Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (2) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=2+(n-1)7=7n-5)। रैखिक अनुक्रम में (n) का गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (2) and the common difference is (7), so (a_n=2+(n-1)7=7n-5). In a linear sequence the coefficient of (n) is the common difference.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटते अनुक्रम में समान अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). In a decreasing sequence take the common difference as negative.
(8n-3=77) से (8n=80) और (n=10)। पद-संख्या निकालने के लिए नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (8n-3=77), (8n=80) and (n=10). To find the position set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,20,30,42) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,20,30,42). When forming terms from a rule start (n) from (1).
अंश (2n+1) और हर (3n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\)। भिन्न में अंश और हर का नियम अलग-अलग पहचानें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+1), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\). In fractions identify the numerator and denominator rules separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,12,24,40) मिलते हैं। गुणन रूप में दिए नियम में सीधे पद-संख्या रखें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,12,24,40). In a product-form rule substitute the term number directly.
यह \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(n+3)2). In square sequences relate the base number to (n).
यह \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences identify the base number.
\(a_5=13\) और \(b_3=19\), इसलिए योग (32) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान से रखें। / \(a_5=13\) and \(b_3=19\), so the sum is (32). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
इसका नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) है इसलिए \(a_9=162+27+3=192\) नहीं आता; सही नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) से (192) आता है। यह विकल्प-संगति जांचने वाला प्रश्न है। / The rule \(a_n=2n^2+3n+3\) gives \(a_9=192\), so the shown options do not match. This is an option-consistency check question.
\(n^2+3n\) से (4,10,18,28) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+3n\) gives (4,10,18,28). When differences increase, check a quadratic rule.
D. (74) इस अनुक्रम का पद नहीं है/(74) is not a term of this sequence
Explanation
Simple Explanation
सामान्य पद \(a_n=7n+4\) है और (7n+4=74) से (n=10) मिलता है। इसलिए (74) दसवाँ पद है। / The general term is \(a_n=7n+4\), and (7n+4=74) gives (n=10). Therefore (74) is the tenth term.
यह \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-2)2)। वर्गों में आधारों का अंतर पहचानें। / This is \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\), so (a_n=(4n-2)2). In squares identify the difference between bases.
अंश (3n+1) और हर (2n+3) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का नियम अलग बनाएं। / The numerator is (3n+1) and the denominator is (2n+3), so \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\). In a fractional sequence form rules for both parts separately.
\(a_7-a_3=16\) और चार अंतर हैं इसलिए (d=4), फिर \(a_n=4n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_7-a_3=16\) and there are four gaps, so (d=4), then \(a_n=4n\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (5,10,19) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,10,19). To check options, find the initial terms.
(6m-4=50) से (6m=54) और (m=9)। अज्ञात गुणांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (6m-4=50), (6m=54) and (m=9). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
पहला पद (9) और अंतर (-7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n)। शब्दों से नियम बनाते समय घटाव को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (9) and the difference is (-7), so (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n). When forming a rule from words, treat decrease as a negative difference.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार दो प्राकृतिक संख्याओं का गुणन पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\), so (a_n=n(n+1)). Identify the product of two consecutive natural numbers.
\(n^2+4n+1\) से (6,13,22,33) मिलते हैं। बढ़ते अंतर द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(n^2+4n+1\) gives (6,13,22,33). Increasing differences indicate a quadratic rule.
\(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\) से (10n=4n+12) और (n=2) मिलता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\), (10n=4n+12) and (n=2), so none of the given options is correct. Use cross multiplication in a fractional equation.
\(a_2=16\) और \(a_5=79\), इसलिए योग (95) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_2=16\) and \(a_5=79\), so the sum is (95). Find both terms separately before adding.
यह \(3^2,5^2,7^2,9^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(2n+1)2)। विषम आधारों के वर्ग पहचानें। / This is \(3^2,5^2,7^2,9^2,\ldots\), so (a_n=(2n+1)2). Identify squares of odd bases.
\(n^2+2\) से (3,6,11,18) मिलते हैं। अंतर (3,5,7) जैसा बढ़े तो वर्ग आधारित नियम देखें। / \(n^2+2\) gives (3,6,11,18). When differences grow like (3,5,7), look for a square-based rule.
(n=1,2,3) रखने पर (5,13,33) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,13,33). Do not forget to add both the power part and the linear part.
सामान्य पद \(a_n=7n+5\) है इसलिए \(a_{30}=215\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=7n+5\), so \(a_{30}=215\). Use the same general rule even for a large term.
पाँच अंतरों में कुल परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n)। पहले समान अंतर निकालें। / The total change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n). Find the common difference first.
(n=7) रखने पर (49+28=77) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=7) gives (49+28=77). Directly checking options is a quick method.
\(n^2-n+3\) से (3,5,9,15) नहीं बल्कि विकल्प जांच जरूरी है; सही नियम \(n^2-2n+4\) होगा। इस प्रकार के प्रश्न में दिए विकल्पों की संगति जांचें। / Option checking is necessary because \(n^2-n+3\) does not give the sequence; the correct rule would be \(n^2-2n+4\). This type tests consistency of options.
(a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\), so (a_n=(n+4)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-4) है इसलिए समान अंतर (-4) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-4), so the common difference is (-4). Do not miss the sign while reading the coefficient.
सामान्य पद \(a_n=68-8n\) है और (68-8n=-4) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=68-8n\), and (68-8n=-4) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
(n=1,2,3) रखने पर (6,13,26) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (6,13,26). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+4\) और हर \(n^2+1\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश और हर के वर्ग पैटर्न अलग पहचानें। / The numerator is \(n^2+4\) and the denominator is \(n^2+1\), so \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\). In a fractional sequence identify square patterns separately.
अंश (2n) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (2n) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
\(a_7=71\) और \(a_2=16\), इसलिए अंतर (55) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_7=71\) and \(a_2=16\), so the difference is (55). Calculate both terms separately before subtracting.
परिमाण (5n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}5n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (5n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}5n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(3n^2+4n\) से (7,20,39,64) नहीं आता; सही नियम \(4n^2+3\) है। विकल्पों को पहले चार पदों से मिलाना चाहिए। / \(3n^2+4n\) does not give the sequence; the correct rule is \(4n^2+3\). Options should be matched with the first four terms.
(16+4d+2=34) से (4d=16) और (d=4)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (16+4d+2=34), (4d=16) and (d=4). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(a_5=0\) और \(a_6=-3\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=0\) and \(a_6=-3\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero as negative.
पाँच अंतरों में वृद्धि (25) है इसलिए (d=5), अतः (a_{12}=42+3(5)=57)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over five gaps is (25), so (d=5), hence (a_{12}=42+3(5)=57). Extend the terms using the common difference.
\(n^2+8n+1\) से (10,21,34,49) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम जांचें। / \(n^2+8n+1\) gives (10,21,34,49). When differences increase, check a quadratic rule.
पाँच अंतरों में परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः \(a_n=21-3n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence \(a_n=21-3n\). From two given terms first find the common difference.
