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पहला पद (17) और अंतर (8) है, इसलिए (a_n=17+(n-1)8=8n+9)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (17) and the difference is (8), so (a_n=17+(n-1)8=8n+9). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
यहाँ n=6 रखने पर a_6=7(6)2-3(6)+5=7×36-18+5=252-18+5=239 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 239 है। विकल्प 252 केवल 7×6² का मान है; इसमें -3n+5 को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा तथा जोड़-घटाव करें। / Substitute n=6: a_6=7(6)2-3(6)+5=7×36-18+5=252-18+5=239. Therefore, 239 is correct. Option 252 is only the value of 7×6² and ignores the terms -3n+5. Exam tip: evaluate the exponent first, then perform multiplication and addition or subtraction.
(7d=63) से (d=9) और \(a_1=2\), इसलिए \(a_n=9n-7\)। दो दिए पदों से पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (7d=63), (d=9) and \(a_1=2\), so \(a_n=9n-7\). From two given terms, find the common difference first.
क्रमागत पदों के अंतर \(17,25,33,41\) हैं और इनके द्वितीय अंतर सभी \(8\) हैं। इसलिए पद का रूप द्विघात होगा, अर्थात \(a_n=4n^2+bn+c\)। \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर \(b=5\) तथा \(c=0\) मिलता है। अतः \(a_n=4n^2+5n\) है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर 9 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 25 मिलता है, 26 नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर पद को \(an^2+bn+c\) के रूप में जाँचें। / The successive differences are \(17,25,33,41\), and their second differences are all \(8\). Hence the nth term is quadratic: \(a_n=4n^2+bn+c\). Substituting \(n=1\) and \(n=2\) gives \(b=5\) and \(c=0\). Therefore, \(a_n=4n^2+5n\). Option C gives 9 for \(n=1\), but it gives 25 rather than 26 for \(n=2\). Exam tip: when second differences are constant, test a form \(an^2+bn+c\).
(n=2r-1) रखने पर (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2r-1), (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26). Substitute the whole expression used as the index.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_6=6\cdot5^5=18750\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_6=6\cdot5^5=18750\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
दिया है, \(a_n=2n^2+9n-11\)। अतः \(a_{10}=2(10)^2+9(10)-11=279\) और \(a_4=2(4)^2+9(4)-11=57\)। इसलिए \(a_{10}-a_4=279-57=222\)। 204 तब मिलता है जब \(a_4\) की गणना गलत तरीके से 75 की जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर फिर घटाएं। / Given \(a_n=2n^2+9n-11\), \(a_{10}=2(10)^2+9(10)-11=279\) and \(a_4=2(4)^2+9(4)-11=57\). Therefore, \(a_{10}-a_4=279-57=222\). The value 204 results from incorrectly calculating \(a_4\) as 75. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before finding the difference.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+1\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (8), and \(4n^2+1\) gives all starting terms. Half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
दिया है कि \(a_n=35-6n\)। \(a_n=-43\) रखने पर \(35-6n=-43\) मिलता है। अतः \(-6n=-78\), इसलिए \(n=13\)। इसलिए \(-43\), 13वां पद है। निकटतम विकल्प 14वां गलत है, क्योंकि \(a_{14}=35-84=-49\)। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को दूसरी ओर ले जाते समय दोनों पक्षों के चिन्हों का ध्यान रखें। / Given \(a_n=35-6n\), put \(a_n=-43\): \(35-6n=-43\). Thus, \(-6n=-78\), so \(n=13\). Therefore, \(-43\) is the 13th term. The nearby distractor, the 14th term, is incorrect because \(a_{14}=35-84=-49\). Exam tip: take special care with signs when transposing negative terms in an equation.
दिए गए पद \(3n^2+4n+1\) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The given terms match \(3n^2+4n+1\). Testing options on the first three terms is a safe method.
(n=9) पर ((-1)9=-1) और (5(9)-3=42), इसलिए \(a_9=-42\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=9), ((-1)9=-1) and (5(9)-3=42), so \(a_9=-42\). In alternating signs, check the even-odd position.
\(a_9=a_1+8d\) से \(a_1=5\), इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_9=a_1+8d\), \(a_1=5\), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(16-3,32-3,64-3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+3}-3\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(16-3,32-3,64-3,\ldots\), so \(a_n=2^{n+3}-3\). In exponential patterns, identify the starting power.
हर पद में \(\frac{11}{6}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{11n}{6}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{11}{6}\), so \(a_n=\frac{11n}{6}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
पद \(5n^2+1\) नहीं बल्कि \(5n^2+1\) से मिलते हैं, इसलिए दिए विकल्पों में सही पद नहीं है। सही विकल्पों को पहले पद पर अवश्य जांचें। / The terms match \(5n^2+1\), so none of the listed options is correct. Always test options on the first term.
दिया है \(a_n=8n^2-7n+4\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=8(n+1)^2-7(n+1)+4=8n^2+9n+5\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(8n^2+9n+5)-(8n^2-7n+4)=16n+1\)। विकल्प \(16n-7\) में \((n+1)^2\) को फैलाते समय मिलने वाला \(16n\) पद सही ढंग से नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखें, फिर \(a_n\) घटाएँ। / Given \(a_n=8n^2-7n+4\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=8(n+1)^2-7(n+1)+4=8n^2+9n+5\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(8n^2+9n+5)-(8n^2-7n+4)=16n+1\). The option \(16n-7\) results from incorrectly handling the linear term produced when expanding \((n+1)^2\). Exam tip: find \(a_{n+1}\) completely before subtracting \(a_n\).
दिया है \(a_n=2n^3-3n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\)। इसलिए सही उत्तर 235 है। 250 केवल \(2(5)^3\) का मान है; उसमें से \(3\times5\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=2n^3-3n\), substitute \(n=5\): \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\). Hence, 235 is correct. 250 is only the value of \(2(5)^3\); the term \(3\times5\) must still be subtracted. Exam tip: evaluate the power first, then multiply and subtract.
पहला पद (44) और अंतर (-7) है, इसलिए (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (44) and the difference is (-7), so (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a_1=11\) और \(d=-4\) रखने पर \(a_n=11-4(n-1)\) मिलता है। विकल्प D में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा में पहले \(a_1\) जाँचें। / For an AP, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Substituting \(a_1=11\) and \(d=-4\) gives \(a_n=11-4(n-1)\). In option D, the first term is 7, not 11. Exam tip: always verify the first term first.
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+10n+6\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में पहले तीन पदों से पुष्टि करें। / The second differences are (4), and \(2n^2+10n+6\) gives the starting terms. Confirm a quadratic rule using the first three terms.
दिया है कि समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=13n-19\) है। 176 के लिए \(13n-19=176\) लिखते हैं। अतः \(13n=195\), इसलिए \(n=15\)। इसलिए 176, श्रेणी का 15वाँ पद है। 14वाँ पद \(13(14)-19=163\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) में उस पद का मान रखकर n के लिए हल करें। / Given \(a_n=13n-19\), set the nth term equal to 176: \(13n-19=176\). Thus, \(13n=195\), so \(n=15\). Therefore, 176 is the 15th term of the sequence. The 14th term is \(13(14)-19=163\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate \(a_n\) to the given term and solve for n.
हर पद में \(\frac{13}{7}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{13n}{7}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{13}{7}\), so \(a_n=\frac{13n}{7}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
दिए गए सूत्र में मान रखने पर, \(a_9=3(9)^2+5(9)-8=280\) तथा \(a_6=3(6)^2+5(6)-8=130\) मिलता है। अतः \(a_9-a_6=280-130=150\)। विकल्प 120 गलत है, क्योंकि उसमें \(a_6\) का मान 160 लिया गया है। परीक्षा टिप: अंतर निकालने से पहले दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर सावधानी से गणना करें। / Substituting the values in the given formula gives \(a_9=3(9)^2+5(9)-8=280\) and \(a_6=3(6)^2+5(6)-8=130\). Therefore, \(a_9-a_6=280-130=150\). Option 120 is incorrect because it uses 160 as the value of \(a_6\). Exam tip: Evaluate both terms separately before finding their difference.
पद \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=7n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=7n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दिया है कि a_n=28-5n। अतः a_7=28-5(7)=28-35=-7 तथा a_{12}=28-5(12)=28-60=-32। इसलिए a_7+a_{12}=-7+(-32)=-39। विकल्प A में -37 प्राप्त हो सकता है यदि किसी पद के लिए n का गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में n का मान अलग-अलग रखने के बाद ही उनका योग करें। / Given a_n=28-5n, a_7=28-5(7)=28-35=-7 and a_{12}=28-5(12)=28-60=-32. Therefore, a_7+a_{12}=-7+(-32)=-39. Option A can result from substituting an incorrect value of n in one of the terms. Exam tip: evaluate each required term separately before adding them.
पद \(4^3,5^3,6^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences, observe the starting base.
सूचकांक (6) बढ़ा है और सामान्य अंतर (10) है इसलिए अंतर (60) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (6) and the common difference is (10), so the difference is (60). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
दिया है \(a_n=5n^2+2n-9\)। अतः \(a_{n+2}=5(n+2)^2+2(n+2)-9=5n^2+22n+15\)। इसलिए \(a_{n+2}-a_n=(5n^2+22n+15)-(5n^2+2n-9)=20n+24\)। विकल्प \(20n+22\) में स्थिर पद की गणना में त्रुटि है। परीक्षा टिप: \((n+2)^2=n^2+4n+4\) लिखकर विस्तार करें। / Given \(a_n=5n^2+2n-9\), \(a_{n+2}=5(n+2)^2+2(n+2)-9=5n^2+22n+15\). Hence, \(a_{n+2}-a_n=(5n^2+22n+15)-(5n^2+2n-9)=20n+24\). The option \(20n+22\) results from an error in calculating the constant term. Exam tip: first expand \((n+2)^2=n^2+4n+4\) carefully.
(9d=108) से (d=12), इसलिए \(a_{26}=181+9\cdot12=289\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=108), (d=12), so \(a_{26}=181+9\cdot12=289\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
क्रमागत अंतरों को देखें: \(12-2=10\), \(30-12=18\), \(56-30=26\), \(90-56=34\)। इन अंतरों का अंतर हर बार \(8\) है, इसलिए पद एक द्विघात व्यंजक होगा जिसका \(n^2\) का गुणांक \(4\) है। \(a_n=4n^2-2n\) रखने पर \(a_1=2\), \(a_2=12\), \(a_3=30\) मिलते हैं। विकल्प B में दूसरा पद \(10\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सूत्र को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The consecutive differences are \(12-2=10\), \(30-12=18\), \(56-30=26\), and \(90-56=34\). Their second differences are constantly \(8\), so the sequence is quadratic with coefficient \(4\) for \(n^2\). Using \(a_n=4n^2-2n\) gives \(a_1=2\), \(a_2=12\), and \(a_3=30\). Option B gives \(10\) as the second term, so it is not correct. Exam tip: verify a proposed nth-term formula using at least the first three terms.
दिया है \(a_n=7n-13\)। \(a_{4n+1}\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) के स्थान पर पूरा सूचकांक \(4n+1\) रखें: \(a_{4n+1}=7(4n+1)-13=28n+7-13=28n-6\)। इसलिए सही विकल्प \(28n-6\) है। \(28n-13\) में \(+1\) का प्रभाव नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: उपसूचकांक में कोई व्यंजक हो तो उसे हमेशा कोष्ठक में रखकर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=7n-13\). To find \(a_{4n+1}\), substitute the complete index \(4n+1\) for \(n\): \(a_{4n+1}=7(4n+1)-13=28n+7-13=28n-6\). Hence, \(28n-6\) is correct. In \(28n-13\), the effect of the \(+1\) in the index has been omitted. Exam tip: always put a compound subscript in brackets before substituting it into the nth-term formula.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=23\) और सार्वांतर \(d=15\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(23+(n-1)\times15=218\) से \((n-1)\times15=195\), इसलिए \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 218, 14वाँ पद है। 13वाँ पद लेने पर मान \(203\) आता है, 218 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय सूत्र में \(n-1\) अवश्य रखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=23\) and common difference \(d=15\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(23+(n-1)\times15=218\) gives \((n-1)\times15=195\), hence \(n-1=13\) and \(n=14\). Therefore, 218 is the 14th term. The 13th term is \(203\), not 218. Exam tip: While finding a term number, remember that the formula contains \(n-1\).
\(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+7)}{4}=\frac{12\times19}{4}=3\times19=57\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 57 है। 60 जैसा उत्तर प्रायः \(12+7\) का गलत मान लेने या गुणा-भाग में त्रुटि से मिलता है। परीक्षा में पहले 12 और 4 को काटकर सरल करें, फिर 19 से गुणा करें। / Putting \(n=12\), we get \(a_{12}=\frac{12(12+7)}{4}=\frac{12\times19}{4}=3\times19=57\). Hence, 57 is correct. A value such as 60 can result from incorrectly evaluating \(12+7\) or making an error in multiplication or division. Exam tip: simplify 12 and 4 first, then multiply by 19.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+8n-1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (8), and \(4n^2+8n-1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
\(n=6\) रखने पर \(a_6=9\cdot2^{6-1}+4=9\cdot2^5+4=9\cdot32+4=292\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 292 है। \(290\) तब मिल सकता है जब अंतिम \(+4\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: घातांक वाले प्रश्नों में पहले \(n-1\) ज्ञात करें, फिर घात का मान निकालें। / Substituting \(n=6\), \(a_6=9\cdot2^{6-1}+4=9\cdot2^5+4=9\cdot32+4=292\). Hence, the correct answer is 292. The value \(290\) can result from an incorrect addition of the final \(+4\). Exam tip: in exponential expressions, calculate \(n-1\) first and then evaluate the power.
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=4(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=4(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
दिया है कि \(a_n=n^2+14\)। 183 किस पद का मान है, इसके लिए \(n^2+14=183\) लिखते हैं। अतः \(n^2=169\), इसलिए \(n=13\) (पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है)। इसलिए 183, 13वाँ पद है। 12वाँ पद लेने पर \(12^2+14=158\) मिलता है, जो 183 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=n^2+14\), set the term equal to 183: \(n^2+14=183\). Thus, \(n^2=169\), so \(n=13\), since a term number must be a positive integer. Therefore, 183 is the 13th term. For example, the 12th term is \(12^2+14=158\), not 183. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
दिया है कि \(a_n=6n^2-11n+9\)। अतः \(a_{11}=6(11)^2-11(11)+9=614\) और \(a_5=6(5)^2-11(5)+9=104\)। इसलिए \(a_{11}-a_5=614-104=510\)। विकल्प 540 तब मिलता है जब \(a_5\) की गणना गलत करके 74 ली जाए। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों में \(n\) का मान सावधानी से रखकर अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=6n^2-11n+9\), \(a_{11}=6(11)^2-11(11)+9=614\) and \(a_5=6(5)^2-11(5)+9=104\). Therefore, \(a_{11}-a_5=614-104=510\). The value 540 results from incorrectly calculating \(a_5\) as 74. Exam tip: substitute each value of \(n\) carefully and find both terms separately before subtracting.
पहला पद (27) और अंतर (22) है, इसलिए \(a_{20}=27+19\cdot22=445\)। (20)वें पद में (19) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (27) and the difference is (22), so \(a_{20}=27+19\cdot22=445\). The (20)th term includes (19) differences.
\(a_8=312\) और \(a_3=57\), इसलिए अंतर (255) है। विकल्प मिलाने से पहले गणना दोबारा जांचें। / \(a_8=312\) and \(a_3=57\), so the difference is (255). Recheck the calculation before matching options.
पद \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=9n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=9n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दिया है कि \(a_n=55-8n\)। \(a_n=7\) रखने पर \(55-8n=7\) मिलता है। अतः \(8n=48\), इसलिए \(n=6\)। इसलिए 7 अनुक्रम का 6वाँ पद है। 5वाँ पद लेने पर मान \(15\) आएगा, 7 नहीं। परीक्षा में पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के सूत्र में रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=55-8n\), put \(a_n=7\): \(55-8n=7\). Thus, \(8n=48\), so \(n=6\). Therefore, 7 is the 6th term of the sequence. The 5th term would be 15, not 7. Exam tip: substitute the given term value into the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
दूसरे अंतर (12) हैं और \(6n^2+9n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (12), and \(6n^2+9n+1\) gives all starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
दिया है \(a_n=6n+17\)। \(a_{5p-3}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(5p-3\) रखें: \(a_{5p-3}=6(5p-3)+17=30p-18+17=30p-1\)। इसलिए सही विकल्प \(30p-1\) है। \(30p-18\) केवल \(6(5p-3)\) तक है; उसमें स्थिर पद \(+17\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: सूचकांक में दिया गया पूरा व्यंजक हमेशा \(n\) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=6n+17\), substitute the entire index \(5p-3\) for \(n\): \(a_{5p-3}=6(5p-3)+17=30p-18+17=30p-1\). Hence, \(30p-1\) is correct. \(30p-18\) results if the constant term \(+17\) is not added. Exam tip: always substitute the complete expression in the subscript for \(n\).
क्रमागत पदों के अंतर \(4,8,16,32\) हैं, जो प्रत्येक बार दोगुने हो रहे हैं। \(2^{n+1}+3\) रखने पर \(n=1\) के लिए \(7\), \(n=2\) के लिए \(11\) और \(n=3\) के लिए \(19\) मिलता है, इसलिए यही सही पद है। \(2^n+5\) पहला पद तो देता है, पर \(n=2\) पर \(9\) देता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: घातीय श्रेणी में पहले क्रमागत अंतरों का पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(4,8,16,32\), and each difference doubles. Substituting \(n=1,2,3\) in \(2^{n+1}+3\) gives \(7,11,19\), so it matches the sequence. Although \(2^n+5\) gives the first term, it gives \(9\) when \(n=2\), so it is incorrect. Exam tip: for an exponential sequence, first inspect the pattern of consecutive differences.
160वाँ मान पाने के लिए n(n+6)=160 हल करते हैं। अतः n²+6n−160=0, यानी (n−10)(n+16)=0। n एक धनात्मक पद-संख्या है, इसलिए n=10 होगा। n=−16 मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: पद-संख्या वाले प्रश्नों में केवल धनात्मक पूर्णांक मूल ही स्वीकार करें। / To obtain the value 160, solve n(n+6)=160. This gives n²+6n−160=0, or (n−10)(n+16)=0. Since n is a positive term number, n=10. The root n=−16 is not valid. Exam tip: for term-number questions, accept only positive integer roots.
\(a_n=15n-23\) में (n) का गुणांक (15) है, इसलिए सामान्य अंतर (15) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=15n-23\), the coefficient of (n) is (15), so the common difference is (15). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद \(\frac{1}{5}\) गुना हो रहा है इसलिए \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{5}\), so \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
