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इसका नियम \(a_n=3n+2\) है और (3n+2=32) से (n=10) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n+2\), and (3n+2=32) gives (n=10). In exams, form the general term first to find the term number.
(3n+2=38) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (3n+2=38), we get (n=12). In exams, equate the formula to the given value when term number is asked.
(n=1) पर (42) और (n=2) पर (37) मिलता है, इसलिए \(a_n=47-5n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद जरूर मिलाएँ। / At (n=1) it gives (42), and at (n=2) it gives (37), so \(a_n=47-5n\). In exams, always match the first term in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=50-4n\)। \(n=9\) रखने पर \(a_9=50-4(9)=50-36=14\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 14 है। 16 तब मिलता यदि \(4\times9\) को गलत तरीके से 34 माना जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=50-4n\), substitute \(n=9\): \(a_9=50-4(9)=50-36=14\). Therefore, 14 is correct. A value such as 16 can result from incorrectly evaluating \(4\times9\). Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
अंतर (7) है और (n=1) पर मान (12) चाहिए, इसलिए \(a_n=7n+5\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (7), and at (n=1) the value must be (12), so \(a_n=7n+5\). In exams, take the difference as the coefficient of (n).
\(a_n=5n+2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर हमेशा 5 रहता है। अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2\) या \(2^n\) वाले नियम में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(an+b\) AP देता है। / In \(a_n=5n+2\), the coefficient of \(n\) is constant, so consecutive terms always differ by 5. Hence it is an arithmetic progression. Rules involving \(n^2\) or \(2^n\) do not have a constant difference. Exam tip: a rule of the form \(an+b\) represents an AP.
पहला पद (4) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जरूर जाँचें। / The first term is (4) and the difference is (5), so \(a_n=5n-1\). In exams, always check the first term by putting (n=1).
दिया है कि \(a_n=25+n\)। छठे पद के लिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=25+6=31\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 31 है। 30 तब मिलता यदि \(n=5\) रखा जाता, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मांगे गए पद की संख्या को \(n\) के स्थान पर सावधानी से रखें। / Given \(a_n=25+n\), substitute \(n=6\) for the sixth term: \(a_6=25+6=31\). Hence, 31 is the correct option. The value 30 would result from using \(n=5\), so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: carefully substitute the required term number for \(n\) in the general term.
\(n^2-3n\) से (-2,-2,0,4) मिलते हैं। परीक्षा में शून्य या ऋणात्मक पद देखकर नियम को न छोड़ें। / \(n^2-3n\) gives (-2,-2,0,4). In exams, do not reject a rule just because terms are zero or negative.
दिया है, \(a_n=n^2-3n\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=7^2-3(7)=49-21=28\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 28 है। 24 प्राप्त करने में \(7^2\) या \(3\times7\) की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय सूत्र में \(n\) के स्थान पर दी गई पद-संख्या सावधानी से रखें। / Given \(a_n=n^2-3n\). Substituting \(n=7\), \(a_7=7^2-3(7)=49-21=28\). Therefore, 28 is the correct option. A value such as 24 can result from an error while calculating \(7^2\) or \(3\times7\). Exam tip: To find a particular term, substitute the given term number carefully for \(n\) in the formula.
यहाँ पदों की गणना \(n=1\) से होती है। \(a_n=2^n+3\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,7,11,19\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह सही स्पष्ट नियम है। \(a_n=2n+3\) केवल पहले दो पद देता है; तीसरे पद के लिए यह \(9\) देता है, \(11\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n=1,2,3\) रखें। / Here the terms are counted from \(n=1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2^n+3\) gives \(5,7,11,19\), respectively, so it is the correct explicit rule. \(a_n=2n+3\) matches only the first two terms; for the third term it gives \(9\), not \(11\). Exam tip: test an explicit rule using at least the first three values of \(n\).
दिया है कि \(a_n=2^n+3\)। इसलिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4+3=16+3=19\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प 19 है। 18 तब मिलता यदि \(2^4\) में 2 जोड़ा जाता, जबकि यहाँ 3 जोड़ना है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखिए, फिर घात की गणना कीजिए। / Given \(a_n=2^n+3\), substitute \(n=4\): \(a_4=2^4+3=16+3=19\). Therefore, 19 is the correct option. The value 18 would result from adding 2 to \(2^4\), but the rule requires adding 3. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent.
\(a_n=3n^2+2n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,16,33,56\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यही सामान्य पद है। विकल्प \(a_n=2n^2+3n\) से पहला पद 5 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 14 मिलता है, 16 नहीं। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पद रखकर मिलान करें। / For \(a_n=3n^2+2n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,16,33,56\), respectively. Hence, it is the required general term. Although \(a_n=2n^2+3n\) gives the first term as 5, it gives 14 as the second term, not 16. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first two or three values of \(n\).
\(a_n=5n-2\) रैखिक रूप \(pn+q\) में है। अतः \(a_{n+1}-a_n=5\), जो हर पद के लिए समान है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: \(n\) की घात 1 हो तो समान अंतर जाँचें। / \(a_n=5n-2\) has the linear form \(pn+q\). Here, \(a_{n+1}-a_n=5\), so the common difference is constant. For \(n^2+1\), consecutive differences change. Exam tip: a first power of \(n\) indicates a possible arithmetic sequence.
पहला पद (15) और अंतर (11) है, इसलिए \(a_n=11n+4\) है। परीक्षा में अंतर को गुणांक और पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (15) and the difference is (11), so \(a_n=11n+4\). In exams, use the difference as coefficient and find the constant from the first term.
सही नियम \(a_n=4n+1\) है, क्योंकि \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\)। अन्य नियमों में पदों का अंतर स्थिर नहीं रहता। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / The correct rule is \(a_n=4n+1\), since \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\). The other rules do not have a constant difference. Exam tip: compare consecutive terms’ differences.
\(\frac{2n+1}{3}\) से \(1,\frac{5}{3},\frac{7}{3},3\) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न नियमों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{2n+1}{3}\) gives \(1,\frac{5}{3},\frac{7}{3},3\). In exams, match fractional rules with small (n) values.
दिया है \(a_n=\frac{2n+1}{3}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{2(4)+1}{3}=\frac{9}{3}=3\) प्राप्त होता है। \(\frac{7}{3}\) तब मिलता यदि \(n=3\) रखा जाता, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय सूत्र में \(n\) के स्थान पर दिया गया पदांक सावधानी से रखें। / Given \(a_n=\frac{2n+1}{3}\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=\frac{2(4)+1}{3}=\frac{9}{3}=3\). The value \(\frac{7}{3}\) would result from using \(n=3\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: substitute the required term number carefully for \(n\) before simplifying.
इसका नियम \(a_n=7n-8\) है और (7n-8=41) से (n=7) है। परीक्षा में सामान्य पद से पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=7n-8\), and (7n-8=41) gives (n=7). In exams, find the term number from the general term.
(n=1) पर (54) और (n=2) पर (48) मिलता है, इसलिए \(a_n=60-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में (n=1) से नियम जाँचें। / At (n=1) it gives (54), and at (n=2) it gives (48), so \(a_n=60-6n\). In exams, check a decreasing sequence rule using (n=1).
A. यह समान्तर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर 5 है/It is an arithmetic progression with common difference 5.
Explanation
Simple Explanation
\(n\) में 1 की वृद्धि करने पर \(a_n=5n-2\) का मान हर बार 5 बढ़ता है; अतः यह सार्वांतर 5 वाली समान्तर श्रेणी है। \(-2\) स्थिर पद है, सार्वांतर नहीं। परीक्षा टिप: \(n\) का गुणांक ही सार्वांतर होता है। / When \(n\) increases by 1, \(a_n=5n-2\) increases by 5 each time, so it is an arithmetic progression with common difference 5. The \(-2\) is a constant term, not the common difference. Exam tip: the coefficient of \(n\) gives the common difference.
\(n^2+3n\) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। परीक्षा में बहुपद नियम को पहले चार पदों से जाँचें। / Using \(n^2+3n\) gives (4,10,18,28). In exams, test the polynomial rule with the first four terms.
यहाँ n के स्थान पर 4 रखें: \(a_4=4^2+3(4)=16+12=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 26 प्राप्त होना प्रायः \(3\times4\) या जोड़ में गलती करने से होता है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय सूत्र में n के हर स्थान पर दी गई संख्या लिखकर क्रम से गणना करें। / Substitute 4 for n: \(a_4=4^2+3(4)=16+12=28\). Hence, 28 is correct. Getting 26 usually results from an error in calculating \(3\times4\) or in addition. Exam tip: To find a term from an explicit rule, replace every n with the given term number and simplify step by step.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है। जब \(n=1\) हो, तब पहला पद \(9=3^2\) होना चाहिए। इसलिए घातांक \(n+1\) होगा और सामान्य पद \(a_n=3^{n+1}\) है। \(a_n=3^n\) में पहला पद 3 आता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर सामान्य पद अवश्य जाँचें। / This is a geometric sequence because each term is 3 times the preceding term. For \(n=1\), the first term must be \(9=3^2\). Hence the exponent is \(n+1\), so \(a_n=3^{n+1}\). The rule \(a_n=3^n\) gives 3 as the first term, not 9. Exam tip: always substitute \(n=1\) to check a proposed general term.
दिया है कि \(a_n=3^{n+1}\)। \(n=2\) रखने पर \(a_2=3^{2+1}=3^3=27\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 27 है। 18 या 24 जैसे विकल्प घातांक \(n+1\) में 2 रखने की गलती से मिल सकते हैं। परीक्षा सुझाव: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान घातांक में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=3^{n+1}\). Substituting \(n=2\), we get \(a_2=3^{2+1}=3^3=27\). Therefore, 27 is the correct option. Values such as 18 or 24 may result from incorrectly substituting into the exponent \(n+1\). Exam tip: while finding a term, substitute the value of \(n\) carefully into the exponent first.
अंतर (4) है और पहला पद (13) है, इसलिए \(a_n=4n+9\) है। परीक्षा में अंतर और पहला पद दोनों मिलाएँ। / The difference is (4) and the first term is (13), so \(a_n=4n+9\). In exams, match both the difference and the first term.
\(a_n=5n-2\) का रूप \(dn+c\) है, जहाँ \(d=5\) स्थिर है। अतः क्रमागत पदों का अंतर 5 रहेगा और यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा में सामान्य पद में \(n\) की घात 1 जाँचें। / \(a_n=5n-2\) has the form \(dn+c\), with constant \(d=5\). Hence consecutive terms differ by 5, so it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences are not constant. Exam tip: check whether the power of \(n\) is 1.
\(6n^2-2\) रखने पर (4,22,52,94) मिलते हैं। परीक्षा में वर्ग वाले नियम को पहले तीन पदों से मिलाएँ। / Using \(6n^2-2\) gives (4,22,52,94). In exams, match the square rule with the first three terms.
\(a_n=4n+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\) है, जो स्थिर है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में रैखिक नियम \(pn+q\) पहचानें। / For \(a_n=4n+1\), \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\), a constant difference. In \(n^2+1\), the differences vary. Exam tip: a rule of the form \(pn+q\) is arithmetic.
(\frac{n(n+3)}{2}) से (2,5,9,14) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न सूत्रों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / (\frac{n(n+3)}{2}) gives (2,5,9,14). In exams, test fractional formulas with small (n) values.
