Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह समान्तर अनुक्रम है जिसमें अंतर (5) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर से (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / This is an arithmetic sequence with common difference (5). In exams, use first term and difference in (a_n=a+(n-1)d).
पहला पद (7) और अंतर (6) है इसलिए \(a_n=6n+1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (6) so \(a_n=6n+1\). In exams check the first term by putting (n=1).
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। परीक्षा में पहले चार पदों पर नियम जाँचें। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). In exams test the rule on the first four terms.
(n=5) रखने पर \(4\cdot25-15+2=87\) मिलता है। परीक्षा में (n) का मान सीधे और सावधानी से रखें। / Putting (n=5) gives \(4\cdot25-15+2=87\). In exams, substitute (n) directly and carefully.
\(a_{11}=9\times11-5=94\) है। परीक्षा में पहले गुणा करें फिर स्थिर पद घटाएँ। / \(a_{11}=9\times11-5=94\). In exams multiply first and then subtract the constant term.
\(a_6=3\times36-12+4=100\) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग और घटाव अलग-अलग लिखें। / \(a_6=3\times36-12+4=100\). In exams write the square part and subtraction separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(2n^2+1\) से दिए गए पद मिलते हैं। विकल्प जांचते समय पहले चार पद मिलाना उपयोगी है। / For (n=1,2,3,4), \(2n^2+1\) gives the given terms. While checking options, match the first four terms.
(n=1) पर (58) और (n=2) पर (51) मिलता है इसलिए \(a_n=65-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / At (n=1) it gives (58) and at (n=2) it gives (51) so \(a_n=65-7n\). In exams treat the difference as negative in decreasing sequences.
\(4n^2-n+1\) रखने पर (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / Using \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
((-1)^n) विषम (n) पर (-1) और सम (n) पर (1) देता है। परीक्षा में वैकल्पिक चिह्न वाले नियम में (n) की सम-विषम स्थिति देखें। / ((-1)^n) gives (-1) for odd (n) and (1) for even (n). In exams, check odd-even positions in alternating rules.
(4n+7=75) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+7=75) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(5n+3=88) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+3=88) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
यह समान्तर अनुक्रम है और (a_n=-2+(n-1)5) है। (n=20) रखने पर (93) मिलता है। / This is an arithmetic sequence and (a_n=-2+(n-1)5). Putting (n=20) gives (93).
इसका नियम \(a_n=8n+1\) है और (8n+1=81) से (n=10) नहीं बल्कि (n=10) मिलता है। परीक्षा में विकल्प चुनने से पहले गणना दोबारा जाँचें। / Its rule is \(a_n=8n+1\) and (8n+1=81) gives (n=10). In exams recheck the calculation before choosing the option.
(n=1) पर (111) और (n=2) पर (102) मिलता है इसलिए \(a_n=120-9n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (111) and at (n=2) it gives (102) so \(a_n=120-9n\). In exams keep the decreasing difference negative.
(5) स्थानों में वृद्धि (25) है इसलिए अंतर (5) है। \(a_3=14\) से \(a_n=5n-1\) मिलता है। / The increase over (5) positions is (25), so the difference is (5). From \(a_3=14\), \(a_n=5n-1\).
\(a_5=7^2-3=46\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें फिर वर्ग करें। / \(a_5=7^2-3=46\). In exams find the bracket value first and then square it.
ये पूर्ण वर्ग हैं इसलिए \(a_n=n^2\) है। परीक्षा में वर्ग संख्या पहचानना समय बचाता है। / These are perfect squares, so \(a_n=n^2\). Recognizing square numbers saves time in exams.
\(n^2+4n+1\) से (6,13,22,33) मिलते हैं। परीक्षा में विकल्पों में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / \(n^2+4n+1\) gives (6,13,22,33). In exams substitute (n=1,2,3) in the options to match.
\(a_{10}=113\) और \(a_9=93\) है इसलिए अंतर (20) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=113\) and \(a_9=93\), so the difference is (20). In exams, find both terms separately and subtract.
\(a_8=\frac{8\times12}{2}=48\) है। परीक्षा में पहले गुणन करें और फिर (2) से भाग दें। / \(a_8=\frac{8\times12}{2}=48\). In exams multiply first and then divide by (2).
दूसरे अंतर समान (2) हैं इसलिए नियम द्विघात हो सकता है। \(n^2+2n+2\) से सभी दिए पद मिलते हैं। / The second differences are equal to (2), so the rule can be quadratic. \(n^2+2n+2\) gives all given terms.
(\frac{n(n+4)}{2}) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / Using (\frac{n(n+4)}{2}) gives the given terms. In exams check fractional terms using small (n) values.
\(2^n+3n-2\) से (3,8,17,36) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त रैखिक भाग भी जाँचें। / \(2^n+3n-2\) gives (3,8,17,36). In exams also check the extra linear part in a power-based rule.
(6n-4=62) से (6n=66) और (n=11) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (6n-4=62), (6n=66) and (n=11). For term position, equate \(a_n\) to the given value.
\(a_4=78\) और \(a_2=16\) इसलिए सरल अनुपात (39:8) है। परीक्षा में अनुपात को सरल करना न भूलें। / \(a_4=78\) and \(a_2=16\) so the simplified ratio is (39:8). In exams do not forget to simplify the ratio.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\) हैं। इसलिए (a_n=n(n+1)) सही है। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\). Therefore (a_n=n(n+1)) is correct.
\(6n^2-5n+2\) से (3,16,41,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(6n^2-5n+2\) gives (3,16,41,78). In exams identify a quadratic rule by observing second differences.
\(3n^2+1\) रखने पर (4,13,28,49) मिलते हैं। विकल्पों में (n=1) और (n=2) जल्दी जांचें। / Putting \(3n^2+1\) gives (4,13,28,49). Check (n=1) and (n=2) quickly in options.
\(3\cdot2^n+n\) से (7,14,27,52) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और अतिरिक्त पद दोनों जाँचें। / \(3\cdot2^n+n\) gives (7,14,27,52). In exams check both the power and extra term in rapid growth.
पहले छह पद (2,13,24,35,46,57) हैं और औसत (29.5) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first six terms are (2,13,24,35,46,57) and the average is (29.5). In exams divide the sum by the number of terms.
ये त्रिभुज संख्याएं हैं और नियम (a_n=\frac{n(n+1)}{2}) है। लगातार (1,2,3,4) जोड़ने का पैटर्न पहचानें। / These are triangular numbers and the rule is (a_n=\frac{n(n+1)}{2}). Recognize the pattern of adding (1,2,3,4).
नियम \(a_n=11n-9\) है और (11n-9=134) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / The rule is \(a_n=11n-9\) and (11n-9=134) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(n^2+5\) से (6,9,14,21) नहीं बल्कि विकल्प जांच में गलती दिखती है। सही पद (6,11,18,27) के लिए \(n^2+2n+3\) चाहिए। / This option set has a mismatch because \(n^2+5\) gives (6,9,14,21), not the given sequence. The correct rule for (6,11,18,27) is \(n^2+2n+3\).
\(n^3+2n^2-n\) से (2,14,51,140) मिलते हैं। परीक्षा में घन आधारित नियमों को छोटे (n) से जाँचें। / \(n^3+2n^2-n\) gives (2,14,51,140). In exams test cube-based rules with small (n).
\(a_2=74\) और \(a_9=18\) इसलिए अंतर (56) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_2=74\) and \(a_9=18\) so the difference is (56). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
(n=1) पर (82) और (n=2) पर (74) मिलता है इसलिए \(a_n=90-8n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (82) and at (n=2) it gives (74) so \(a_n=90-8n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
A. \(a_2=27\) और \(a_3=64\)/\(a_2=27\) and \(a_3=64\)
Explanation
Simple Explanation
\(a_2=28+4-5=27\) और \(a_3=63+6-5=64\) है। परीक्षा में हर पद के लिए (n) का नया मान रखें। / \(a_2=28+4-5=27\) and \(a_3=63+6-5=64\). In exams use a new value of (n) for each term.
\(7n^2+2n-5\) से (4,27,64,115) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(7n^2+2n-5\) gives (4,27,64,115). In exams choose a quadratic rule when second differences are constant.
\(4^n+2n-5\) से (1,15,65,259) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियमों में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(4^n+2n-5\) gives (1,15,65,259). In exams also check constant subtraction in power-based rules.
\(a_5=109\) और \(a_1=5\) इसलिए योग (114) नहीं बल्कि (114) है। परीक्षा में अंतिम विकल्प चुनने से पहले योग दोबारा जाँचें। / \(a_5=109\) and \(a_1=5\) so the sum is (114). In exams recheck the sum before choosing the final option.
