Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (18) और अंतर (-4) है इसलिए (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n)। घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक रखें। / The first term is (18) and the difference is (-4), so (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n). Keep the difference negative in a decreasing sequence.
(a_5=4(5)2-3(5)=100-15=85)। पद निकालते समय (n) की जगह सही पद-संख्या रखें। / (a_5=4(5)2-3(5)=100-15=85). Substitute the correct term number for (n) while finding a term.
(6n+1=55) से (6n=54) और (n=9)। पद का स्थान पूछे तो नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (6n+1=55), (6n=54) and (n=9). When position is asked, set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,12,20,30) मिलते हैं। नियम से पद निकालते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,12,20,30). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
अंश (n+1) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\)। भिन्न में अंश और हर के पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (n+1) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (3,8,15,24) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (3,8,15,24). In a product-form rule direct substitution is easy.
यह \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\), so (a_n=(n+2)2). In square sequences relate the base number to (n).
चिह्न बारी-बारी से बदलता है और परिमाण (n) है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिह्न में ((-1)^n) की शक्ति ध्यान से चुनें। / The sign alternates and the magnitude is (n), so (a_n=(-1)^{n+1}n). In alternating signs choose the power of ((-1)^n) carefully.
यह \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3\)। घन अनुक्रम में पदों को घन रूप में पहचानें। / This is \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\), so \(a_n=n^3\). In cube sequences identify terms as cubes.
\(a_4=9\) और \(b_4=15\) इसलिए योग (24) है। दो नियम हों तो दोनों में वही (n) रखें। / \(a_4=9\) and \(b_4=15\), so the sum is (24). When there are two rules use the same (n) in both.
इसका नियम \(a_n=n^2+3n+1\) है इसलिए \(a_8=64+24+1=89\)। पहले सामान्य नियम पहचानें फिर पद निकालें। / Its rule is \(a_n=n^2+3n+1\), so \(a_8=64+24+1=89\). First identify the general rule and then find the term.
\(n^2+2n-1\) से (2,7,14,23) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+2n-1\) gives (2,7,14,23). When differences increase, check a quadratic rule.
C. (50) इस अनुक्रम का पद नहीं है/(50) is not a term of this sequence
Explanation
Simple Explanation
सामान्य पद \(a_n=4n+4\) है और (4n+4=50) से \(n=\frac{23}{2}\) मिलता है। पद-संख्या प्राकृतिक संख्या न हो तो दिया पद अनुक्रम में नहीं होगा। / The general term is \(a_n=4n+4\), and (4n+4=50) gives \(n=\frac{23}{2}\). If the position is not a natural number, the given number is not a term.
यह विषम संख्याओं के वर्ग \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(2n-1)2)। वर्गों में आधार का पैटर्न देखें। / These are squares of odd numbers \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(2n-1)2). In squares observe the base pattern.
अंश (2n-1) और हर (n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (2n-1) and the denominator is (n+1), so \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\). In a fraction sequence form rules for both parts separately.
\(a_5-a_2=9\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=3), फिर \(a_n=3n+1\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_5-a_2=9\) and there are three gaps, so (d=3), then \(a_n=3n+1\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (3,9,17) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद जल्दी निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (3,9,17). To check options, quickly find the initial terms.
(7k+2=37) से (7k=35) और (k=5)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद substitute करें। / From (7k+2=37), (7k=35) and (k=5). Substitute the given term to find the unknown coefficient.
पहला पद (4) और अंतर (6) है इसलिए (a_n=4+(n-1)6=6n-2)। वर्णन से नियम बनाते समय पहला पद न भूलें। / The first term is (4) and the difference is (6), so (a_n=4+(n-1)6=6n-2). Do not forget the first term while forming a rule from words.
\(n^2+n+1\) से (3,7,13,21) मिलते हैं। द्विघात विकल्पों को (n=1) से जांचना शुरू करें। / \(n^2+n+1\) gives (3,7,13,21). Start checking quadratic options from (n=1).
\(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\) से (7n=5n+10) और (n=5)। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\), (7n=5n+10) and (n=5). Use cross multiplication in fractional equations.
\(a_3=21\) और \(a_4=35\), इसलिए योग (56) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_3=21\) and \(a_4=35\), so the sum is (56). Find both terms separately before adding.
\(n^2-1\) से (0,3,8,15) मिलते हैं। यदि दूसरा अंतर स्थिर हो तो द्विघात नियम जांचें। / \(n^2-1\) gives (0,3,8,15). If the second difference is constant, check a quadratic rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर (3,6,11,20) मिलते हैं। घात और (n) दोनों को साथ जोड़ें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (3,6,11,20). Add both the power part and (n) together.
परिमाण \(3,5,7,9,\ldots\) है और चिह्न ऋण से शुरू होकर बदलता है, इसलिए (a_n=(-1)^n(2n+1))। वैकल्पिक चिह्न में पहले पद का चिह्न जरूर जांचें। / The magnitude is \(3,5,7,9,\ldots\) and the signs start negative and alternate, so (a_n=(-1)^n(2n+1)). In alternating signs always check the sign of the first term.
सामान्य पद \(a_n=6n+1\) है इसलिए \(a_{25}=151\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=6n+1\), so \(a_{25}=151\). Use the same general rule even for a large term.
\(a_4-a_1=12\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=4), अतः (a_n=8+(n-1)4=4n+4)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_4-a_1=12\) and there are three gaps, so (d=4), hence (a_n=8+(n-1)4=4n+4). Find the common difference first.
\(n^2+2n=80\) में (n=8) रखने पर (64+16=80) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=8) in \(n^2+2n=80\) gives (64+16=80). Directly checking options is a quick method.
\(n^2-2n+2\) से (1,2,5,10) मिलते हैं। बढ़ते अंतर वाले क्रम में द्विघात विकल्प जांचें। / \(n^2-2n+2\) gives (1,2,5,10). In a sequence with increasing differences, check quadratic options.
(a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences identify the base number.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-3) है इसलिए समान अंतर (-3) है। \(a_n\) के गुणांक को ध्यान से पढ़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-3), so the common difference is (-3). Read the coefficient of \(a_n\) carefully.
\(a_5=99\) और \(a_1=3\), इसलिए योग (102) है। दोनों पद निकालकर ही जोड़ें। / \(a_5=99\) and \(a_1=3\), so the sum is (102). Find both terms before adding.
सामान्य पद \(a_n=50-5n\) है और (50-5n=0) से (n=10)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक रहती है। / The general term is \(a_n=50-5n\), and (50-5n=0) gives (n=10). Even in a decreasing sequence the position remains natural.
(n=1,2,3) रखने पर (5,13,25) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,13,25). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+1\) और हर (n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश का अलग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+1\) and the denominator is (n+2), so \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\). In a fractional sequence identify the numerator pattern separately.
अंश (n) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n}{2n+1}\)। भिन्नों में हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (n) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n}{2n+1}\). In fractions observe the denominator growth carefully.
\(a_8=68\) और \(a_3=23\), इसलिए अंतर (45) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_8=68\) and \(a_3=23\), so the difference is (45). Calculate both terms separately before subtracting.
(9+3c=18) से (3c=9) और (c=3)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद रखें। / From (9+3c=18), (3c=9) and (c=3). Substitute the given term to find the unknown constant.
\(a_6=0\) और \(a_7=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (7)वाँ है। शून्य को ऋणात्मक न मानें। / \(a_6=0\) and \(a_7=-2\), so the first negative term is the (7)th. Do not count zero as negative.
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है इसलिए (d=4), अतः (a_9=25+3(4)=37)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over three gaps is (12), so (d=4), hence (a_9=25+3(4)=37). Extend the terms using the common difference.
यह \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3+1\)। घन अनुक्रम में स्थिर वृद्धि को पहचानें। / This is \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\), so \(a_n=n^3+1\). In cube sequences identify the constant shift.
(n=9) रखने पर \(\frac{9\cdot10}{2}=45\) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=9) gives \(\frac{9\cdot10}{2}=45\). Direct option checking is a quick method.
परिमाण \(6,9,12,15,\ldots\) है और चिह्न बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1))। पहले पद के चिह्न से ((-1)) की शक्ति तय करें। / The magnitude is \(6,9,12,15,\ldots\) and signs alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1)). Use the first term sign to decide the power of ((-1)).
(a_1=18-3(5)=3) इसलिए (a_n=3+(n-1)5=5n-2)। दिए हुए बीच के पद से पहले पहला पद निकालें। / (a_1=18-3(5)=3), so (a_n=3+(n-1)5=5n-2). From a middle term first find the first term.
\(a_6=77\) और \(a_2=9\), इसलिए अंतर (68) है। घटाने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_6=77\) and \(a_2=9\), so the difference is (68). Find both terms separately before subtracting.
