Which general term is correct for the sequence (5, 17, 37, 65, \ldots)?अनुक्रम (5, 17, 37, 65, \ldots) के लिए सही सामान्य पद कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: aₙ = 4n² + 1aₙ = 4n² + 1
An explicit rule must reproduce every listed term from its position. The first differences are 17−5=12, 37−17=20, and 65−37=28. The second differences are 20−12=8 and 28−20=8, indicating a quadratic pattern. Test option B: for n=1, 4(1)²+1=5; for n=2, 4(2)²+1=17; for n=3, 4(3)²+1=37; and for n=4, 4(4)²+1=65. It matches all four terms, so B is correct. Option A is linear and gives 9 when n=2. Option C gives 5 at n=1 but 20 at n=2. Option D gives 5, 17, 29, 41, so it fails from the third term. Both direct substitution and the constant second difference support B.स्पष्ट सामान्य नियम में प्रत्येक पद उसकी स्थिति n के आधार पर सही रूप से प्राप्त होना चाहिए। दिए गए पदों के प्रथम अंतर 12, 20 और 28 हैं। इनके द्वितीय अंतर 8 और 8 हैं, इसलिए अनुक्रम का नियम द्विघात होने की संभावना है। विकल्प B में n=1 रखने पर 4(1)²+1=5, n=2 पर 4(2)²+1=17, n=3 पर 4(3)²+1=37 और n=4 पर 4(4)²+1=65 मिलता है। अतः B सही है। विकल्प A रैखिक है और n=2 पर 9 देता है। विकल्प C में पहला पद सही है, लेकिन दूसरा पद 20 आता है। विकल्प D से 5, 17, 29, 41 प्राप्त होते हैं, इसलिए वह तीसरे पद से ही असंगत हो जाता है।
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