Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_{10}=3\times10^2-10+4=294\) है। परीक्षा में (n) की जगह पद संख्या सीधे रखें। / \(a_{10}=3\times10^2-10+4=294\). Exam tip: substitute the term position directly for (n).
\(10^2+5\times10-2=148\) इसलिए यह (10)वाँ पद है। विकल्पों को सूत्र में रखकर तेजी से जाँचें। / \(10^2+5\times10-2=148\), so it is the (10)th term. Exam tip: test options quickly in the formula.
अगला अंतर (25) होगा इसलिए (52+25=77) है। अंतर का अनुक्रम पहचानना सबसे जरूरी कदम है। / The next difference is (25), so (52+25=77). Exam tip: identifying the sequence of differences is the key step.
अगला अंतर (-15) होगा इसलिए (90-15=75) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / The next difference is (-15), so (90-15=75). Exam tip: pay special attention to negative signs in decreasing sequences.
विषम स्थानों पर \(4,8,16,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (32) होगा। वैकल्पिक अनुक्रमों में विषम और सम स्थान अलग देखें। / Odd positions are \(4,8,16,\ldots\), so the next odd-position term is (32). Exam tip: separate odd and even positions in alternating sequences.
पद (2,5,14,41,122) मिलते हैं। पुनरावर्ती नियम में हर चरण सावधानी से करें। / The terms are (2,5,14,41,122). Exam tip: apply every recursive step carefully.
पद (1,3,9,21,41) मिलते हैं इसलिए \(a_5=41\) है। क्रमांक साथ लिखने से पुनरावर्ती गलती कम होती है। / The terms are (1,3,9,21,41), so \(a_5=41\). Exam tip: write positions along with values to avoid recursive mistakes.
सामान्य पद \(\frac{n+1}{2n+1}\) है इसलिए (12)वाँ पद \(\frac{13}{25}\) है। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{n+1}{2n+1}\), so the (12)th term is \(\frac{13}{25}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
\(a_7=-8\) और \(a_8=9\) इसलिए योग (1) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम घात ध्यान रखें। / \(a_7=-8\) and \(a_8=9\), so the sum is (1). Exam tip: track even and odd powers in sign-changing sequences.
\(12^2+2\times12=168\) इसलिए यह (12)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सामान्य पद में रखकर जाँचें। / \(12^2+2\times12=168\), so it is the (12)th term. Exam tip: substitute options directly into the general term.
\(a_{11}=275\) और \(a_{12}=324\) है इसलिए (11) पद (300) से छोटे हैं। सीमा के पास वाले दो पद जरूर जाँचें। / \(a_{11}=275\) and \(a_{12}=324\), so (11) terms are less than (300). Exam tip: check the two terms near the boundary.
(171-22=149) और (149-27=122) है। घटते अनुक्रम में ऋणात्मक अंतर ध्यान से लगाएँ। / (171-22=149) and (149-27=122). Exam tip: apply negative differences carefully in decreasing sequences.
सामान्य पद (3(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_9=3(-2)8=768) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (3(-2)^{n-1}), so (a_9=3(-2)8=768). Exam tip: an even power gives a positive sign.
\(2\times62+2=126\) है। पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर सीधे लागू करें। / \(2\times62+2=126\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
यह \(1!,2!,3!,4!,5!,\ldots\) का अनुक्रम है इसलिए अगला पद (6!=720) है। गुणा क्रम को पहचानें। / This is the sequence \(1!,2!,3!,4!,5!,\ldots\), so the next term is (6!=720). Exam tip: recognize the multiplication pattern.
अगला गुणक (6) होगा इसलिए \(240\times6=1440\) है। बदलते गुणक को अलग से लिखें। / The next multiplier is (6), so \(240\times6=1440\). Exam tip: write changing multipliers separately.
\(a_6=252\) और \(a_4=80\) इसलिए अंतर (172) है। घन और वर्ग दोनों अलग-अलग निकालें। / \(a_6=252\) and \(a_4=80\), so the difference is (172). Exam tip: calculate the cube and square parts separately.
\(4\times12^2-1=575\) इसलिए यह (12)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(4\times12^2-1=575\), so it is the (12)th term. Exam tip: substitute options in the formula to identify the term.
पहले (6) पद (2,5,10,17,26,37) हैं और उनका योग (97) है। योग में मांगे गए सभी पद शामिल करें। / The first (6) terms are (2,5,10,17,26,37), and their sum is (97). Exam tip: include all required terms in the sum.
\(p=\frac{42-17}{8-3}=5\) और (q=2) है। इसलिए \(a_{12}=5\times12+2=62\) होगा। / \(p=\frac{42-17}{8-3}=5\) and (q=2). Therefore \(a_{12}=5\times12+2=62\).
सामान्य पद \(\frac{1}{3n}\) है और \(\frac{1}{51}<\frac{1}{50}\) होता है। इसलिए पहला पद (17)वाँ है। / The general term is \(\frac{1}{3n}\), and \(\frac{1}{51}<\frac{1}{50}\). So the first such term is the (17)th.
\(a_8=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\) है। भिन्न को अंतिम उत्तर में सरल करना न भूलें। / \(a_8=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\). Exam tip: simplify the fraction in the final answer.
\(n^2+4=260\) से \(n^2=256\) और (n=16) मिलता है। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / From \(n^2+4=260\), \(n^2=256\) and (n=16). Exam tip: recognizing perfect squares saves time.
अगला अभाज्य अंतर (13) है इसलिए (32+13=45) है। अंतर के रूप में दिए गए पैटर्न को अलग लिखें। / The next prime difference is (13), so (32+13=45). Exam tip: write the pattern of differences separately.
(29) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(29\times2=58\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (29), multiplication by (2) is applied, so \(29\times2=58\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
\(2\times78+2=158\) है। दिए गए पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर लगाएँ। / \(2\times78+2=158\). Exam tip: apply the given recurrence rule to the last term.
बराबर अंतर से (2x+1-(x+2)=4x-5-(2x+1)) मिलता है इसलिए (x=5) है। लगातार तीन पदों में दोनों अंतर बराबर रखें। / Equal differences give (2x+1-(x+2)=4x-5-(2x+1)), so (x=5). Exam tip: set the two consecutive differences equal.
अगला अंतर (11) है इसलिए (27+11=38) है। विषम अंतरों के पैटर्न को पहचानें। / The next difference is (11), so (27+11=38). Exam tip: recognize the pattern of odd differences.
((-1)9=-1) है इसलिए \(a_9=81-1=80\) है। सम-विषम घात के चिह्न को अलग से जाँचें। / ((-1)9=-1), so \(a_9=81-1=80\). Exam tip: check the sign of even and odd powers separately.
योग (3+9+27+81=120) है। छोटे पदों वाले योग में सीधे जोड़ना सबसे सुरक्षित है। / The sum is (3+9+27+81=120). Exam tip: direct addition is safest for a small number of terms.
\(a_4=32\) और \(a_5=57\) हैं इसलिए योग (89) है। घात और वर्ग को अलग-अलग निकालें। / \(a_4=32\) and \(a_5=57\), so the sum is (89). Exam tip: calculate the power and square parts separately.
(10(10+3)=130) इसलिए यह (10)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में दिए गए विकल्प सीधे जाँचें। / (10(10+3)=130), so it is the (10)th term. Exam tip: test the given options directly in product-form formulas.
\(2\times127+1=255\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और जोड़ का क्रम न बदलें। / \(2\times127+1=255\). Exam tip: do not change the order of multiplication and addition in recurrence rules.
पहले (6) पदों का योग (126) है और औसत \(\frac{126}{6}=21\) है। औसत में योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The sum of the first (6) terms is (126), and the average is \(\frac{126}{6}=21\). Exam tip: divide the sum by the number of terms.
\(a_{11}=121\) और \(a_{12}=144\) इसलिए योग (265) है। वर्ग अनुक्रम में पद संख्या का वर्ग लें। / \(a_{11}=121\) and \(a_{12}=144\), so the sum is (265). Exam tip: square the term position in a square sequence.
\(a_5=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}\) है। भिन्न वाले सूत्र में अंश पहले पूरा करें। / \(a_5=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}\). Exam tip: complete the numerator first in fractional formulas.
\(a_9=99\) और \(a_{10}=120\) है इसलिए पहला बड़ा पद (10)वाँ है। सीमा के दोनों तरफ के पद जाँचें। / \(a_9=99\) and \(a_{10}=120\), so the first greater term is the (10)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
\(a_{10}=51\) और \(a_9=44\) है इसलिए अंतर (7) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग से जाँचें। / \(a_{10}=51\) and \(a_9=44\), so the difference is (7). Exam tip: check the sign-changing part separately.
पद (2,5,14,37) मिलते हैं। पुनरावर्ती नियम में \(n^2\) का मान हर चरण बदलता है। / The terms are (2,5,14,37). Exam tip: the value of \(n^2\) changes at every recursive step.
छह अंतरों का योग (65-29=36) है इसलिए एक अंतर (6) है। \(a_1=29-3\times6=11\) होगा। / The sum of six differences is (65-29=36), so one difference is (6). Thus \(a_1=29-3\times6=11\).
\(T_{19}=190\) और \(T_{20}=210\) है इसलिए पहला बड़ा पद (20)वाँ है। सख्त असमानता में बराबरी शामिल नहीं होती। / \(T_{19}=190\) and \(T_{20}=210\), so the first greater term is the (20)th. Exam tip: strict inequality does not include equality.
