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अंतर (4) है इसलिए (a_n=7+(n-1)4=4n+3)। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग लिखें। / The difference is (4), so (a_n=7+(n-1)4=4n+3). In exams, write the first term and common difference first.
दिया है कि \(a_n=3n^2-2n+5\)। अतः \(n=8\) रखने पर \(a_8=3(8)^2-2(8)+5=3\times64-16+5=181\) होता है। इसलिए सही उत्तर 181 है। 189 प्राप्त करना प्रायः \(8^2\) या घटाव के चरण में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा, घटाव और जोड़ करें। / Given \(a_n=3n^2-2n+5\), substitute \(n=8\): \(a_8=3(8)^2-2(8)+5=3\times64-16+5=181\). Therefore, 181 is correct. A value such as 189 can result from an error while evaluating \(8^2\) or performing the subtraction. Exam tip: evaluate the power first, then multiply, subtract, and add.
क्रमागत पदों के अंतर \(5,7,9,11\) हैं, जो 2 से बढ़ते हैं; इसलिए पदों का नियम द्विघात होगा। \(a_n=n^2+2n-1\) रखने पर \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\) और \(a_4=23\) मिलते हैं। विकल्प \(n^2+1\) में पहला पद 2 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 5 आता है, 7 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों पर जाँचें। / The consecutive differences are \(5,7,9,11\), increasing by 2, so the rule is quadratic. Using \(a_n=n^2+2n-1\) gives \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\), and \(a_4=23\). Although \(n^2+1\) gives the first term as 2, it gives the second term as 5, not 7. Exam tip: test an nth-term formula with at least the first two or three terms.
दिया है कि kवाँ पद 47 है। इसलिए सूत्र में n के स्थान पर k रखने पर \(5k-3=47\) मिलेगा। अतः \(5k=50\), इसलिए \(k=10\)। विकल्प 9 लेने पर पद \(5\times9-3=42\) होता है, जो 47 नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के सूत्र के बराबर रखकर n के लिए हल करें। / The kth term is given as 47. Substitute k for n in the formula: \(5k-3=47\). Thus, \(5k=50\), so \(k=10\). If 9 is used, the term is \(5\times9-3=42\), not 47. Exam tip: To find a term number, equate the nth-term formula to the given term value and solve for n.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। दिए गए पदों का अंतर \(a_9-a_4=43-18=25\) है और उनके स्थानों का अंतर \(9-4=5\) है, इसलिए \(d=25/5=5\)। अब \(a_4=a_1+3d\) से \(18=a_1+15\), अतः \(a_1=3\)। इसलिए \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\)। विकल्प \(5n+2\) में \(n=4\) रखने पर 22 मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके सूचकांकों के अंतर से \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic sequence, \(a_n=a_1+(n-1)d\). The difference between the given terms is \(a_9-a_4=43-18=25\), while the difference between their positions is \(9-4=5\). Hence, \(d=25/5=5\). Using \(a_4=a_1+3d\), we get \(18=a_1+15\), so \(a_1=3\). Therefore, \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\). Option \(5n+2\) gives 22 when \(n=4\), so it is incorrect. Exam tip: when two terms are given, first find \(d\) by dividing the difference of the terms by the difference of their indices.
हर बार गुणन (2) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot2^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) याद रखें। / Each term is multiplied by (2), so \(a_n=6\cdot2^{n-1}\). In a geometric sequence, remember the exponent (n-1).
दिया है
\(a_n=2n^2+3n-4\)। अतः
\(a_{10}=2(10)^2+3(10)-4=226\) और
\(a_7=2(7)^2+3(7)-4=115\)। इसलिए
\(a_{10}-a_7=226-115=111\)। विकल्प 118 तब मिल सकता है जब घात वाले पद की गणना में त्रुटि हो। परीक्षा में पहले दोनों पद अलग-अलग निकालकर फिर घटाएँ। / Given
\(a_n=2n^2+3n-4\). Thus,
\(a_{10}=2(10)^2+3(10)-4=226\) and
\(a_7=2(7)^2+3(7)-4=115\). Therefore,
\(a_{10}-a_7=226-115=111\). A value such as 118 can result from an error while evaluating the squared term. In an exam, calculate the two terms separately before subtracting.
दिए गए पद क्रमशः \(2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\) हैं। पहला पद \(n=1\) पर \(2^2\) है, इसलिए \(n\)वां पद \((n+1)^2\) होगा। \(n^2+1\) दूसरा पद देने पर \(5\) देता है, जबकि वास्तविक दूसरा पद \(9\) है। परीक्षा टिप: सूत्र जाँचने के लिए उसमें \(n=1\) और \(n=2\) रखकर प्रारम्भिक पदों से मिलान करें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\). Since the first term corresponds to \(n=1\) and is \(2^2\), the \(n\)th term is \((n+1)^2\). The expression \(n^2+1\) gives \(5\) for the second term, whereas the actual second term is \(9\). Exam tip: test a proposed formula by substituting \(n=1\) and \(n=2\).
दिया है कि \(a_n=9-2n\)। \(a_n=-31\) रखने पर \(9-2n=-31\) मिलता है। अतः \(-2n=-40\), इसलिए \(n=20\)। इसलिए 20वाँ पद \(-31\) है। 19वाँ पद \(9-2(19)=-29\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए दिए गए मान को \(a_n\) के स्थान पर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=9-2n\), put \(a_n=-31\): \(9-2n=-31\). Thus, \(-2n=-40\), so \(n=20\). Therefore, the 20th term is \(-31\). The 19th term is \(9-2(19)=-29\), so it is not correct. Exam tip: To find a particular term number, substitute the given term value for \(a_n\) and solve for \(n\).
\(a_5=32\) और \(a_6=44\), अतः योग (76) नहीं बल्कि (78) है। गणना के बाद विकल्पों से मिलान करें। / \(a_5=32\) and \(a_6=44\), so the sum is (78), not (76). Check your calculation with the options.
पहला पद (10) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (10) and the difference is (-3), so (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n). A decreasing sequence has a negative difference.
दिया है \(a_n=4n+1\)। \(a_{2m}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर पूरा \(2m\) रखेंगे: \(a_{2m}=4(2m)+1=8m+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4m+1\) तब मिलता जब सूचकांक \(m\) होता, \(2m\) नहीं। परीक्षा टिप: सूचकांक में जो भी व्यंजक हो, उसे सूत्र में कोष्ठक सहित प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=4n+1\), substitute the complete index \(2m\) for \(n\): \(a_{2m}=4(2m)+1=8m+1\). Hence, option A is correct. \(4m+1\) would be obtained for the index \(m\), not \(2m\). Exam tip: Always substitute a compound index in brackets.
\(a_{n+1}=7n+2\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=7\)। रैखिक नियम में अंतर गुणांक के बराबर होता है। / \(a_{n+1}=7n+2\), so \(a_{n+1}-a_n=7\). For a linear rule, the difference equals the coefficient of (n).
(n=6) सम है इसलिए ((-1)6=1), अतः \(a_6=15\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम और विषम (n) अलग जांचें। / Since (n=6) is even, ((-1)6=1), so \(a_6=15\). For alternating signs, check whether (n) is even or odd.
दिए गए पदों के क्रमिक अंतर 5, 7, 9, 11 हैं, जो प्रत्येक बार 2 से बढ़ते हैं; इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(n=1,2,3\) रखने पर \(n^2+2n\) से क्रमशः 3, 8, 15 प्राप्त होते हैं, अतः सही पद \(n^2+2n\) है। निकटतम विकल्प \(n^2+n+1\) के लिए \(n=2\) पर 7 मिलता है, 8 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दो या तीन पदों पर विकल्प रखकर जाँच करने से nवां पद जल्दी सत्यापित होता है। / The consecutive differences are 5, 7, 9, and 11, increasing by 2 each time, so the rule is quadratic. Substituting \(n=1,2,3\) in \(n^2+2n\) gives 3, 8, and 15 respectively; hence the nth term is \(n^2+2n\). The closest distractor, \(n^2+n+1\), gives 7 when \(n=2\), not 8. Exam tip: substitute the first two or three values of \(n\) to verify an nth-term formula quickly.
दिया है कि श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=6n-1\) है। अतः \(n=15\) रखने पर \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 89 है। 91 लेने पर घटाव वाले \(-1\) पद की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में पहले दिए गए सूत्र में \(n\) के स्थान पर अपेक्षित पद संख्या रखें। / The nth term is \(a_n=6n-1\). Substituting \(n=15\), we get \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\). Therefore, 89 is correct. The value 91 would result from ignoring the \(-1\) in the formula. Exam tip: for an nth-term question, substitute the required term number for \(n\) in the given formula.
33 के लिए \(2^n+1=33\) लिखते हैं। अतः \(2^n=32\)। क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(n=5\) और 5वाँ पद 33 है। 4वाँ पद \(2^4+1=17\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: घातांक वाले पद में पहले स्थिर संख्या को दूसरी ओर ले जाकर संख्या को उसी आधार की घात के रूप में लिखें। / For the term to be 33, set \(2^n+1=33\). Thus, \(2^n=32\). Since \(32=2^5\), we get \(n=5\), so the 5th term is 33. The 4th term is \(2^4+1=17\), so it is not correct. Exam tip: In exponential-term questions, first move the constant to the other side and express the result as a power of the same base.
पद \(4+1,8+1,16+1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+1}+1\)। घात की शुरुआत पहचानना जरूरी है। / The terms are \(4+1,8+1,16+1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+1}+1\). Identifying the starting power is important.
\(a_9=108\) और \(a_4=28\), इसलिए अंतर (80) नहीं बल्कि (88) है। गुणन वाले नियम में ब्रैकेट ध्यान से खोलें। / \(a_9=108\) and \(a_4=28\), so the difference is (88), not (80). Open brackets carefully in product rules.
यह वर्गों की श्रेणी है और \(196=14^2\)। वर्ग श्रेणी में पद संख्या वर्गमूल से मिलती है। / This is a square sequence and \(196=14^2\). In a square sequence, the term number matches the square root.
दिया है \(a_n=12-5n\)। अतः \(a_3=12-5(3)=-3\) और \(a_8=12-5(8)=-28\)। इसलिए \(a_3+a_8=-3+(-28)=-31\)। \(-29\) तब मिल सकता है जब पदों या ऋण चिह्नों की गणना में गलती हो। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखिए, फिर उनका योग कीजिए। / Given \(a_n=12-5n\), \(a_3=12-5(3)=-3\) and \(a_8=12-5(8)=-28\). Therefore, \(a_3+a_8=-3+(-28)=-31\). The value \(-29\) can result from an error while substituting the term number or handling the negative sign. Exam tip: find each required term separately before adding them.
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+1)}{2}=\frac{12\times13}{2}=78\)। विकल्प 72 तब मिल सकता है जब \(n+1\) के स्थान पर गलती से 12 लिया जाए। परीक्षा टिप: पद का मान ज्ञात करते समय पहले सूत्र में सही \(n\) रखकर कोष्ठक हल करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=12\), \(a_{12}=\frac{12(12+1)}{2}=\frac{12\times13}{2}=78\). The value 72 may result from incorrectly using 12 in place of \(n+1\). Exam tip: substitute the given value of \(n\) carefully before simplifying the formula.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार संख्याओं के गुणन को पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\), so (a_n=n(n+1)). Recognize products of consecutive numbers.
दिया है \(a_n=3^n-2\)। n=4 रखने पर \(a_4=3^4-2=81-2=79\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 79 है। 81 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह केवल \(3^4\) का मान है; उसमें से 2 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n का मान सूत्र में रखकर घात की गणना करें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / Given \(a_n=3^n-2\), substitute n=4: \(a_4=3^4-2=81-2=79\). Therefore, 79 is correct. The closest distractor, 81, is only the value of \(3^4\); 2 must still be subtracted. Exam tip: for an nth-term formula, substitute the given value of n first, evaluate powers, and then perform the remaining operations.
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है इसलिए (a_n=(-1)^n n)। चिन्ह पैटर्न को अलग से देखें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=(-1)^n n). Check the sign pattern separately.
पहला पद ज्ञात करने के लिए n=1 रखते हैं। अतः a_1=2(1)+9=11, इसलिए सही उत्तर 11 है। 9 केवल स्थिर पद है; यह पहला पद नहीं है, क्योंकि n=1 पर 2n का योगदान भी जुड़ता है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के सूत्र में पहला पद पाने के लिए n=1 रखें। / To find the first term, put n=1. Thus, a_1=2(1)+9=11, so 11 is correct. The number 9 is only the constant term, not the first term, because the contribution of 2n must also be included when n=1. Exam tip: substitute n=1 in any nth-term formula to obtain the first term.
दिया है कि
\(a_n=4n^2-1\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4(5)^2-1=4\times25-1=99\)। अतः सही उत्तर 99 है। 101 तब मिलता यदि अंतिम \(-1\) को गलती से \(+1\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4n^2-1\), substitute \(n=5\) to find the fifth term: \(a_5=4(5)^2-1=4\times25-1=99\). Therefore, 99 is correct. The value 101 would result from incorrectly using \(+1\) instead of the final \(-1\). Exam tip: substitute the term number first and evaluate the exponent before other operations.
पहला पद (11) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_{25}=11+24\cdot7=179\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (11) and the difference is (7), so \(a_{25}=11+24\cdot7=179\). The (25)th term includes (24) differences.
पहले पांच पद (1,3,5,7,9) हैं और उनका योग (25) है। पहले पद लिखना छोटे योग में अच्छा तरीका है। / The first five terms are (1,3,5,7,9), and their sum is (25). Listing terms is a good method for small sums.
दिया है कि \(a_n=10n+4\)। \(a_{r+2}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर \(r+2\) रखें: \(a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+20+4=10r+24\)। इसलिए सही विकल्प \(10r+24\) है। विकल्प \(10r+14\) में \(10\times 2=20\) को गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: सूचकांक में दिया गया पूरा व्यंजक \(n\) के स्थान पर कोष्ठक में रखें। / Given \(a_n=10n+4\), substitute \(n=r+2\): \(a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+20+4=10r+24\). Hence, \(10r+24\) is correct. In \(10r+14\), the product \(10\times2=20\) has been handled incorrectly. Exam tip: always substitute the complete index expression in brackets.
पद \(2^3,3^3,4^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन श्रेणी में आरंभिक संख्या पहचानें। / The terms are \(2^3,3^3,4^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences, identify the starting number.
\(a_2=2\) और \(a_5=11\) नहीं, सही गणना \(a_5=11\) देती है इसलिए योग (13) होगा। विकल्पों में सही मान नहीं है। / \(a_2=2\) and \(a_5=11\), so the sum is (13). The listed options do not contain the correct value.
दिया है कि \(a_n=2n^2+n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=2(6)^2+6=2\times36+6=78\) प्राप्त होता है। विकल्प 72 में रैखिक पद \(+6\) को जोड़ने की गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2n^2+n\). Substituting \(n=6\), \(a_6=2(6)^2+6=2\times36+6=78\). The option 72 can result from forgetting to add the linear term \(+6\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the exponent carefully.
यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर \(-4\) है। यहाँ पहला पद \(a=13\) और सार्वांतर \(d=-4\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=13+(n-1)(-4)=17-4n\)। इसलिए सही उत्तर \(17-4n\) है। विकल्प \(13-4n\) में \(n=1\) रखने पर 9 मिलता है, 13 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में \(n=1\) रखकर पहला पद अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic sequence because the common difference between consecutive terms is \(-4\). Here, the first term is \(a=13\) and \(d=-4\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=13+(n-1)(-4)=17-4n\). Hence, \(17-4n\) is correct. In \(13-4n\), substituting \(n=1\) gives 9 instead of the first term 13. Exam tip: Always substitute \(n=1\) to check whether a proposed nth-term formula gives the first term.
दूसरे अंतर समान (2) हैं और पद \(n^2+3n\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (2), and the terms match \(n^2+3n\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
(15-2n=0) से \(n=\frac{15}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। पद संख्या हमेशा धन पूर्णांक होनी चाहिए। / From (15-2n=0), \(n=\frac{15}{2}\), which is not an integer. A term number must be a positive integer.
दिया है: \(a_n=n^3-n\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए n=5 रखें: \(a_5=5^3-5=125-5=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। 125 केवल \(5^3\) का मान है; उसमें से 5 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय सूत्र में n का मान हर स्थान पर सावधानी से रखें। / Given \(a_n=n^3-n\), substitute n=5 to find the fifth term: \(a_5=5^3-5=125-5=120\). Hence, the correct answer is 120. The value 125 is only \(5^3\); the subtraction of 5 must also be included. Exam tip: while finding an nth term, substitute the value of n in every part of the formula.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। यहाँ प्रथम पद \(a=7\) और सार्व अनुपात \(r=2\) है। इसलिए \(n\)वां पद \(a_n=ar^{n-1}\) होगा। अतः \(a_{10}=7\times2^9=7\times512=3584\)। विकल्प 1792 में \(2^8\) का प्रयोग होगा, जो 9वां पद देता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वें पद की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / This is a geometric sequence because each term is obtained by multiplying the previous term by 2. Here, the first term is \(a=7\) and the common ratio is \(r=2\). Therefore, \(a_n=ar^{n-1}\). So, \(a_{10}=7\times2^9=7\times512=3584\). The option 1792 uses \(2^8\), which gives the 9th term. Exam tip: In a geometric sequence, the exponent for the \(n\)th term is always \(n-1\).
n=4 रखने पर, a_4=6(4)2-6(4)+1=6×16-24+1=96-24+1=73। इसलिए सही उत्तर 73 है। 72 तब मिल सकता है जब अंतिम +1 को छोड़ दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान पूरे व्यंजक में रखें और फिर क्रम से गणना करें। / Putting n=4, a_4=6(4)2-6(4)+1=6×16-24+1=96-24+1=73. Therefore, the correct answer is 73. The value 72 may result from omitting the final +1, which is incorrect. Exam tip: Substitute the value of n in every term first, then simplify in order.
श्रृंखला के पदों को देखें: \(2=1^2+1\), \(5=2^2+1\), \(10=3^2+1\), \(17=4^2+1\) और \(26=5^2+1\)। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2+1\) है। \(n^2+2\) में पहला पद 3 आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों को क्रमशः \(1,2,3,\ldots\) के वर्गों से मिलाकर जाँचें। / Observe that \(2=1^2+1\), \(5=2^2+1\), \(10=3^2+1\), \(17=4^2+1\), and \(26=5^2+1\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2+1\). The close distractor \(n^2+2\) gives 3 as its first term, so it does not fit. Exam tip: match the terms with squares of \(1,2,3,\ldots\) to identify a quadratic pattern quickly.
\(a_{n+3}=3n+11\), इसलिए अंतर (9) है। सूचकांक में (3) की वृद्धि हो तो अंतर (3d) होता है। / \(a_{n+3}=3n+11\), so the difference is (9). If the index increases by (3), the difference is (3d).
\(a_6=a_1+5d\) से \(a_1=11\), अतः (a_n=11+(n-1)4=4n+7)। किसी मध्य पद से पहला पद निकालें। / From \(a_6=a_1+5d\), \(a_1=11\), hence (a_n=11+(n-1)4=4n+7). Use a middle term to find the first term.
पद \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n-1\)। दोगुना होकर एक कम पैटर्न पहचानें। / The terms are \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\), so \(a_n=2^n-1\). Recognize the double-minus-one pattern.
दो पदों की संख्या में अंतर (2) है और सामान्य अंतर (8), इसलिए अंतर (16) है। रैखिक पद में (d) का उपयोग करके समय बचाएं। / The term numbers differ by (2) and the common difference is (8), so the difference is (16). Use (d) in linear terms to save time.
127वाँ मान पाने के लिए
\(5n^2+2=127\) रखें। इससे \(5n^2=125\), अतः \(n^2=25\) और \(n=5\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए 5वाँ पद सही है। 4वाँ पद \(5\times4^2+2=82\) होगा, 127 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To obtain the value 127, set \(5n^2+2=127\). This gives \(5n^2=125\), so \(n^2=25\) and \(n=5\). Since a term number is a positive integer, the correct answer is the 5th term. The 4th term is \(5\times4^2+2=82\), not 127. Exam tip: equate the given value to \(a_n\) first, then solve for \(n\).
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है इसलिए \(a_n=12\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रखें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so \(a_n=12\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Keep the first term separate in a geometric sequence.
दिया है \(a_n=2n^2-3n+4\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)+4=2n^2+n+3\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(2n^2+n+3)-(2n^2-3n+4)=4n-1\)। विकल्प \(4n+1\) में स्थिर पदों का घटाव गलत होने की संभावना रहती है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखकर फिर \(a_n\) घटाएँ। / Given \(a_n=2n^2-3n+4\), replace \(n\) by \(n+1\): \(a_{n+1}=2(n+1)^2-3(n+1)+4=2n^2+n+3\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(2n^2+n+3)-(2n^2-3n+4)=4n-1\). The option \(4n+1\) can result from an error while subtracting the constant terms. Exam tip: write \(a_{n+1}\) separately before subtracting \(a_n\).
पदों को क्रमशः देखें: \(0=1^2-1\), \(3=2^2-1\), \(8=3^2-1\), \(15=4^2-1\) और \(24=5^2-1\)। अतः श्रेणी का \(n\)वां पद \(a_n=n^2-1\) है। \(n^2+n\) के लिए पहला पद 2 होगा, इसलिए वह इस श्रेणी के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n=1\) और \(n=2\) रखकर पहले दो पद अवश्य जाँचें। / Observe the terms in order: \(0=1^2-1\), \(3=2^2-1\), \(8=3^2-1\), \(15=4^2-1\), and \(24=5^2-1\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2-1\). For \(n^2+n\), the first term would be 2, so it does not match this sequence. Exam tip: substitute \(n=1\) and \(n=2\) to verify a proposed nth-term formula quickly.
आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए n=8 रखें: a_8=3(8)2+8-2=3×64+8-2=192+8-2=198। इसलिए सही उत्तर 198 है। 202 तब मिल सकता है जब अंतिम −2 को गलती से जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: घात वाले पद में पहले 8 का वर्ग निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / To find the eighth term, substitute n=8: a_8=3(8)2+8-2=3×64+8-2=192+8-2=198. Hence, 198 is correct. A value of 202 may result from incorrectly adding the final −2. Exam tip: evaluate the power first, then multiply, add, and subtract in order.
पद (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना अच्छा तरीका है। / The terms match (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots). Testing options on the first three terms is a good method.
