Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=5) and (r=3), so \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
क्रमागत पदों को \(x, xr, xr^2\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\)। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में मध्य पद के वर्ग को जाँचें। / The consecutive terms can be written as \(x, xr, xr^2\). Hence \(y^2=(xr)^2=x(xr^2)=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an arithmetic progression. Exam tip: square the middle term.
यहाँ \(r=\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{3}\), so \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
\(8\cdot2^{n-1}=4096\) से \(2^{n-1}=512=2^9\), इसलिए (n=10) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(8\cdot2^{n-1}=4096\), \(2^{n-1}=512=2^9\), so (n=10). In exams, equate powers to find the term number.
गुणोत्तर श्रेणी में पाँचवाँ पद
\(a_5=ar^4\) होता है। अतः \(2304=9r^4\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=4\)। विकल्प 3 सही नहीं है, क्योंकि \(9\times3^4=729\), 2304 नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) लिखकर घात सावधानी से चुनें। / For a geometric progression, the fifth term is \(a_5=ar^4\). Thus, \(2304=9r^4\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is positive, \(r=4\). Option 3 is not correct because \(9\times3^4=729\), not 2304. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) and check the exponent carefully.
पहला पद (14) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=14\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (14) and the ratio is (3), so \(a_n=14\cdot3^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
पहले पाँच पद (6,30,150,750,3750) हैं और योग (4686) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (6,30,150,750,3750), and their sum is (4686). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
पहला पद (216) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (216) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(1458=2r^6\), इसलिए \(r^6=729=3^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। विकल्प 2 लेने पर \(2\times2^6=128\) आता है, जो 1458 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(1458=2r^6\), so \(r^6=729=3^6\). Since \(r\) is specified as positive, \(r=3\). For example, choosing 2 gives \(2\times2^6=128\), not 1458. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent is always \(n-1\).
\(8\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(8\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
A. सही क्योंकि \(S_4=780\)/True because \(S_4=780\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020) नहीं; सीधे योग (12+48+192+768=1020) है, इसलिए कथन गलत है। / (S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020), so the statement is false. In exams, verify statement-type questions carefully.
\(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) उपयोग करें। / \(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
B. प्रत्येक n के लिए, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) हो/For every n, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B में \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) होने पर \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\) मिलता है, इसलिए अनुपात नियत है। विकल्प A समानांतर प्रगति की शर्त है। परीक्षा में लगातार तीन पदों का गुणन संबंध जाँचें। / In B, \(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}\) gives \(a_{n+1}/a_n=a_{n+2}/a_{n+1}\), so the common ratio is fixed. Option A indicates an AP, not a GP. Exam tip: test this product relation for consecutive triples.
यहाँ (a=6) और (r=4) है, इसलिए (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=6) and (r=4), so (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
\(7\cdot3^{n-1}=5103\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(7\cdot3^{n-1}=5103\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, compare powers to find the term number.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और पद (640,320,160,80,40,20,10,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the terms are (640,320,160,80,40,20,10,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद
\(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(416=13r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(13\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 416 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद लिखते समय घात \(n-1\) रखें। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(416=13r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(13\times3^5\) is not 416. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=11\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=6\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_6=\frac{11(3^6-1)}{3-1}=\frac{11(729-1)}{2}=4004\)। इसलिए सही उत्तर 4004 है। 3993 जैसे विकल्प में प्रायः घात या घटाव की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अवश्य पहचानें। / Here, the first term is \(a=11\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=6\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_6=\frac{11(3^6-1)}{3-1}=\frac{11(729-1)}{2}=4004\). Therefore, 4004 is correct. An option such as 3993 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting into the formula.
पाँचवाँ पद \(x\cdot4^4=256x=1280\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot4^4=256x=1280\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(3\cdot4^{n-1}=12288\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(3\cdot4^{n-1}=12288\), so \(4^{n-1}=4096=4^6\) and (n=7). In exams, equate the last term to the general term.
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: 5 + 25 + 125 + 625 = 780। अतः सही उत्तर 780 है। 775 केवल पहले तीन पदों का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: जब पदों की संख्या कम हो, तो सीधे जोड़कर योग निकालना सबसे तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: 5 + 25 + 125 + 625 = 780. Therefore, the correct answer is 780. The value 775 is only the sum of the first three terms, so it is a close but incorrect option. Exam tip: When there are only a few terms, direct addition is usually the quickest and safest method.
\(9\cdot4^{n-1}=9216\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(9\cdot4^{n-1}=9216\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\)। इसलिए सही उत्तर \(384\) है। \(-384\) तब आता यदि \(-2\) की विषम घात होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक अनुपात में घात सम है या विषम, यह अवश्य जाँचें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_7=6(-2)^{7-1}=6(-2)^6=6\times64=384\). Therefore, \(384\) is correct. \(-384\) would result if the power of \(-2\) were odd. Exam tip: With a negative common ratio, always check whether the exponent is even or odd.
पहले चार पदों का योग (3+18+108+648=777) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (3+18+108+648=777). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (810,270,90,30,10) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (810,270,90,30,10). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
\(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
यहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\)। इसलिए विकल्प A सही है। 3584 जैसे निकट विकल्प में घात या घटाव की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^n\) का मान पहले निकालें। / Here, the first term is \(a=7\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\). Therefore, option A is correct. A close value such as 3584 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: when \(r=2\), calculate \(2^n\) carefully before substituting.
यदि समान अनुपात \(r\) हो, तो \(b=ar\) और \(c=ar^2\) होंगे। अतः \(b^2=(ar)^2=a\cdot ar^2=ac\)। \(2b=a+c\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग लें। / If the common ratio is \(r\), then \(b=ar\) and \(c=ar^2\). Hence \(b^2=(ar)^2=a\cdot ar^2=ac\). The relation \(2b=a+c\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term.
क्रमागत गुणोत्तर पदों के लिए \(b/a=c/b\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(b^2=ac\) मिलता है। \(a+c=2b\) अंकगणितीय श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / For consecutive GP terms, \(b/a=c/b\). Cross-multiplying gives \(b^2=ac\), so A is necessary. The relation \(a+c=2b\) is the condition for an AP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the extremes.
पद (128,64,32,16,8) हैं और योग (248) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (128,64,32,16,8), and the sum is (248). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
यहाँ प्रथम पद \(a=20\), सार्व अनुपात \(r=2\) और \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\)। इसलिए सही उत्तर 5100 है। 5120 प्राप्त होना सामान्यतः \(2^8-1\) के स्थान पर \(2^8\) लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर हर \(r-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=20\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\). Therefore, 5100 is correct. The nearby answer 5120 can result from using \(2^8\) instead of \(2^8-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), always include the denominator \(r-1\).
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{50}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{50}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
(S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)) और (3\(3^n-1\)=2184) से (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)), and (3\(3^n-1\)=2184) gives (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
