Level 43 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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If \(a_n=4n^2+2n-3\), what will be the value of \(a_{11}\)?
B. (503)
\(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\) है। पहले वर्ग निकालकर फिर बाकी क्रियाएँ करें। / \(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\). Exam tip: square first and then complete the remaining operations.
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What will be the next term in the sequence \(9,21,39,63,93,\ldots\)?
C. 129
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(21-9=12\), \(39-21=18\), \(63-39=24\) और \(93-63=30\)। ये अंतर हर बार \(6\) बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(36\) होगा। अतः अगला पद \(93+36=129\) है। विकल्प 123 तब मिलता यदि अंतर 30 ही रहता, पर अंतर बढ़ने का क्रम जारी है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले और दूसरे अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(21-9=12\), \(39-21=18\), \(63-39=24\), and \(93-63=30\). These differences increase by \(6\) each time, so the next difference is \(36\). Therefore, the next term is \(93+36=129\). Option 123 would result if the difference remained 30, but the pattern shows that it continues increasing. Exam tip: For such sequences, list the first and second differences to identify the pattern.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=2a_n+3n\), what will \(a_5\) be?
C. (139)
पद (5,13,32,73,158) नहीं बल्कि \(a_5=158\) होता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / The terms are (5,13,32,73,158), so \(a_5=158\). Therefore none of the given options is correct.
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What will be the next term in the sequence \(4,13,28,49,76,\ldots\)?
B. 109
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(13-4=9\), \(28-13=15\), \(49-28=21\) और \(76-49=27\)। ये अंतर हर बार \(6\) बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(27+6=33\) होगा। अतः अगला पद \(76+33=109\) है। \(107\) तब मिलता यदि अगला अंतर \(31\) मान लिया जाए, जो दिए गए अंतर-पैटर्न के अनुरूप नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The differences between consecutive terms are \(13-4=9\), \(28-13=15\), \(49-28=21\), and \(76-49=27\). These differences increase by \(6\) each time, so the next difference is \(27+6=33\). Therefore, the next term is \(76+33=109\). Option \(107\) would require the next difference to be \(31\), which does not follow the given difference pattern. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and then look for their pattern.
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Let the general term of a sequence be \(a_n=2^n+1\), where \(n\geq1\). What type of sequence is it?
D. न तो समांतर और न ही गुणोत्तर श्रेणीNeither arithmetic nor geometric progression
इसके पद \(3,5,9,17,\ldots\) हैं। क्रमागत अंतर \(2,4,8\) समान नहीं हैं और अनुपात \(5/3,9/5\) भी समान नहीं हैं। अतः यह न AP है, न GP। परीक्षा टिप: AP में अंतर और GP में अनुपात जाँचें। / Its terms are \(3,5,9,17,\ldots\). The consecutive differences \(2,4,8\) are not equal, and the ratios \(5/3,9/5\) are also not equal. Hence it is neither an AP nor a GP. Exam tip: check differences for AP and ratios for GP.
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If \(a_n=2n^2+5n\), which term is (403)?
B. (13)वाँ(13)th
\(2\times13^2+5\times13=403\) है इसलिए यह (13)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(2\times13^2+5\times13=403\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute the options into the formula.
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What will be the next term in the sequence \(150,146,137,123,104,\ldots\)?
A. 80
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(146-150=-4\), \(137-146=-9\), \(123-137=-14\) और \(104-123=-19\)। ये अंतर हर बार \(-5\) से घट रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(-24\) होगा। अतः अगला पद \(104-24=80\) है। विकल्प 82 लेने पर अंतर \(-22\) होगा, जो इस अंतर-पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The consecutive differences are \(146-150=-4\), \(137-146=-9\), \(123-137=-14\), and \(104-123=-19\). These differences decrease by \(-5\) each time, so the next difference is \(-24\). Therefore, the next term is \(104-24=80\). Choosing 82 would give a difference of \(-22\), which does not follow the difference pattern. Exam tip: For such sequences, first list the consecutive differences and check their pattern.
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D. (98)
(49) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(49\times2=98\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (49), multiplication by (2) is applied, so \(49\times2=98\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=2a_n+n^2\), what will \(a_5\) be?
C. 106
पुनरावृत्ति संबंध में प्रत्येक चरण पर वर्तमान n का वर्ग जोड़ना है। अतः a_2=2(3)+12=7, a_3=2(7)+22=18, a_4=2(18)+32=45 और a_5=2(45)+42=106। इसलिए सही उत्तर 106 है। 107 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब 42 को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: a_5 निकालने के लिए नियम में n=1, 2, 3, 4 क्रमशः रखें। / In the recurrence, add the square of the current value of n at every step. Thus, a_2=2(3)+12=7, a_3=2(7)+22=18, a_4=2(18)+32=45, and a_5=2(45)+42=106. Therefore, 106 is correct. A value such as 107 can result from an error while adding 42. Exam tip: to find a_5, apply the rule successively for n=1, 2, 3, and 4.
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If (a_n=(-1)^{n+1}(2n+3)), what will be the value of \(a_8+a_9\)?
B. (2)
\(a_8=-19\) और \(a_9=21\) इसलिए योग (2) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम क्रमांक देखें। / \(a_8=-19\) and \(a_9=21\), so the sum is (2). Exam tip: track even and odd positions in sign-changing sequences.
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What will be the (9)th term in the sequence \(\frac{3}{4},\frac{5}{7},\frac{7}{10},\ldots\)?
B. \(\frac{19}{28}\)
सामान्य पद \(\frac{2n+1}{3n+1}\) है इसलिए (9)वाँ पद \(\frac{19}{28}\) है। अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{2n+1}{3n+1}\), so the (9)th term is \(\frac{19}{28}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
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If \(a_n=3^n-n^2\), what will be the value of \(a_5\)?
C. 218
दिया है कि \(a_n=3^n-n^2\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=3^5-5^2=243-25=218\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 218 है। निकटतम विकल्प 214 गलत है, क्योंकि \(3^5\) का मान 243 होता है, 239 नहीं। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात और वर्ग अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=3^n-n^2\), substitute \(n=5\): \(a_5=3^5-5^2=243-25=218\). Hence, 218 is the correct answer. The nearby option 214 is incorrect because \(3^5=243\), not 239. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the power and the square separately.
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The sequence \(2,12,36,80,150,\ldots\) has general term \(a_n=n^3+n^2\). What will be \(a_8-a_6\)?
C. (336)
\(a_8=576\) और \(a_6=252\) इसलिए अंतर (324) नहीं बल्कि (336) है। गणना में घन और वर्ग दोनों ध्यान से निकालें। / \(a_8=576\) and \(a_6=252\), so the difference is (324), not (336). Recheck cube and square calculations carefully.
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If \(a_n=n^3+n^2\), what is the correct value of \(a_8-a_6\)?
C. 324
दिया है, \(a_n=n^3+n^2\)। अतः \(a_8=8^3+8^2=512+64=576\) और \(a_6=6^3+6^2=216+36=252\)। इसलिए \(a_8-a_6=576-252=324\)। विकल्प 312 तब मिल सकता है जब घन या वर्ग के मान की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले अलग-अलग पद निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=n^3+n^2\), \(a_8=8^3+8^2=512+64=576\) and \(a_6=6^3+6^2=216+36=252\). Hence, \(a_8-a_6=576-252=324\). The value 312 can result from an error while calculating a cube or a square. Exam tip: evaluate each required term separately before subtracting.
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C. 95
क्रमागत अंतर क्रमशः 4, 9, 16, 25 हैं, जो क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। इसलिए अगला अंतर \(6^2=36\) होगा। अतः अगला पद \(59+36=95\) है। 90 पाने के लिए 31 जोड़ना पड़ेगा, जो वर्गों के इस क्रम का अगला अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: अंतर-क्रम में लगातार वर्गों को पहचानकर अगला पद जल्दी ज्ञात किया जा सकता है। / The successive differences 4, 9, 16, and 25 are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), respectively. Hence, the next difference is \(6^2=36\). Therefore, the next term is \(59+36=95\). Getting 90 would require adding 31, which does not follow the square-difference pattern. Exam tip: check successive differences to spot patterns involving consecutive squares quickly.
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If \(a_n=5n^2-4n+1\), how many terms will be less than (400)?
B. (9)
\(a_9=370\) और \(a_{10}=461\) है इसलिए (9) पद (400) से छोटे हैं। सीमा के पास के पद अवश्य जाँचें। / \(a_9=370\) and \(a_{10}=461\), so (9) terms are less than (400). Exam tip: always check terms near the boundary.
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B. 23
दूसरे और तीसरे पद का अंतर 12 है, इसलिए x = 11 + 12 = 23। जाँच: 41 - 23 = 18 तथा 66 - 41 = 25, इसलिए दिए गए सभी क्रमागत अंतर सही मिलते हैं। 25 लेने पर 41 तक का अंतर 16 होगा, 18 नहीं। परीक्षा टिप: अज्ञात पद निकालने के बाद उसके पहले और बाद के अंतर अवश्य जाँचें। / The difference between the second and third terms is 12, so x = 11 + 12 = 23. Check: 41 - 23 = 18 and 66 - 41 = 25, so all the given successive differences match. If 25 were chosen, the difference up to 41 would be 16, not 18. Exam tip: after finding a missing term, verify the differences on both sides.
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In the sequence (250,239,221,x,166), the differences are (-11,-18,-25,-30). What will (x) be?
C. 196
तीसरा पद 221 है और अगला अंतर -25 है। अतः x = 221 + (-25) = 196। जाँच करें: 196 + (-30) = 166, इसलिए अगला दिया गया अंतर भी सही बैठता है। 190 जैसा विकल्प गलत है क्योंकि 221 से 190 का अंतर -31 होगा, -25 नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अंतर को जोड़ते समय संख्या घटती है। / The third term is 221 and the next difference is -25. Therefore, x = 221 + (-25) = 196. Checking further, 196 + (-30) = 166, so the following given difference also fits. Option 190 is incorrect because the difference from 221 to 190 is -31, not -25. Exam tip: adding a negative difference means the term decreases.
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If \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\), what will be the value of \(a_{18}\)?
B. 171
\(n=18\) रखने पर \(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{324+18}{2}=\frac{342}{2}=171\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 171 है। \(190\) अगली संख्या \(a_{19}\) के लिए प्राप्त होगी, क्योंकि \(\frac{19\times20}{2}=190\)। परीक्षा टिप: ऐसे सूत्रों में पहले \(n\) का मान रखकर वर्ग और जोड़ को सावधानी से हल करें। / Substituting \(n=18\), \(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{324+18}{2}=\frac{342}{2}=171\). Hence, 171 is the correct option. \(190\) is the next term, \(a_{19}\), since \(\frac{19\times20}{2}=190\). Exam tip: substitute the given value of \(n\) first, then calculate the square and addition carefully.
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In the sequence \(1,8,27,64,\ldots\), what will be the value of \(a_{10}-a_9\)?
A. (271)
यह घनों का अनुक्रम है इसलिए \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\) है। घन पदों में पद संख्या का घन लें। / This is a cube sequence, so \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\). Exam tip: cube the term position in cube sequences.
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If \(a_n=2n!+1\), what will be the value of \(a_5\)?
C. 241
दिया है कि \(a_n=2n!+1\)। अतः \(a_5=2\times 5!+1\)। क्योंकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), इसलिए \(a_5=2\times120+1=241\)। विकल्प 121 केवल \(5!+1\) लेने पर मिलता है, जिसमें 2 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल का मान पहले निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=2n!+1\), we get \(a_5=2\times5!+1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), \(a_5=2\times120+1=241\). The value 121 would result from using \(5!+1\) and incorrectly omitting the multiplication by 2. Exam tip: evaluate the factorial before carrying out the remaining operations.
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In the sequence \(3,6,12,24,\ldots\), which is the first term greater than (500)?
B. (9)वाँ(9)th
\(a_8=384\) और \(a_9=768\) है इसलिए पहला बड़ा पद (9)वाँ है। सीमा के दोनों ओर के पद जाँचें। / \(a_8=384\) and \(a_9=768\), so the first greater term is the (9)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
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C. (65)
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
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If \(a_n=\frac{3n-1}{2n+5}\), what will be the simplified value of \(a_7\)?
A. \(\frac{20}{19}\)
\(n=7\) रखने पर \(a_7=\frac{3(7)-1}{2(7)+5}=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(\frac{19}{20}\) में अंश और हर उलट गए हैं। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर अंश और हर को अलग-अलग सरल करें। / Substituting \(n=7\), \(a_7=\frac{3(7)-1}{2(7)+5}=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\). Therefore, option A is correct. \(\frac{19}{20}\) results from reversing the numerator and denominator. Exam tip: substitute the term number first, then simplify the numerator and denominator separately.
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What will be the (10)th term in the sequence \(1,5,2,10,4,20,8,\ldots\)?
D. (80)
सम स्थानों पर \(5,10,20,40,80,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (80) है। / Even positions are \(5,10,20,40,80,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (80).
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B. 6
समान अंतर वाले अनुक्रम में लगातार पदों के बीच का अंतर बराबर होता है। अतः \((2x+3)-(x-1)=(4x+1)-(2x+3)\)। बाएँ पक्ष से \(x+4\) और दाएँ पक्ष से \(2x-2\) मिलता है। इसलिए \(x+4=2x-2\), जिससे \(x=6\)। विकल्प 5 लेने पर दोनों अंतर बराबर नहीं होंगे। परीक्षा टिप: तीन लगातार पदों के लिए हमेशा दूसरा पद − पहला पद = तीसरा पद − दूसरा पद लिखें। / In a sequence with equal differences, the differences between consecutive terms are equal. Therefore, \((2x+3)-(x-1)=(4x+1)-(2x+3)\). The left side simplifies to \(x+4\), while the right side simplifies to \(2x-2\). Hence, \(x+4=2x-2\), giving \(x=6\). If 5 is used, the two differences are not equal. Exam tip: For three consecutive terms, set second term − first term equal to third term − second term.
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B. 3, 6, 11, 18, \ldots
अनुक्रम B के प्रथम अंतर 3, 5, 7 हैं, जो समान नहीं हैं। इनके द्वितीय अंतर \(5-3=2\) और \(7-5=2\) हैं। इसलिए यही सही है। परीक्षा में पहले दो स्तर के अंतर लिखकर जाँचें। / For sequence B, the first differences are 3, 5 and 7, so they are not equal. The second differences are \(5-3=2\) and \(7-5=2\). Thus B is correct. In exams, list two rows of differences to identify such a sequence.
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Which of the following sequences will always have a constant difference between consecutive terms?
A. \(a_n=5n-2\)
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), जो स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: check consecutive differences.
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B. 76
दिए गए पदों के प्रथम अंतर क्रमशः 4, 7, 12 और 19 हैं। इन अंतरों के अंतर 3, 5, 7 हैं, जिनमें अगला अंतर 9 होगा। इसलिए अगला प्रथम अंतर 19 + 9 = 28 होगा और अगला पद 48 + 28 = 76 होगा। 74 लेने पर अगला अंतर 26 बनता, जो अपेक्षित 28 नहीं है। परीक्षा में पहले प्रथम अंतर लिखें, फिर उनके अंतर देखकर पैटर्न पूरा करें। / The first differences between the given terms are 4, 7, 12, and 19. Their successive differences are 3, 5, and 7, so the next one is 9. Hence, the next first difference is 19 + 9 = 28, and the next term is 48 + 28 = 76. If 74 were chosen, the next first difference would be 26, not 28. In exams, list the first differences first and then identify the pattern in their differences.
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If \(a_n=2^n+3^n\), what will be the value of \(a_4\)?
C. 97
यहाँ n के स्थान पर 4 रखने पर \(a_4=2^4+3^4\) होगा। अतः \(a_4=16+81=97\), इसलिए सही विकल्प C है। 95 जैसे विकल्प घातों का गलत मान लेने या जोड़ में त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / Substitute 4 for n: \(a_4=2^4+3^4\). Thus, \(a_4=16+81=97\), so option C is correct. A value such as 95 may result from evaluating a power or the addition incorrectly. Exam tip: evaluate each power separately before adding them.
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What is the sum of the first (6) terms of the sequence \(3,7,13,21,31,\ldots\)?
B. (114)
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) नहीं बल्कि (118) है। विकल्पों में (118) सही है। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Therefore (118) is correct.
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What is the correct sum of the first (6) terms of the sequence \(3,7,13,21,31,\ldots\)?
D. (118)
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) है। योग में सभी (6) पद शामिल करें। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Exam tip: include all (6) terms in the sum.
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If (a_n=n(n+4)), which term is (165)?
C. (11)वाँ(11)th
(11(11+4)=165) इसलिए यह (11)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में विकल्प सीधे रखें। / (11(11+4)=165), so it is the (11)th term. Exam tip: substitute options directly in product-form formulas.
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B. (11)वाँ(11)th
\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) छोटा नहीं है और \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\) है। इसलिए पहला पद (11)वाँ है। / \(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) is not smaller, and \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\). So the first term is the (11)th.
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If \(a_n=\frac{n}{2n-1}\), which is the first term less than \(\frac{3}{5}\)?
B. चौथा पदFourth term
हमें \(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\) हल करना है। क्योंकि \(n\geq1\) के लिए \(2n-1\) धनात्मक है, इसलिए क्रॉस-गुणन करने पर \(5n<3(2n-1)\), अर्थात \(5n<6n-3\) मिलता है। अतः \(n>3\)। \(n\) का सबसे छोटा पूर्णांक मान 4 है, इसलिए पहला ऐसा पद \(a_4\) अर्थात चौथा पद है। \(a_3=\frac{3}{5}\) है, जो \(\frac{3}{5}\) से छोटा नहीं बल्कि उसके बराबर है। परीक्षा टिप: “से छोटा” के लिए असमानता \(<\) लगाएँ; बराबर वाला पद शामिल नहीं होता। / Solve \(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\). For \(n\geq1\), \(2n-1\) is positive, so cross-multiplication gives \(5n<3(2n-1)\), or \(5n<6n-3\). Hence, \(n>3\). The smallest integer value of \(n\) is 4, so the first such term is \(a_4\), the fourth term. Note that \(a_3=\frac{3}{5}\), which is equal to, not less than, \(\frac{3}{5}\). Exam tip: For “less than”, use \(<\); an equal value is not included.
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What is the average of the first (5) terms of the sequence \(8,16,32,64,\ldots\)?
B. 49.6
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना है। पहले पाँच पद \(8,16,32,64,128\) हैं। इनका योग \(8+16+32+64+128=248\) है, इसलिए औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। अतः सही उत्तर 49.6 है। 48 जैसा विकल्प गलत है क्योंकि औसत निकालने के लिए योग 248 को 5 से विभाजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले माँगे गए पदों की संख्या तक अनुक्रम लिखें, फिर योग को पदों की संख्या से भाग दें। / This is a geometric sequence in which each term is twice the preceding term. Its first five terms are \(8,16,32,64,128\). Their sum is \(8+16+32+64+128=248\), so the average is \(\frac{248}{5}=49.6\). Therefore, 49.6 is correct. The option 48 is incorrect because the total 248 must be divided by 5 to find the mean. Exam tip: Write all the required terms first, then divide their sum by the number of terms.
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If (a_n=6n-(-1)^n), what will be the value of \(a_{12}-a_{11}\)?
A. (4)
\(a_{12}=71\) और \(a_{11}=67\) इसलिए अंतर (4) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग जाँचें। / \(a_{12}=71\) and \(a_{11}=67\), so the difference is (4). Exam tip: check the sign-changing part separately.
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B. प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान हो
AP में हर दो क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है, अर्थात \(a_{n+1}-a_n=d\)। समान अनुपात वाली श्रेणी GP होती है। परीक्षा में दो लगातार अंतर लिखकर उनकी समानता जाँचें। / In an AP, the difference between consecutive terms is constant: \(a_{n+1}-a_n=d\). A constant ratio identifies a GP, not an AP. Exam tip: write two successive differences and compare them.
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If \(a_n=3n^2-2n+5\), what will be the value of \(a_{12}+a_{13}\)?
C. 899
दिया है कि \(a_n=3n^2-2n+5\)। अतः \(a_{12}=3(12)^2-2(12)+5=432-24+5=413\) और \(a_{13}=3(13)^2-2(13)+5=507-26+5=486\)। इसलिए \(a_{12}+a_{13}=413+486=899\)। 886 वाला विकल्प गलत है, क्योंकि उसमें \(a_{13}\) का मान सही नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Given \(a_n=3n^2-2n+5\), \(a_{12}=3(12)^2-2(12)+5=432-24+5=413\) and \(a_{13}=3(13)^2-2(13)+5=507-26+5=486\). Therefore, \(a_{12}+a_{13}=413+486=899\). Option 886 is incorrect because it uses an incorrect value of \(a_{13}\). Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and evaluate the square and multiplication first.
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In the sequence \(5,10,20,40,\ldots\), which term is (5120)?
B. (11)वाँ(11)th
\(5\times2^{10}=5120\) है इसलिए यह (11)वाँ पद है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / \(5\times2^{10}=5120\), so it is the (11)th term. Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
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B. 849
दिया गया नियम है: अगला पद = (पिछला पद × 3) + 3। अंतिम दिया गया पद 282 है, इसलिए अगला पद \((282\times3)+3=846+3=849\) होगा। 846 केवल 282 का तीन गुना है; उसमें आवश्यक 3 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम पद पर दिया गया पुनरावर्ती नियम क्रम से लागू करें। / The rule is: next term = (previous term × 3) + 3. The last given term is 282, so the next term is \((282\times3)+3=846+3=849\). Option 846 is only three times 282 and misses the required addition of 3. Exam tip: apply the stated recurrence rule step by step to the last term.
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If \(a_n=2n^3-n\), what will be the value of \(a_6-a_4\)?
B. 302
दिया है \(a_n=2n^3-n\)। अतः \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) और \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\)। इसलिए \(a_6-a_4=426-124=302\)। विकल्प 304 प्राप्त करने में घटाव या घन की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^3-n\), \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) and \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\). Therefore, \(a_6-a_4=426-124=302\). The value 304 may result from an error in subtraction or in evaluating a cube. In an exam, calculate each term separately before finding their difference.
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Which of the following statements correctly describes a key feature of a sequence?
A. अनुक्रम में पदों का क्रम महत्त्वपूर्ण होता है और पद दोहराए जा सकते हैं।In a sequence, the order of terms matters and terms may repeat.
अनुक्रम पदों की क्रमबद्ध सूची है, इसलिए क्रम बदलने पर अनुक्रम बदल जाता है; जैसे 2, 5 और 5, 2 अलग हैं। पद दोहर सकते हैं। परीक्षा में अनुक्रम को समुच्चय न समझें। / A sequence is an ordered list, so changing the order changes the sequence; for example, 2, 5 and 5, 2 are different. Terms may repeat. Exam tip: do not confuse a sequence with a set.
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D. 103
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(13-10=3\), \(19-13=6\), \(31-19=12\) और \(55-31=24\)। प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है, इसलिए अगला अंतर \(48\) होगा। अतः अगला पद \(55+48=103\) है। विकल्प 101 सही नहीं है, क्योंकि उसके लिए अंतर \(46\) होगा, जो 24 का दोगुना नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(13-10=3\), \(19-13=6\), \(31-19=12\), and \(55-31=24\). Each difference is double the previous one, so the next difference is \(48\). Therefore, the next term is \(55+48=103\). Option 101 is incorrect because it would require a difference of \(46\), which is not double 24. Exam tip: For such sequences, first list the consecutive differences and check their pattern.
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If \(a_n=\frac{n^2-1}{n+1}\), what will be the value of \(a_{15}\)?
C. 14
\(n^2-1=(n-1)(n+1)\) लिखने पर \(a_n=\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}=n-1\) मिलता है। अतः \(a_{15}=15-1=14\)। विकल्प 15 में \(n-1\) करने का चरण छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में पहले अंश का गुणनखंड कीजिए, फिर समान गुणनखंड काटिए। / Since \(n^2-1=(n-1)(n+1)\), we get \(a_n=\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}=n-1\). Hence, \(a_{15}=15-1=14\). Option 15 results from missing the subtraction of 1. Exam tip: factorise the numerator first and then cancel the common factor.
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What will be the next term in the sequence \(1,4,10,20,35,\ldots\)?
C. 56
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(4-1=3\), \(10-4=6\), \(20-10=10\) और \(35-20=15\)। ये अंतर क्रमशः त्रिभुजाकार संख्याएँ \(3,6,10,15\) हैं; इनके बीच वृद्धि \(3,4,5\) है, इसलिए अगली वृद्धि \(6\) होगी। अतः अगला अंतर \(15+6=21\) और अगला पद \(35+21=56\) होगा। \(54\) लेने पर अंतर \(19\) मिलता है, जो इस अंतर-पैटर्न का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत अंतरों की सूची बनाकर उनका पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(4-1=3\), \(10-4=6\), \(20-10=10\), and \(35-20=15\). These are the triangular numbers \(3,6,10,15\); the increases between them are \(3,4,5\), so the next increase is \(6\). Hence, the next difference is \(15+6=21\), and the next term is \(35+21=56\). Choosing \(54\) would give a difference of \(19\), which does not follow the pattern. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and then check their pattern.
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If \(a_n=n^2+3^n\), what will be the value of \(a_4+a_5\)?
B. 365
दिया है कि \(a_n=n^2+3^n\)। अतः \(a_4=4^2+3^4=16+81=97\) और \(a_5=5^2+3^5=25+243=268\)। इसलिए \(a_4+a_5=97+268=365\)। विकल्प 375 प्राप्त हो सकता है यदि घात या जोड़ में गणना की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान रखिए, फिर वर्ग और घात अलग-अलग निकालिए। / Given \(a_n=n^2+3^n\), \(a_4=4^2+3^4=16+81=97\) and \(a_5=5^2+3^5=25+243=268\). Hence, \(a_4+a_5=97+268=365\). The value 375 can result from an error while evaluating the power or adding the terms. Exam tip: Substitute the value of \(n\) first, then calculate the square and exponent separately.
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If \(a_n=n^2+6n+5\), which term is (230)?
B. (13)वाँ(13)th
\(13^2+6\times13+5=252\) नहीं है इसलिए (13) गलत है। सही पद (12)वाँ है क्योंकि (144+72+5=221) भी नहीं है। / \(13^2+6\times13+5=252\), so (13) is not correct. (12) also gives (221), so the target value is inconsistent.
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If \(a_n=n^2+6n+5\), which term is (252)?
C. (13)वाँ(13)th
\(13^2+6\times13+5=252\) इसलिए यह (13)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सूत्र में रखकर जाँचें। / \(13^2+6\times13+5=252\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute options directly into the formula.
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B. 65
क्रमागत अंतर 3, 6, 9, 12, 15 हैं और प्रत्येक अंतर 3 से बढ़ रहा है। इसलिए अगला अंतर 18 होगा। अतः अगला पद \(47+18=65\) है। 62 प्राप्त करने पर अंतर केवल 15 रहता है, इसलिए वह अगला पद नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले क्रमागत अंतरों का अलग क्रम लिखें। / The successive differences are 3, 6, 9, 12, and 15; each difference increases by 3. Therefore, the next difference is 18. Hence, the next term is \(47+18=65\). Choosing 62 would keep the difference at only 15, so it cannot be the next term. Exam tip: write the successive differences separately before extending a sequence.
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