Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिया है कि \(a_n=100-7n\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=100-7\times8=100-56=44\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। 42 प्राप्त करने के लिए गणना में त्रुटि होगी, क्योंकि \(7\times8=56\) है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=100-7n\), substitute \(n=8\): \(a_8=100-7\times8=100-56=44\). Therefore, option B is correct. Getting 42 would result from an incorrect calculation, since \(7\times8=56\). Exam tip: after substituting the term number, perform multiplication before subtraction.
दिया है, \(a_n=n^2+n-1\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+6-1=36+6-1=41\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(41\) है। \(40\) तब मिल सकता है जब \(6^2+6\) में से 1 घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात, जोड़ और घटाव का क्रम सावधानी से जाँचें। / Given \(a_n=n^2+n-1\), substitute \(n=6\): \(a_6=6^2+6-1=36+6-1=41\). Therefore, \(41\) is correct. The distractor \(40\) may result from an error in evaluating the expression or overlooking the final subtraction. Exam tip: after substituting a value in a general term, check the square, addition, and subtraction in order.
\(n^2+n-1\) से (1,5,11,19) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(n^2+n-1\) gives (1,5,11,19). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_n=5n-2\) में \(n\) के गुणांक 5 के कारण हर अगला पद 5 से बढ़ता है, इसलिए यह अंकगणितीय प्रगति है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में रैखिक नियम \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), increasing \(n\) by 1 increases every term by 5, so the common difference is constant. In \(n^2+1\), differences vary. Exam tip: an AP rule has the linear form \(pn+q\).
दिया है, \(a_n=n^2+5n\)। अतः \(a_4=4^2+5(4)=16+20=36\) और \(a_2=2^2+5(2)=4+10=14\)। इसलिए \(a_4:a_2=36:14=18:7\)। विकल्प (36:7) में केवल पहले पद को सरल किया गया है, इसलिए वह सही अनुपात नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने के बाद दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से अवश्य सरल करें। / Given \(a_n=n^2+5n\), \(a_4=4^2+5(4)=16+20=36\) and \(a_2=2^2+5(2)=4+10=14\). Therefore, \(a_4:a_2=36:14=18:7\). Option (36:7) is not correct because only the first term has effectively been simplified. Exam tip: always reduce a ratio by dividing both terms by their greatest common factor.
दिया है कि \(a_n=4n-1\)। अतः \(a_7=4\times7-1=27\) और \(a_3=4\times3-1=11\)। इसलिए \(a_7-a_3=27-11=16\)। विकल्प 14 तब मिलता है जब पदों का अंतर गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=4n-1\), \(a_7=4\times7-1=27\) and \(a_3=4\times3-1=11\). Therefore, \(a_7-a_3=27-11=16\). The option 14 would result from an incorrect subtraction of the terms. Exam tip: substitute the value of \(n\) and find each required term separately.
पहले तीन पद (8,14,20) हैं और योग (42) है। परीक्षा में योग पूछे जाने पर सभी आवश्यक पद निकालें। / The first three terms are (8,14,20), and their sum is (42). In exams, find all required terms when a sum is asked.
अंतर (6) है और पहला पद (8) है, इसलिए \(a_n=6n+2\) है। परीक्षा में पहला पद मिलाने के लिए स्थिर संख्या निकालें। / The difference is (6) and the first term is (8), so \(a_n=6n+2\). In exams, find the constant to match the first term.
इसका नियम \(a_n=3n+4\) है और (3n+4=58) से (n=18) है। परीक्षा में पहले नियम लिखकर दिए पद से तुलना करें। / Its rule is \(a_n=3n+4\), and (3n+4=58) gives (n=18). In exams, write the rule first and compare it with the given term.
दिया है \(a_n=2n-1\)। \(a_n=41\) रखने पर \(2n-1=41\) मिलता है। अतः \(2n=42\), इसलिए \(n=21\)। इसलिए 41, अनुक्रम का 21वाँ पद है। उदाहरण के लिए \(n=20\) रखने पर \(a_{20}=39\) आता है, 41 नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए सामान्य पद में उस संख्या को रखकर \(n\) के लिए हल करें। / Given \(a_n=2n-1\), put \(a_n=41\). Then \(2n-1=41\), so \(2n=42\) and hence \(n=21\). Therefore, 41 is the 21st term of the sequence. For example, if \(n=20\), then \(a_{20}=39\), not 41. Exam tip: To find the term number of a given value, substitute that value in the general term and solve for \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+n\) से क्रमशः \(2,10,30,68\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^3+n\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=n^3+1\) में पहला पद 2 आता है, लेकिन \(n=2\) पर वह 9 देता है, 10 नहीं। परीक्षा सुझाव: सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^3+n\) gives \(2,10,30,68\), respectively. Therefore, the correct general term is \(a_n=n^3+n\). The close distractor \(a_n=n^3+1\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 9, not 10. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
दिया है \(a_n=n^3+n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3+3=27+3=30\) प्राप्त होता है। विकल्प 27 केवल \(3^3\) है; इसमें सूत्र का \(+n\) पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद के लिए पहले सूचकांक का मान सूत्र में रखें, फिर सभी संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=n^3+n\), substitute \(n=3\): \(a_3=3^3+3=27+3=30\). Option 27 represents only \(3^3\); it misses the \(+n\) term in the rule. Exam tip: To find a term of a sequence, substitute the required index into every part of the formula.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(8,14,20\) हैं और द्वितीय अंतर \(6,6\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2-n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,10,24,44\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में दूसरा पद \(8\) और विकल्प D में दूसरा पद \(12\) आता है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / The first differences are \(8,14,20\), and the second differences are constant: \(6,6\). Hence, the general term should be quadratic. For \(a_n=3n^2-n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,10,24,44\), respectively. Option A gives \(8\) as the second term, while option D gives \(12\), so they are incorrect. Exam tip: test a proposed rule by substituting at least the first three values of \(n\).
\(a_n=5n-2\) में \(a_{n+1}-a_n=5\) हर \(n\) के लिए स्थिर है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=5\) for every \(n\), so the common difference is constant. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: test consecutive-term differences.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^2+3\) से क्रमशः \(5,11,21,35\) प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प C सही है। निकटतम विकल्प \(a_n=3n^2+2\) में पहला पद 5 आता है, लेकिन \(n=2\) पर 14 मिलता है, 11 नहीं। परीक्षा टिप: स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+3\) gives \(5,11,21,35\), respectively, so option C is correct. The close distractor \(a_n=3n^2+2\) gives the first term as 5, but for \(n=2\) it gives 14, not 11. Exam tip: test an explicit rule using at least the first three values of \(n\).
\(a_n=5n-2\) में \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) स्थिर है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में रैखिक नियम \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant; hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences vary. Exam tip: look for a linear rule \(pn+q\).
पहला पद (5) है और हर बार (2) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में गुणोत्तर अनुक्रम में पहले पद और अनुपात दोनों देखें। / The first term is (5), and each term is multiplied by (2). In exams, check both the first term and ratio in a geometric sequence.
\(2\cdot3^n\) से (6,18,54,162) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि के लिए आधार की घात जाँचें। / \(2\cdot3^n\) gives (6,18,54,162). In exams, check powers of the base for geometric growth.
दिया है: \(a_n=3^n+2\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3+2=27+2=29\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 29 है। विकल्प 27 केवल \(3^3\) का मान है; उसमें \(+2\) जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले सूचकांक का मान रखें, फिर सभी संक्रियाएँ क्रम से पूरी करें। / Given \(a_n=3^n+2\), substitute \(n=3\): \(a_3=3^3+2=27+2=29\). Hence, 29 is correct. The option 27 is only the value of \(3^3\); the added 2 has been omitted. Exam tip: substitute the term number first, then complete each operation in order.
यदि \(a_n=3^n+2\) हो, तो \(a_1=3+2=5\), \(a_2=9+2=11\), \(a_3=27+2=29\) और \(a_4=81+2=83\) मिलते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=3^n+2\) है। \(a_n=3n+2\) केवल रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए तीसरे पद पर \(11\) देता है, \(29\) नहीं। परीक्षा टिप: घातीय अनुक्रम पहचानने के लिए शुरुआती पदों में \(n=1,2,3\) रखकर जाँच करें। / For \(a_n=3^n+2\), we get \(a_1=3+2=5\), \(a_2=9+2=11\), \(a_3=27+2=29\), and \(a_4=81+2=83\). Hence, the correct general term is \(a_n=3^n+2\). In contrast, \(a_n=3n+2\) grows linearly and gives \(11\) as its third term, not \(29\). Exam tip: test a proposed rule by substituting \(n=1,2,3\).
दिया है, \(a_n=2^n+1\)। अतः n=5 रखने पर \(a_5=2^5+1=32+1=33\) होगा। विकल्प 31 तब मिलता यदि केवल \(2^5-1\) लिया जाता, जबकि यहाँ 1 जोड़ना है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले n का मान रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से हल करें। / Given \(a_n=2^n+1\), substitute n=5: \(a_5=2^5+1=32+1=33\). The value 31 would result from using \(2^5-1\), but the rule requires adding 1. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent and remaining operations in order.
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(a_n=2^n+1\) से क्रमशः \(3,5,9,17\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही नियम \(a_n=2^n+1\) है। निकटतम विकल्प \(2^n-1\) से पहला पद \(1\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) का मान रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2^n+1\) gives \(3,5,9,17\), respectively. Hence, the correct rule is \(a_n=2^n+1\). The closest distractor, \(2^n-1\), gives \(1\) as the first term, so it is incorrect. Exam tip: verify an explicit rule by substituting values of \(n\) for at least the first three terms.
\(n^2-1=35\) से \(n^2=36\) और (n=6) मिलता है। परीक्षा में वर्ग पूरा करके पद संख्या निकालें। / From \(n^2-1=35\), we get \(n^2=36\) and (n=6). In exams, complete the square value to find the term number.
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(a_n=n^2-1\) से क्रमशः \(0,3,8,15\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^2-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2+1\) में पहला पद \(2\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर पहले दो पद अवश्य मिलाएँ। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2-1\) gives \(0,3,8,15\), respectively. Hence, \(a_n=n^2-1\) is the correct general term. For \(a_n=n^2+1\), the first term is \(2\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least \(n=1\) and \(n=2\).
\(a_5=\frac{5\times6}{2}+1=16\) है। परीक्षा में भिन्न भाग सरल करके अंत में (1) जोड़ें। / \(a_5=\frac{5\times6}{2}+1=16\). In exams, simplify the fractional part and add (1) at the end.
त्रिभुज संख्या में (1) जोड़ने से (2,4,7,11) मिलते हैं। परीक्षा में अंतर (2,3,4) दिखे तो त्रिभुज संख्या सोचें। / Adding (1) to triangular numbers gives (2,4,7,11). In exams, think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
A. प्रत्येक अगला पद 3 से बढ़ता है/Each next term increases by 3
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), इसलिए हर क्रमागत पद में 3 की समान वृद्धि होती है। विकल्प C गुणोत्तर परिवर्तन बताता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा में अंतर निकालकर जाँचें। / \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), so consecutive terms increase by a constant 3. Option C describes a multiplicative change, which does not apply here. Exam tip: find the common difference first.
(n(n+1)) से (2,6,12,20) मिलते हैं। परीक्षा में लगातार दो संख्याओं के गुणन वाले नियम को जाँचें। / (n(n+1)) gives (2,6,12,20). In exams, check rules involving the product of consecutive numbers.
दिया है (a_n=(n+1)2)। अतः n=6 रखने पर (a_6=(6+1)2=72=49) प्राप्त होता है। 36 विकल्प तब मिलता है जब (n+1) जोड़ने के बजाय केवल 6 का वर्ग कर दिया जाए, जो नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान नियम में रखकर कोष्ठक सरल करें, फिर घात लगाएँ। / Given (a_n=(n+1)2), substitute n=6: (a_6=(6+1)2=72=49). Option 36 results from squaring 6 without first adding 1, so it does not follow the given rule. Exam tip: substitute the term number into the rule, simplify the brackets first, and then apply the exponent.
ये पद \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं, इसलिए (a_n=(n+1)2) है। परीक्षा में वर्ग संख्याओं के स्थानांतरण को पहचानें। / These terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), so (a_n=(n+1)2). In exams, recognize shifted square numbers.
