Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सही नियम \(a_n=2^n+2\) है, जहाँ \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,6,10,18\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=2n+2\) के पहले दो पद 4 और 6 देता है, लेकिन तीसरा पद 8 होगा, 10 नहीं। परीक्षा में नियम को कम-से-कम पहले तीन पदों पर जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2^n+2\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,6,10,18\), respectively. Although \(a_n=2n+2\) gives the first two terms as 4 and 6, its third term is 8, not 10. Exam tip: verify an explicit rule using at least the first three terms.
70 के लिए \(n^2+n-2=70\) रखें। इससे \(n^2+n-72=0\), अर्थात \((n+9)(n-8)=0\) मिलता है। \(n=8\) या \(n=-9\) में से पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=8\) सही है। \(n=7\) रखने पर मान \(54\) आता है, 70 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Set \(n^2+n-2=70\). This gives \(n^2+n-72=0\), or \((n+9)(n-8)=0\). The roots are \(n=8\) and \(n=-9\), but a term number must be positive, so \(n=8\) is correct. For example, \(n=7\) gives 54, not 70. Exam tip: reject a negative root when it cannot represent a term number.
(\frac{n(n+1)}{2}+2) से (3,5,8,12) मिलते हैं। परीक्षा में बढ़ते अंतर (2,3,4) देखकर त्रिभुज संख्या सोचें। / (\frac{n(n+1)}{2}+2) gives (3,5,8,12). In exams think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}+2=\frac{42}{2}+2=21+2=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 केवल \(\frac{6\times7}{2}\) का मान है; इसमें दिया गया \(+2\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का सही मान रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2\), substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}+2=\frac{42}{2}+2=21+2=23\). Hence, the correct answer is 23. The value 21 is only \(\frac{6\times7}{2}\); the given \(+2\) must still be added. Exam tip: when evaluating a general term, substitute the value of \(n\) carefully and perform the operations in order.
इसका नियम \(a_n=n^2\) है और \(n^2=81\) से (n=9) है। परीक्षा में वर्ग संख्याओं की पद संख्या पहचानें। / Its rule is \(a_n=n^2\) and \(n^2=81\) gives (n=9). In exams identify the term number of square numbers.
दिया है \(a_n=n^2+2n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+2(6)=36+12=48\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(48\) है। \(46\) जैसा विकल्प वर्ग तथा \(2n\) वाले पद को सही ढंग से न जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा-युक्ति: पद का मान निकालते समय \(n\) को व्यंजक के प्रत्येक स्थान पर रखें। / Given \(a_n=n^2+2n\), substitute \(n=6\): \(a_6=6^2+2(6)=36+12=48\). Therefore, the correct answer is \(48\). A value such as \(46\) may result from not evaluating or adding the squared term and the \(2n\) term correctly. Exam tip: substitute the term number for every occurrence of \(n\) in the expression.
दिया है कि \(a_n=(n+2)^2\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+2)^2=7^2=49\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 49 है। 36 तब मिलता यदि वर्ग करने से पहले 6 लिया जाता, जो यहाँ सही प्रतिस्थापन नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक हल करके वर्ग करें। / Given \(a_n=(n+2)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(5+2)^2=7^2=49\). Therefore, 49 is correct. The value 36 would result from using 6 before squaring, which is not the correct substitution here. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, simplify the bracket, and then square it.
ये पद \(3^2,4^2,5^2,6^2\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)2) है। परीक्षा में स्थानांतरित वर्ग संख्याएँ पहचानें। / These terms are \(3^2,4^2,5^2,6^2\) so (a_n=(n+2)2). In exams recognize shifted square numbers.
इसका नियम \(a_n=3n-1\) है और (3n-1=38) से (n=13) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n-1\) and (3n-1=38) gives (n=13). In exams form the general term first to find the term number.
(5n+4=64) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+4=64) we get (n=12). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (47) और (n=2) पर (43) मिलता है इसलिए \(a_n=51-4n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (47) and at (n=2) it gives (43) so \(a_n=51-4n\). In exams match the first term in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=60-5n\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=9\) रखें: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 20 तब मिलता यदि \(5\times 9\) को गलत तरीके से 40 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या के स्थान पर \(n\) का मान सावधानी से रखें। / Given \(a_n=60-5n\), substitute \(n=9\) to find the ninth term: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\). Therefore, 15 is correct. The value 20 could result from incorrectly calculating \(5\times9\) as 40. Exam tip: substitute the term number for \(n\) carefully in a general-term formula.
अंतर (7) है और पहला पद (9) है इसलिए \(a_n=7n+2\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (7) and the first term is (9) so \(a_n=7n+2\). In exams take the difference as the coefficient of (n).
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) नियत है, इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant, so it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check consecutive-term differences.
पहला पद (6) और अंतर (4) है इसलिए \(a_n=4n+2\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (6) and the difference is (4) so \(a_n=4n+2\). In exams check the first term by putting (n=1).
\(a_5=109\) और \(a_1=5\) इसलिए योग (114) नहीं बल्कि (114) है। परीक्षा में अंतिम विकल्प चुनने से पहले योग दोबारा जाँचें। / \(a_5=109\) and \(a_1=5\) so the sum is (114). In exams recheck the sum before choosing the final option.
\(4^n+2n-5\) से (1,15,65,259) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियमों में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(4^n+2n-5\) gives (1,15,65,259). In exams also check constant subtraction in power-based rules.
दिया है: \(a_n=4^n+2n-5\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3+2(3)-5=64+6-5=65\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 65 है। 63 प्राप्त होना सामान्यतः \(2n\) वाले पद को गलत जोड़ने पर होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान हर पद में रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=4^n+2n-5\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3+2(3)-5=64+6-5=65\). Therefore, 65 is correct. A value such as 63 can result from incorrectly evaluating or adding the \(2n\) term. Exam tip: substitute the term number into every part of the rule before simplifying.
\(7n^2+2n-5\) से (4,27,64,115) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(7n^2+2n-5\) gives (4,27,64,115). In exams choose a quadratic rule when second differences are constant.
A. \(a_2=27\) और \(a_3=64\)/\(a_2=27\) and \(a_3=64\)
Explanation
Simple Explanation
दूसरे पद के लिए \(n=2\) रखने पर \(a_2=7(2)^2+2(2)-5=28+4-5=27\) मिलता है। इसी प्रकार, \(n=3\) रखने पर \(a_3=7(3)^2+2(3)-5=63+6-5=64\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों में \(n^2\) वाले पद या जोड़-घटाव में त्रुटि है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना जाँचें। / For the second term, substitute \(n=2\): \(a_2=7(2)^2+2(2)-5=28+4-5=27\). Similarly, for \(n=3\): \(a_3=7(3)^2+2(3)-5=63+6-5=64\). Hence, option A is correct. The other options result from an error in evaluating the \(n^2\) term or in addition/subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each required term and check the arithmetic.
(n=1) पर (82) और (n=2) पर (74) मिलता है इसलिए \(a_n=90-8n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (82) and at (n=2) it gives (74) so \(a_n=90-8n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_2=74\) और \(a_9=18\) इसलिए अंतर (56) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_2=74\) and \(a_9=18\) so the difference is (56). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
दिया है, \(a_n=n^3+2n^2-n\)। n=4 रखने पर, (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 92 है। 94 तब मिलता यदि अंतिम -4 को घटाने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान सूत्र के प्रत्येक पद में सावधानी से रखिए। / Given \(a_n=n^3+2n^2-n\), substitute n=4: (a_4=43+2\(4^2\)-4=64+32-4=92). Therefore, 92 is the correct option. A value such as 94 can result from an error while subtracting the final 4. Exam tip: Substitute the value of n carefully into every term of the rule.
नियम \(a_n=11n-9\) है और (11n-9=134) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / The rule is \(a_n=11n-9\) and (11n-9=134) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
पहले छह पद (2,13,24,35,46,57) हैं और औसत (29.5) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first six terms are (2,13,24,35,46,57) and the average is (29.5). In exams divide the sum by the number of terms.
\(3\cdot2^n+n\) से (7,14,27,52) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और अतिरिक्त पद दोनों जाँचें। / \(3\cdot2^n+n\) gives (7,14,27,52). In exams check both the power and extra term in rapid growth.
\(6n^2-5n+2\) से (3,16,41,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(6n^2-5n+2\) gives (3,16,41,78). In exams identify a quadratic rule by observing second differences.
\(a_4=78\) और \(a_2=16\) इसलिए सरल अनुपात (39:8) है। परीक्षा में अनुपात को सरल करना न भूलें। / \(a_4=78\) and \(a_2=16\) so the simplified ratio is (39:8). In exams do not forget to simplify the ratio.
\(2^n+3n-2\) से (3,8,17,36) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त रैखिक भाग भी जाँचें। / \(2^n+3n-2\) gives (3,8,17,36). In exams also check the extra linear part in a power-based rule.
दिया है कि \(a_n=2^n+3n-2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(28\) चुनना अक्सर जोड़-घटाव में गलती करने से होता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को क्रम से जोड़ें या घटाएँ। / Given \(a_n=2^n+3n-2\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=2^4+3(4)-2=16+12-2=26\). Therefore, option B is correct. Choosing \(28\) usually results from an error in addition or subtraction. Exam tip: evaluate the exponent first, then add or subtract the remaining terms in order.
