Which explicit rule is correct for the sequence (7, 16, 31, 52, ...)?अनुक्रम (7, 16, 31, 52, ...) के लिए सही स्पष्ट नियम कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: aₙ = 3n² + 4aₙ = 3n² + 4
The governing concept is identifying a quadratic explicit rule. The first differences are 16 − 7 = 9, 31 − 16 = 15, and 52 − 31 = 21. Their second differences are 15 − 9 = 6 and 21 − 15 = 6, which suggests a quadratic expression. Test option C: for n = 1, 3(1)² + 4 = 7; for n = 2, 3(2)² + 4 = 16; for n = 3, 3(3)² + 4 = 31; and for n = 4, 3(4)² + 4 = 52. Hence aₙ = 3n² + 4 and option C is correct. Option A is linear and gives 7, 14, 21, ...; option B gives 7, 10, 15, ...; and option D gives 7, 16, 25, ..., so each fails at a later term.यह प्रश्न द्विघात स्पष्ट नियम पहचानने की अवधारणा पर आधारित है। प्रथम अंतरों की गणना करें: 16 − 7 = 9, 31 − 16 = 15 और 52 − 31 = 21। इनके द्वितीय अंतर 15 − 9 = 6 तथा 21 − 15 = 6 हैं। समान द्वितीय अंतर होने से द्विघात नियम की संभावना बनती है। अब विकल्प C जाँचें: n = 1 पर 3(1)² + 4 = 7, n = 2 पर 3(2)² + 4 = 16, n = 3 पर 3(3)² + 4 = 31 और n = 4 पर 3(4)² + 4 = 52। इसलिए aₙ = 3n² + 4 तथा सही विकल्प C है। विकल्प A से 7, 14, 21, ...; विकल्प B से 7, 10, 15, ...; और विकल्प D से 7, 16, 25, ... मिलता है। इसलिए प्रत्येक गलत विकल्प किसी अगले पद पर असफल हो जाता है।
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