Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{n(n+4)}{2}) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / Using (\frac{n(n+4)}{2}) gives the given terms. In exams check fractional terms using small (n) values.
दिया है कि \(a_n=(n+2)^2-3\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 46 है। निकटतम विकल्प 44 तब आ सकता है जब वर्ग करने या घटाने में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक, घात और बाकी संक्रियाएँ क्रम से हल करें। / Given \(a_n=(n+2)^2-3\), substitute \(n=5\): \(a_5=(5+2)^2-3=7^2-3=49-3=46\). Therefore, 46 is the correct option. The nearby option 44 may result from an error while squaring or subtracting. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate brackets, powers, and the remaining operations in order.
(n=1) पर (111) और (n=2) पर (102) मिलता है इसलिए \(a_n=120-9n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (111) and at (n=2) it gives (102) so \(a_n=120-9n\). In exams keep the decreasing difference negative.
(5n+3=88) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+3=88) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
\(4n^2-n+1\) रखने पर (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / Using \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
\(2n^2+3n\) एक द्विघात नियम है, इसलिए इसके प्रथम अंतर रैखिक और द्वितीय अंतर स्थिर होते हैं। \(5n-1\) के प्रथम अंतर ही स्थिर होते हैं। परीक्षा में द्विघात अनुक्रम पहचानने के लिए स्थिर द्वितीय अंतर देखें। / \(2n^2+3n\) is a quadratic rule, so its first differences are linear and its second differences are constant. For \(5n-1\), the first differences themselves are constant. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
दिया गया नियम \(a_n=2n^2+n+2\) रखने पर \(a_1=5\), \(a_2=12\), \(a_3=23\) और \(a_4=38\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(2n^2+n+2\) है। विकल्प \(7n-2\) पहले दो पद देता है, लेकिन तीसरे पद के लिए 19 देता है, 23 नहीं। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन या चार पदों पर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+n+2\) gives \(5,12,23,38\), respectively. Therefore, \(2n^2+n+2\) is the correct general term. The close distractor \(7n-2\) matches the first two terms but gives 19, not 23, for the third term. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three or four terms.
इसका नियम \(a_n=8n+1\) है और (8n+1=81) से (n=10) नहीं बल्कि (n=10) मिलता है। परीक्षा में विकल्प चुनने से पहले गणना दोबारा जाँचें। / Its rule is \(a_n=8n+1\) and (8n+1=81) gives (n=10). In exams recheck the calculation before choosing the option.
(4n+7=75) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+7=75) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (58) और (n=2) पर (51) मिलता है इसलिए \(a_n=65-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / At (n=1) it gives (58) and at (n=2) it gives (51) so \(a_n=65-7n\). In exams treat the difference as negative in decreasing sequences.
पहला पद (7) और अंतर (6) है इसलिए \(a_n=6n+1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (6) so \(a_n=6n+1\). In exams check the first term by putting (n=1).
पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए
\(10-2n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>5\) मिलता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=6\) है। जाँच करें: \(a_5=10-2(5)=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_6=10-2(6)=-2\) है। परीक्षा टिप: “ऋणात्मक” के लिए पद का मान \(0\) से कम होना चाहिए, \(0\) नहीं। / For the first negative term, we need \(10-2n<0\). This gives \(n>5\), so the smallest integer value is \(n=6\). Checking nearby terms: \(a_5=10-2(5)=0\), which is not negative, whereas \(a_6=10-2(6)=-2\). Exam tip: a negative term must be less than \(0\); zero is neither positive nor negative.
41 किस पद का मान है, यह जानने के लिए a_n=41 रखें: 2n+5=41। अतः 2n=36 और n=18। इसलिए 41 अनुक्रम का 18वाँ पद है। 17वाँ पद 2(17)+5=39 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए a_n के स्थान पर दिया गया मान रखकर n का मान हल करें। / To find the position whose value is 41, put a_n=41: 2n+5=41. Thus, 2n=36 and n=18. Therefore, 41 is the 18th term of the sequence. The 17th term is 2(17)+5=39, so it is not correct. Exam tip: To find a term’s position from an explicit rule, substitute the given term value for a_n and solve for n.
विकल्प B में \(a_n=3n^2+1\) रखने पर \(a_1=3(1)^2+1=4\), \(a_2=3(2)^2+1=13\), \(a_3=28\) और \(a_4=49\) मिलते हैं। इसलिए यही सही सामान्य पद है। उदाहरण के लिए, विकल्प A में \(a_2=11\) आता है, जो अनुक्रम के दूसरे पद 13 से मेल नहीं खाता। परीक्षा में किसी नियम को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For option B, \(a_n=3n^2+1\) gives \(a_1=3(1)^2+1=4\), \(a_2=3(2)^2+1=13\), \(a_3=28\), and \(a_4=49\). Hence, it is the correct general term. For example, option A gives \(a_2=11\), which does not match the second term, 13. Exam tip: test a proposed rule for at least the first two or three terms.
दिया है कि \(a_n=3n^2-2\)। अतः \(a_4=3(4)^2-2=46\) और \(a_5=3(5)^2-2=73\)। इसलिए \(a_4+a_5=46+73=119\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प 115 तब मिल सकता है जब \(a_5\) की गणना में वर्ग या गुणा में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान रखकर वर्ग निकालें, फिर बाकी संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=3n^2-2\), \(a_4=3(4)^2-2=46\) and \(a_5=3(5)^2-2=73\). Therefore, \(a_4+a_5=46+73=119\), so option C is correct. A value such as 115 can result from an error while squaring or multiplying for \(a_5\). Exam tip: substitute the value of \(n\), evaluate the square first, and then perform the remaining operations.
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(n(n+1)\) से क्रमशः \(1\cdot2=2\), \(2\cdot3=6\), \(3\cdot4=12\) और \(4\cdot5=20\) प्राप्त होते हैं। अतः सामान्य पद \(a_n=n(n+1)\) है। \(n^2+1\) का दूसरा पद 5 होगा, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य नियम जाँचने के लिए उसमें \(n=1,2,3\) रखकर शुरुआती पदों से मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(n(n+1)\) gives \(1\cdot2=2\), \(2\cdot3=6\), \(3\cdot4=12\), and \(4\cdot5=20\). Hence, the general term is \(a_n=n(n+1)\). The close distractor \(n^2+1\) gives 5 as its second term, so it does not fit the sequence. Exam tip: test a proposed general rule by substituting \(n=1,2,3\) and matching the initial terms.
दिया है कि \(a_n=2^n+1\)। अतः \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+1=64+1=65\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 65 है। 63 प्राप्त होता यदि व्यंजक \(2^n-1\) होता, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के सामान्य पद में पहले दिए गए \(n\) का मान रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=2^n+1\), substitute \(n=6\): \(a_6=2^6+1=64+1=65\). Hence, 65 is the correct option. The value 63 would result from \(2^n-1\), so it is not correct here. Exam tip: In a general term of a sequence, substitute the given value of \(n\) first and then evaluate the exponent.
अनुक्रम के पद क्रमशः \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2,\ldots\) हैं। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2\) होगा। \(a_n=n^2+1\) लेने पर पहला पद 2 आएगा, जो दिए गए अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले कुछ पदों को उनके क्रमांक \(n=1,2,3,\ldots\) के साथ लिखकर पैटर्न जाँचें। / The terms are \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2,\ldots\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2\). If \(a_n=n^2+1\), the first term would be 2, which does not match the sequence. Exam tip: write the first few terms alongside \(n=1,2,3,\ldots\) to check the pattern.
यह एक समान्तर श्रेणी है क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद के बीच का अंतर 5 है। यहाँ प्रथम पद \(a=-2\), सार्वांतर \(d=5\) और \(n=20\) है। अतः \(a_{20}=a+(n-1)d=-2+(20-1)\times5=-2+95=93\)। इसलिए सही उत्तर 93 है। 98 लेने पर पदों की गिनती या \(n-1\) के स्थान पर गलत मान लेने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: समान्तर श्रेणी में हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र में \(n-1\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression because the difference between consecutive terms is 5. Here, \(a=-2\), \(d=5\), and \(n=20\). Therefore, \(a_{20}=a+(n-1)d=-2+(20-1)\times5=-2+95=93\). Hence, 93 is correct. Getting 98 usually results from miscounting the terms or using an incorrect value in place of \(n-1\). Exam tip: for an arithmetic progression, always use \(a_n=a+(n-1)d\).
क्रम \(1,4,9,16,\ldots\) के लिए \(a_n=n^2\) है, इसलिए इसका नियम द्विघात है। प्रथम अंतर 3, 5, 7 और द्वितीय अंतर 2 है। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर द्विघात क्रम पहचानता है। / For \(1,4,9,16,\ldots\), \(a_n=n^2\), so the rule has degree 2. The first differences are 3, 5, 7, giving a constant second difference of 2. Exam tip: constant second differences indicate a quadratic sequence.
\(a_n=3n+2\) में \(n\) को 1 बढ़ाने पर प्रत्येक पद 3 से बढ़ता है, इसलिए सार्वांतर 3 स्थिर है और यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+2\) में अंतर स्थिर नहीं रहता। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=3n+2\), increasing \(n\) by 1 increases every term by 3, so the common difference is constant and it is an AP. In \(n^2+2\), the differences change. Exam tip: check the difference between consecutive terms.
\(2n^2+2n\) से (4,12,24,40) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+2n\) gives (4,12,24,40). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(2n^2+2n=60\) में (n=5) रखने पर मान (60) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / Putting (n=5) in \(2n^2+2n=60\) gives (60). In exams, you can also check quickly by substituting options.
\(3^n-n\) से (2,7,24,77) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से पद संख्या घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-n\) gives (2,7,24,77). In exams, also test options where the term number is subtracted from a power.
दिया है कि \(a_n=3^n-n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3-3=27-3=24\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 24 है। 27 विकल्प केवल \(3^3\) का मान है; उसमें से 3 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान सावधानी से रखें, फिर क्रम से घात और घटाव करें। / Given \(a_n=3^n-n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=3^3-3=27-3=24\). Hence, the correct answer is 24. The option 27 is only the value of \(3^3\); subtracting 3 is also required. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in every part of the general term before calculating.
\(\frac{7\times8}{2}=28\), इसलिए \(n=7\) है। परीक्षा में त्रिभुज संख्याओं को याद रखना उपयोगी है। / \(\frac{7\times8}{2}=28\), so \(n=7\). In exams, remembering triangular numbers is useful.
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}=\frac{6\times7}{2}=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 18 प्राप्त करने में प्रायः \(n+1\) के स्थान पर गलत संख्या रखने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: सूत्र में मान रखने के बाद कोष्ठक और क्रम से गणना अवश्य जाँचें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=6\), \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}=\frac{6\times7}{2}=21\). Therefore, 21 is correct. A value such as 18 can result from using an incorrect value for \(n+1\). Exam tip: substitute the term number carefully and evaluate the brackets before simplifying.
\(\frac{3n+1}{2}\) से \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{3n+1}{2}\) gives \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\). In exams, match fractional terms using small (n) values.
पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=\frac{3(5)+1}{2}=\frac{16}{2}=8\)। इसलिए सही विकल्प 8 है। विकल्प 7 तब मिलता यदि अंश में \(3n+1\) की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या को सीधे \(n\) के स्थान पर लिखें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{3(5)+1}{2}=\frac{16}{2}=8\). Hence, 8 is the correct option. A value such as 7 can result from an incorrect calculation of the numerator \(3n+1\). Exam tip: substitute the term number directly for \(n\) in the general-term formula.
(n=1) पर (93) और (n=2) पर (86) मिलता है, इसलिए \(a_n=100-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (93), and at (n=2) it gives (86), so \(a_n=100-7n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
