Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिया है
\(a_n=4n^2-3n\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4(5)^2-3(5)=4\times25-15=100-15=85\)। इसलिए सही उत्तर 85 है। 100 केवल \(4\times5^2\) का मान है; इसमें \(-3n\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात का मान निकालें और अंत में गुणा-घटाव करें। / Given \(a_n=4n^2-3n\). To find the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4(5)^2-3(5)=4\times25-15=100-15=85\). Hence, the correct answer is 85. The value 100 comes from \(4\times5^2\) alone; the term \(-3n\) must also be subtracted. Exam tip: substitute the term number first, evaluate the power next, and then perform multiplication and subtraction.
सही नियम \(a_n=2n^2+3n\) है। जाँच करने पर \(a_1=2(1)^2+3(1)=5\), \(a_2=2(2)^2+3(2)=14\), \(a_3=27\) और \(a_4=44\) मिलते हैं। विकल्प A में पहला पद 5 आता है, लेकिन दूसरा पद \(12\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^2+3n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,27,44\), respectively. Option A gives the first term as 5, but its second term is \(12\), so it does not fit the sequence. Exam tip: Always test a proposed general term for at least the first three terms.
(\frac{n(2n+1)}{3}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / (\frac{n(2n+1)}{3}) gives the given terms. In exams match fractional terms with options too.
(n=1) पर (74) और (n=2) पर (68) मिलता है इसलिए \(a_n=80-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (74) and at (n=2) it gives (68) so \(a_n=80-6n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_4=56\) और \(a_7=38\) इसलिए योग (94) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_4=56\) and \(a_7=38\) so the sum is (94). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), जो स्थिर है; इसलिए यह AP है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant, so it is an AP. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: check consecutive-term differences.
यदि \(a_n=n^3-1\) हो, तो \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\) और \(a_4=4^3-1=63\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2-1\) में तीसरा पद \(8\) आता है, जो \(26\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / For \(a_n=n^3-1\), we get \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\), and \(a_4=4^3-1=63\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^3-1\). The nearby distractor \(a_n=n^2-1\) gives \(8\) as its third term, not \(26\). Exam tip: substitute at least the first three values of \(n\) to verify a proposed general term.
दिया है \(a_n=n^3-1\)। \(a_n=124\) रखने पर \(n^3-1=124\), अतः \(n^3=125=5^3\)। इसलिए \(n=5\) और \(a_5=124\) होगा। \(a_4=63\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n^3-1\) वाले प्रश्न में पहले 1 जोड़कर पूर्ण घन पहचानें। / Given \(a_n=n^3-1\), set \(a_n=124\). Then \(n^3-1=124\), so \(n^3=125=5^3\). Hence \(n=5\), and therefore \(a_5=124\). The close distractor \(a_4\) is incorrect because \(a_4=63\). Exam tip: for expressions of the form \(n^3-1\), add 1 first and identify the perfect cube.
\(3^n-2n\) से (1,5,21,73) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-2n\) gives (1,5,21,73). In exams also test options where a linear term is subtracted from a power.
दिया है \(a_n=3^n-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 21 है। 19 प्राप्त करने में घात या घटाव की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=3^n-2n\). Substituting \(n=3\), \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\). Therefore, 21 is correct. A result such as 19 would come from an error in evaluating the power or subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) everywhere before simplifying the expression.
\(2^n-n\) से (1,2,5,12) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में पद संख्या घटाना भी जाँचें। / \(2^n-n\) gives (1,2,5,12). In exams also check subtraction of the term number in power-based rules.
स्पष्ट नियम में किसी भी पद को उसकी स्थिति \(n\) से सीधे ज्ञात किया जाता है। \(a_n=4n-1\) में केवल \(n\) है। दूसरे नियम में पिछला पद चाहिए, इसलिए वह पुनरावर्ती है। परीक्षा टिप: \(a_{n-1}\) दिखे तो नियम पुनरावर्ती होता है। / An explicit rule gives any term directly from its position \(n\). \(a_n=4n-1\) contains only \(n\), whereas the second rule needs the previous term. Exam tip: the presence of \(a_{n-1}\) usually indicates a recursive rule.
\(4n^2+1\) से (5,17,37,65) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+1\) gives (5,17,37,65). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है
\(a_n=4n^2+1\)। अतः \(a_3=4(3)^2+1=37\) और \(a_4=4(4)^2+1=65\)। इसलिए \(a_3+a_4=37+65=102\)। विकल्प 100 तब मिल सकता है जब वर्ग या जोड़ में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में हर पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Given \(a_n=4n^2+1\), \(a_3=4(3)^2+1=37\) and \(a_4=4(4)^2+1=65\). Therefore, \(a_3+a_4=37+65=102\). An answer such as 100 can result from an error in squaring or addition. Exam tip: Substitute each value of \(n\) separately in the general term before adding.
पहला पद (11) और अंतर (10) है इसलिए \(a_n=10n+1\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (11) and the difference is (10) so \(a_n=10n+1\). In exams find the constant part from the first term.
दिया है कि \(a_n=10n+1\)। अतः \(a_2=10\times2+1=21\) और \(a_6=10\times6+1=61\)। इसलिए \(a_2+a_6=21+61=82\)। विकल्प 84 तब मिलता यदि किसी पद का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=10n+1\), \(a_2=10\times2+1=21\) and \(a_6=10\times6+1=61\). Therefore, \(a_2+a_6=21+61=82\). Option 84 would result from calculating one of the terms incorrectly. Exam tip: substitute the value of \(n\) in the general term and find each required term separately.
\(\frac{2n+3}{5}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{2n+3}{5}\) gives the given terms. In exams match fractional terms using small values of (n).
दिया है \(a_n=\frac{2n+3}{5}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{2(6)+3}{5}=\frac{12+3}{5}=\frac{15}{5}=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। \(\frac{13}{5}\) प्राप्त करना \(2\times6\) में गलती करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=\frac{2n+3}{5}\). Substituting \(n=6\), \(a_6=\frac{2(6)+3}{5}=\frac{12+3}{5}=\frac{15}{5}=3\). Hence, 3 is the correct answer. \(\frac{13}{5}\) may result from an error in calculating \(2\times6\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify step by step.
इसका नियम \(a_n=6n-4\) है और (6n-4=68) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=6n-4\) and (6n-4=68) gives (n=12). In exams equate the given term to the general term.
दिया है कि \(a_n=6n-4\)। अतः \(a_{12}=6(12)-4=68\) और \(a_5=6(5)-4=26\)। इसलिए \(a_{12}-a_5=68-26=42\)। विकल्प 40 तब मिल सकता है जब पदों का अंतर या गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर दोनों पद अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=6n-4\), \(a_{12}=6(12)-4=68\) and \(a_5=6(5)-4=26\). Therefore, \(a_{12}-a_5=68-26=42\). Option 40 may result from an error in finding a term or subtracting the values. Exam tip: substitute the value of \(n\) to find each term separately, then subtract.
पहले तीन पद (5,14,27) हैं और योग (46) नहीं बल्कि (46) है। परीक्षा में योग से पहले सभी पद लिखें। / The first three terms are (5,14,27) and the sum is (46). In exams write all terms before adding.
क्रमागत पदों के अंतर \(11,17,23\) हैं और इनके द्वितीय अंतर \(6\) हैं। इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2+2n-1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,15,32,55\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=11n-7\) केवल पहला और दूसरा पद दे सकता है, पर आगे के पदों से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर सत्यापन करें। / The consecutive differences are \(11,17,23\), and their second differences are constant at \(6\). Hence, the sequence has a quadratic general term. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3n^2+2n-1\) gives \(4,15,32,55\), respectively. The option \(a_n=11n-7\) matches only the first two terms, not the later terms. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
दिया है \(a_n=3n^2+2n-1\)। \(n=2\) रखने पर \(a_2=3(2)^2+2(2)-1=12+4-1=15\) मिलता है। इसी प्रकार, \(n=3\) रखने पर \(a_3=3(3)^2+2(3)-1=27+6-1=32\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) और विकल्प C में \(a_3\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग की गणना सावधानी से करें। / Given \(a_n=3n^2+2n-1\). Substituting \(n=2\), \(a_2=3(2)^2+2(2)-1=12+4-1=15\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=3(3)^2+2(3)-1=27+6-1=32\). Hence, option A is correct. Option B has an incorrect value of \(a_2\), while option C has an incorrect value of \(a_3\). Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each term and calculate the square carefully.
दिया है, a_n=4n²−n। अतः a_4=4(4²)−4=64−4=60 और a_2=4(2²)−2=16−2=14। इसलिए a_4:a_2=60:14=30:7। विकल्प A में अनुपात सही मानों से बना है, लेकिन उसे सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने के बाद दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरल रूप अवश्य लिखें। / Given a_n=4n²−n, a_4=4(4²)−4=64−4=60 and a_2=4(2²)−2=16−2=14. Hence, a_4:a_2=60:14=30:7. Option A uses the correct terms but does not simplify the ratio. Exam tip: after finding a ratio, divide both terms by their greatest common factor to write it in simplest form.
\(2n^2+5\) से (7,13,23,37) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+5\) gives (7,13,23,37). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
पहला पद (3) है और हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए \(a_n=3\cdot2^{n-1}\) है। परीक्षा में पहले पद और अनुपात दोनों देखें। / The first term is (3) and each term is multiplied by (2) so \(a_n=3\cdot2^{n-1}\). In exams check both the first term and ratio.
\(6\cdot2^n\) से (12,24,48,96) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि में आधार और गुणक दोनों जाँचें। / \(6\cdot2^n\) gives (12,24,48,96). In exams check both the base and multiplier in geometric growth.
दिया है कि \(a_n=3^n+1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4+1=81+1=82\) प्राप्त होता है। 81 विकल्प केवल \(3^4\) का मान है; उसमें दिया गया \(+1\) अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सूचकांक रखने के बाद घात और स्थिर पद, दोनों को ध्यान से शामिल करें। / Given \(a_n=3^n+1\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4+1=81+1=82\). Option 81 is only the value of \(3^4\); it misses the added 1 in the rule. Exam tip: after substituting the index in a general term, include both the power and the constant term.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=3^n+1\) से क्रमशः \(4,10,28,82\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=3^n+1\) है। विकल्प \(a_n=n^3+3\) से पहला पद 4 मिलता है, लेकिन दूसरा पद 11 आता है, 10 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3^n+1\) gives \(4,10,28,82\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=3^n+1\). Although \(a_n=n^3+3\) gives the first term as 4, its second term is 11, not 10. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=2^n+2\)। अतः \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+2=64+2=66\) मिलता है। 64 निकटतम विकल्प है, पर वह केवल \(2^6\) का मान है; उसमें दिया गया \(+2\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n\) के स्थान पर पद संख्या रखकर पहले घात का मान निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / The general term is \(a_n=2^n+2\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=2^6+2=64+2=66\). Although 64 is a close distractor, it is only the value of \(2^6\); the given \(+2\) must also be added. Exam tip: substitute the term number for \(n\), evaluate the power first, and then perform the remaining operations.
