने से पहले जाँचें कि \(n\) का मान प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। / Given \(n^2+2n=80\), we get \(n^2+2n-80=0\). Factoring gives \((n+10)(n-8)=0\), so \(n=-10\) or \(n=8\). Since a sequence index \(n\) is a positive integer, \(n=8\) is valid. Option 9 is a close distractor, but \(a_9=81+18=99\), not 80. Exam tip: for term-position questions, check whether a negative root is allowed before selecting it.
\(a_4-a_1=12\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=4), अतः (a_n=8+(n-1)4=4n+4)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_4-a_1=12\) and there are three gaps, so (d=4), hence (a_n=8+(n-1)4=4n+4). Find the common difference first.
पहले चार पदों के लिए क्रमशः \(n=1,2,3,4\) रखें: \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\) और \(a_4=2^4+4=20\)। इसलिए सही क्रम \((3,6,11,20)\) है। विकल्प C में पहला और चौथा पद सही हैं, लेकिन दूसरे तथा तीसरे पद की गणना गलत है। परीक्षा टिप: हर पद में पहले \(2^n\) निकालें, फिर उसमें \(n\) जोड़ें। / Substitute \(n=1,2,3,4\) respectively: \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\), and \(a_4=2^4+4=20\). Hence, the correct sequence is \((3,6,11,20)\). Option C has the correct first and fourth terms, but its second and third calculations are incorrect. Exam tip: evaluate \(2^n\) first, then add \(n\).
यहाँ पदों का क्रमांक \(n=1,2,3,4,\ldots\) लेने पर \(a_n=n^2-1\) से क्रमशः \(1^2-1=0\), \(2^2-1=3\), \(3^2-1=8\) और \(4^2-1=15\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C से पद \(0,2,4,6,\ldots\) मिलते हैं, इसलिए वह केवल रैखिक नियम है और दिए गए अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले चार पदों में \(n=1,2,3,4\) रखकर नियम को तुरंत जाँचें। / Taking the term number as \(n=1,2,3,4,\ldots\), the rule \(a_n=n^2-1\) gives \(1^2-1=0\), \(2^2-1=3\), \(3^2-1=8\), and \(4^2-1=15\). Hence, option B is correct. Option C gives \(0,2,4,6,\ldots\), which is a linear pattern and does not match the given sequence. Exam tip: substitute \(n=1,2,3,4\) to verify an explicit rule quickly.
दिया है कि \(a_n=2n^2+3\)। अतः \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\) और \(a_4=2(4)^2+3=32+3=35\)। इसलिए \(a_3+a_4=21+35=56\)। विकल्प 52 तब मिल सकता है जब स्थिर पद \(+3\) को दोनों पदों में सही ढंग से शामिल न किया जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=2n^2+3\), \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\) and \(a_4=2(4)^2+3=32+3=35\). Therefore, \(a_3+a_4=21+35=56\). The value 52 may result from not including the constant term \(+3\) correctly in both terms. Exam tip: substitute the value of \(n\) and calculate each term separately before adding.
सही नियम \(a_n=n^2+n+1\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,7,13,21\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में दूसरा पद \(6\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में नियम को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct rule is \(a_n=n^2+n+1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3,7,13,21\), respectively. In option A, the second term is \(6\), so it does not match the sequence. In an exam, verify a rule using at least the first two or three terms.
पहला पद (4) और अंतर (6) है इसलिए (a_n=4+(n-1)6=6n-2)। वर्णन से नियम बनाते समय पहला पद न भूलें। / The first term is (4) and the difference is (6), so (a_n=4+(n-1)6=6n-2). Do not forget the first term while forming a rule from words.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=5^n\)। इसलिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=5^4=5\times5\times5\times5=625\) मिलता है। विकल्प 125, \(5^3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम में मांगे गए पद का सूचकांक सीधे \(n\) के स्थान पर रखें। / The rule for the terms is \(a_n=5^n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=5^4=5\times5\times5\times5=625\). Option 125 is the value of \(5^3\), so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: in an explicit rule, substitute the required term number directly for \(n\).
पहले दोनों नियमों में n=4 रखें। \(a_4=2(4)+1=9\) और \(b_4=4^2-1=15\)। अतः \(a_4+b_4=9+15=24\)। 26 तब मिलता यदि किसी पद का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: संयुक्त योग पूछे जाने पर प्रत्येक अनुक्रम का पद अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / Substitute n=4 into both rules. \(a_4=2(4)+1=9\) and \(b_4=4^2-1=15\). Therefore, \(a_4+b_4=9+15=24\). A result such as 26 comes from evaluating one of the terms incorrectly. Exam tip: find each sequence term separately before adding them.
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\)। अतः सही उत्तर 80 है। 160 तब मिलता यदि घात में गलती से \(n\) रखकर \(2^5\) लिया जाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद संख्या रखने से पहले कोष्ठक या घातांक को ध्यान से पढ़ें। / For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\). Therefore, 80 is correct. The value 160 would result from incorrectly using \(2^5\) instead of \(2^{n-1}\). Exam tip: Read the exponent carefully before substituting the term number.
दिया गया नियम a_n=n(n+2) है। n=1 रखने पर 1(1+2)=3, n=2 पर 2(2+2)=8, n=3 पर 3(3+2)=15 और n=4 पर 4(4+2)=24 मिलता है। अतः पहले चार पद (3, 8, 15, 24) हैं, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A में पहला पद 2 है, जबकि n=1 के लिए सही मान 3 होना चाहिए। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में n=1 से क्रमशः मान रखकर पद निकालें। / The rule is a_n=n(n+2). Substituting n=1 gives 1(1+2)=3; n=2 gives 2(2+2)=8; n=3 gives 3(3+2)=15; and n=4 gives 4(4+2)=24. Therefore, the first four terms are (3, 8, 15, 24), so option C is correct. Option A begins with 2, but the correct first term for n=1 must be 3. Exam tip: For a general-term question, substitute n=1, 2, 3, and so on in order.
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,12,20,30) मिलते हैं। नियम से पद निकालते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,12,20,30). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
